1、等差數列的初步認識昂立國際學校執教者:唐老師 數學是打開科學大門的鑰匙。 高斯出生于一個工高斯出生于一個工匠家庭，幼時家境貧困，匠家庭，幼時家境貧困，但聰敏異常。上小學四但聰敏異常。上小學四年級時，一次老師布置年級時，一次老師布置了一道數學習題：了一道數學習題：“把把從從1 1到到100100的自然數加起的自然數加起來，和是多少？來，和是多少？”年僅年僅1010歲的小高斯略一思索歲的小高斯略一思索就得到答案就得到答案50505050，這使，這使老師非常吃驚。那么高老師非常吃驚。那么高斯是采用了什么方法來斯是采用了什么方法來巧妙地計算出來的呢？巧妙地計算出來的呢？ 高斯（高斯（1777-1855

2、1777-1855），）， 德德國數學家、物理學家和天文學國數學家、物理學家和天文學家。他和牛頓、阿基米德，被家。他和牛頓、阿基米德，被譽為有史以來的三大數學家。譽為有史以來的三大數學家。有有“數學王子數學王子”之稱。之稱。 高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事: :首項與末項的和：首項與末項的和： 1100101，第第2項與倒數第項與倒數第2項的和：項的和： 299 =101， 第第3項與倒數第項與倒數第3項的和：項的和： 398 101， 第第50項與倒數第項與倒數第50項的和：項的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1001015050.2求求 S=1+2+3+100

3、=？你知道高斯是怎么計算的嗎？高斯算法：高斯算法：1 + 2 + 3 + 4 + .+ 98 + 99 + 100 = ?S =n ( n + 1 )2等差數列項數和在過去的三百在過去的三百多年里，人們多年里，人們分別在下列時分別在下列時間里觀測到了間里觀測到了哈雷慧星：哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（）你能預測出下一次的大致時間嗎？2062相差相差76你能根據規律在（你能根據規律在（ ）內）內填上合適的數嗎？填上合適的數嗎？(3)(3)1, 41, 4， 9 9， 16,16,（ ），），3636，(4)(4) 1,2 1,2，3 ,53 ,5，8,

4、138, 13，21 21 ，（，（ ）（1 1）3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,( ) (2)1(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) , 2, 4, 8, 16, 32, 64,( ) 253412810 象這樣按照一定的規律排列的一組數象這樣按照一定的規律排列的一組數, ,我們稱為我們稱為數列數列, ,其中其中每個數都叫做數列的項每個數都叫做數列的項, ,排在第一列的叫第一項排在第一列的叫第一項,( ,(也叫首項也叫首項) )一一般用般用a a 1 1 表示表示, ,第二列的叫第二項第二列的叫第二項, ,用用a

5、a 2 2表示表示,排在第排在第N N列的數列的數叫第叫第N N項項, ,用用a a n n表示表示. .+1 +1 +1 +1 +1 +1+1 +1 +1 +1 +1 +12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 11 21 22 32 33 43 44 4等差數列等差數列等比數列等比數列斐波拉斐波拉契數列契數列平方數列平方數列 1、按數列中項的個數來分類： 有限數列： 如：0，1，1，2，4，7，13，24，44 無限數列： 如：1，3，5，7，9，11，13， 2、按數列中項的變化規律來分類： 遞增數列： 如：1，2，3，4，5，6，100 遞減數列： 如：100，99，98，9

6、7，2，1 常數列： 如：1，1，1，1，1，1，1實戰演練1 觀察與分析下面各列數的排列規律，然后填空。觀察與分析下面各列數的排列規律，然后填空。 （1）5，9，13，17， ， 。 （2）1，4，9，16， ， 。 （3）4，5，7，11，19， ， 。2125253635 67 3、按數列中項的、按數列中項的性質特點性質特點來分類：來分類： 等差數列： 如：如：0，1，2，3，4，5，6，（自然數列）（自然數列） 遞推數列： 如：如： 1，1，2，3，5，8，13，21 ， 周期數列： 如：如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1， 找出下列各數列的規律，在橫線上，填出適當的數。找出下

7、列各數列的規律，在橫線上，填出適當的數。 （1）5，15，45，135， ， 。 （2）60，63，68，75， ， 。 （3）180，155，131，108， ， 。 （4）0，1，1，2，3，5， ， 。405121584958665813 實戰演練2一、定義：例 1： 觀察下列數列是否是等差數列：一般地，如果一個數列從第一般地，如果一個數列從第2項起，后一項與它的前一項的項起，后一項與它的前一項的差等于差等于同一個常數同一個常數，那麼這個數列就叫做，那麼這個數列就叫做等差數列等差數列。這個這個常數常數叫做叫做等差數列等差數列的的公差公差，公差公差通常用字母通常用字母d表示。表示。 1，4

8、，7，10，（ 13 ），16，1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 105，5，5，5，5，5，1, 3, 5, 7, 10, 13, 16, 19 公差 = 第二項首項 1 1、等差數列要求、等差數列要求從第從第2 2項起，項起，后一項與后一項與 前一項前一項。 不能顛倒。不能顛倒。 2 2、作差的結果要求是、作差的結果要求是習習:按規律把下列數列補充完整按規律把下列數列補充完整,并且指出那些是等差數列并且指出那些是等差數列.1,3,6,8,16,18,( ),( ),76,7881,64,49,36,( ),( )35,28,22,17,( ),( )1,2,4,7,11

9、,16,( )2,3,5,8,12,17,( )2,3,5,8,13,( )1,3,7,15,( )45,55,66,78,( ),( )認識數列 觀察：1，3，5，7，9，19第一項第二項第四項第三項第五項第十項首項末項項數項數實戰演練1 數列：數列：2，3，5，8，13，89 首項是：首項是： 末項是：末項是： 項數是：項數是： 55在這個數列當中是第在這個數列當中是第 項項28998等差數列的和 = （首項末項）項數2天才知道例、求首項為5，末項為155，項數是51的等差數列的和。等差數列的和 = （首項末項）項數2解：（5155）512=160512=8051=4080天才知道例、13

10、57959799等差數列的和 = （首項末項）項數2解：1357959799=（199）502=2500天才知道例、（24619961998）解：（24619961998）=（11999）10002（21998）9992=1000000999000=1000 例、一個有20項的等差數列，公差為5，末項是104，這個數列的首項是幾？ 求首項公式： 首項=末項-公差（項數-1） 例、已知數列2、5、8、11、14，47應該是其中的第幾項？ 首項a1=2，公差d=5-2=3 項數 = （末項首項）公差1 則利用項數公式可得： n=（47-2）3+1

11、=16 即47是第16項 故答案為：16 例、在等差數列5、10、15、20中，155是第幾項？350是第幾項？天才知道 例、一個等差數列，首項是3，公差是2，項數是10。它的末項是多少？ 求末項公式: 末項=首項+（項數-1）公差 例、有60個數，第一個數是7，從第二個數開始，后一個數總比前一個數我4 。求這60個數的和。解：（1）末項為：74（601） =7459 =7236 =243（2）60個數的和為：（7243）602 =250602 =7500 本節課你學習了什么？ 有什么收獲？ 還有什么疑問？ 課堂小結課堂小結:第二課時例:已知等差數列 1，4，7，10，13，16，求它的第58

12、項是多少? 等差數列的第n項： 等差數列的第n項= 首項（n1）公差 a n = a 1 + ( n 1 ) d .a1 1 、an n、n、d知知三求一三求一1. 求等差數列3，7，11，的第4，7項？解:已知a1=3,d=4,n4=4,n7=7,n10=10,求a4,a7,a10a4=a1+(n4-1)da7=a1+(n7-1)d=3+(4-1)4=15=3+(7-1)4=27天才知道 天才知道天才知道 1、求等差數列3，5，7，9.的第10項和第100項。 天才知道 例、電影院的座位排列成扇形，第一排有60個座位，以后每一排都比前一排多兩個座位，共有50排，請你算出第32排和第50排各有

13、多少個座位？ 第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最后一排即第50排：60+2X(50-1)=158例:在等差數列5，9，13.401中,401是第幾項?解解: :已知已知a a1 1=5,d=4,a=5,d=4,an n=401,=401,求求n=?a n = a 1 + ( n 1 ) d n = (a n - a 1 ) d +1 = (401 - 5 ) 4 +1 =396 4 +1 =100 天才知道 = (25 - 5 ) ( (6-1)=205=4a2=a1+da3=a1+2da4

14、=a1+3da5=a1+4d=5+4=9=5+24=13=5+34=5+44=17=21這六個數為這六個數為5, 9, 13, 17, 21, 25 例:在5和25之間插入4個數,使他們組成等差數列,這求這四個數?析:要插入這四個數,首先必須要利用公式求出公差.解:已知a1=5, n =6,an=25,求a2,a3,a4, a5例：求所有被4除余1的兩位數之和。解：被4除余1的所有的兩位數有13，17，21，97它們組成了一組公差為4的等差數列.其中a1=13,d=4,an=97,求Sn=?n = (a n - a 1 ) d +1 = (97 -13 )4 +1 = 22 Sn = (a 1 +a n)n2= (13 +97)222= 1210 天才知道 梯子的最高一級寬32厘米，最低一級寬110厘米，中間還有9級，各級的寬度成等差數列，計算中間一級的寬度。智慧大比拼1 甲乙兩人都住在同一胡同的同一側，這一側的門牌號碼是連續的奇數。甲住21號，乙住193號。甲、乙兩人的住處相隔著多少個門？智慧大比拼2 在12和60之間插入3個數，使之組成等差數列。智慧大比拼3回顧本章知識點：回顧本章知識點：求等差數列和的公式：求等差數列和的公式： 等差數列的和 = （首項末項）項數2求第幾項公式：求第幾項公式