1、 2.3.1平面向量的基本定理平面向量的基本定理2.3.2 平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐標表示及坐標表示溫故知新溫故知新2.2.運算律：運算律：)()()(aaababa )(特別地特別地:3.3.向量共線定理：向量共線定理：問題問題: :一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和4 4只住在只住在北偏東北偏東3030方向的小猴子同時發現一筐桃子方向的小猴子同時發現一筐桃子, ,他們他們分別朝著自己住的方向拉分別朝著自己住的方向拉, ,已知每只大猴子的拉力已知每只大猴子的拉力是是100100牛頓牛頓, ,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛頓牛頓,

2、,問這筐桃問這筐桃子往哪邊運動子往哪邊運動? ?問題問題: :一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和4 4只住在北只住在北偏東偏東3030方向的小猴子同時發現一筐桃子方向的小猴子同時發現一筐桃子, ,他們分他們分別朝著自己住的方向拉別朝著自己住的方向拉, ,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛頓牛頓, ,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛頓牛頓, ,問這筐桃子問這筐桃子往哪邊運動往哪邊運動? ?如果是如果是1 1只大猴子和只大猴子和4 4只小猴子呢只小猴子呢? ?NMe1e2a如果要讓這筐桃子往我們指定的方向運動如果要讓這筐桃子往我們

3、指定的方向運動, ,如何改如何改變大小猴子的數量變大小猴子的數量? ?aCe1e2oBAOC=OM+ON= 1 e1+ 2 e2= 1 e1+ 2 e2給定平面內任意兩個不共線向量給定平面內任意兩個不共線向量e1 、 e2，其他任，其他任一向量是否都可以表示為一向量是否都可以表示為xe1+y e2的形式？的形式？NMaCe1e2oBAOC=OM+ONe1e2a= 1 e1+ 2 e2假設假設 ， 是同一平面內的兩個不共線的是同一平面內的兩個不共線的向量向量,那么對于這一平面內的任一向量那么對于這一平面內的任一向量 ,有且只有一對實數有且只有一對實數 、使使 其中不共線的向量其中不共線的向量 ,

4、 叫做表示這一平叫做表示這一平面內的所有向量的一組基底。面內的所有向量的一組基底。一、平面向量的基本定理一、平面向量的基本定理2ea1e2e1e1e2eaoCaNMFE思索思索:平面內平面內,向量的基底是否唯一？向量的基底是否唯一？例例1 1已知向量已知向量e1,e2,e1,e2,求作向量求作向量-2.5e1+3e2 .-2.5e1+3e2 .于是于是OC就是所求作的向量就是所求作的向量.(2)(2)作作OACB.OACB.e1e2OC作法：作法：(1)(1)任取一點任取一點o,o, 作作OA=-2.5e1,OB=3e2OA=-2.5e1,OB=3e2-2.5e1AB3e2e1e2aNMe1e

5、2oaCOC=OM+ON平行四邊形作法唯一，所以實數對平行四邊形作法唯一，所以實數對1, 1, 2 2存在存在且唯一且唯一= 1 e1+ 2 e2思索：若向量思索：若向量a a與與e1e1或或e2e2共線，共線，a a還能用還能用1e11e12e22e2表示嗎？表示嗎？a=1e1+0e2a=0e1+2e2e1ae2e2ae1對定理的理解:1)基底基底: 不共線的向量不共線的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底同一平面可以有不同基底2)平面內的任一向量都可以沿兩個不共線的平面內的任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量的和的形式；方向分解成兩個向量的和的形式；3)分解是唯一的分解是唯一

6、的思索思索:一天一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北只住在正西方向的大猴子和住在北偏東偏東30方向的小猴子同時發現一筐桃子方向的小猴子同時發現一筐桃子,他們分他們分別朝著自己住的方向拉別朝著自己住的方向拉,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100牛頓牛頓,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是50牛頓牛頓,問這筐桃子問這筐桃子往正北運動往正北運動,要幾只小猴子要幾只小猴子?30？30二、向量的夾角二、向量的夾角已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b如圖，如圖，那么那么AOB= （0 180）叫做向量的夾角叫做向量的夾角當當 =0 時，時，a與與b同向同向當當 =180時，時， a與

7、與b反向反向a與與b的夾角是的夾角是90 ，則，則a與與b垂直，記作垂直，記作a boBAab共起點共起點ABC思索思索:正正ABC中中,向量向量AB與與BC的夾角為幾度的夾角為幾度?D 把一個向量分解為兩個互相垂直的向把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量正交分解量，叫作把向量正交分解三、三、 平面向量的正交分解平面向量的正交分解a =xi + yj：有且只有一對實：有且只有一對實數數x、y，使得，使得 分別與分別與x 軸、軸、y 軸方向相同的兩單位向量軸方向相同的兩單位向量i 、j 能否作能否作為基底？為基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用這組基底可表示為，用這組基底可表示為a

8、（x，y叫做向量叫做向量a的坐標，記作的坐標，記作a=( x , y )那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0其中其中x叫做叫做a在在x軸上的坐標，軸上的坐標，y叫做叫做a在在y軸上的坐標軸上的坐標OxyijaA(x, y)a1以原點以原點O為起點作為起點作 ，點，點A的位置由誰確定的位置由誰確定?aOA 由由a 唯一確定唯一確定2點點A的坐標與向量的坐標與向量a 的坐標的關系？的坐標的關系？兩者相同兩者相同向量向量a坐標坐標x ，y）一一 一一 對對 應應對理向量坐標的理解對理向量坐標的理解3兩個向量相等的條件，利用坐標如何表示？兩個向量相等的條件，利

9、用坐標如何表示？2121yyxxba 且且四、四、 平面向量的坐標表示平面向量的坐標表示解：由圖可知解：由圖可知jiAAAAa3221 )3 , 2( a同理，同理，)3 , 2(32 jib)3, 2(32 jic)3, 2(32 jid例例2 如圖，用基底如圖，用基底i ，j 分別表示向量分別表示向量a、b 、c 、d ，并，并求它們的坐標求它們的坐標AA2A1課堂小結：課堂小結：1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理 （書本（書本94頁）頁）如果如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線的向量是同一平面內的兩個不共線的向量,那么對于那么對于這一平面內的任一向量這一平面內的任一向量a ,有且只有一對實數有且只有一對實數 、使使 a = e1+ e22.向量的夾角：共起點的兩個向量形成的向量的夾角：共起點的兩個向量形成的角角4.向量的坐標表示向量的坐標表示3.基本定理的應用基本定理的應用 e1+ e2= xe1+ ye2xy把一個向量分解為兩個垂直的向量