1、第五節 曲面論的基本定理一些符號222112112121,rrrrrrrrrrrrvuuuvvvuuvuuvu22222112211111,grrGggrrFgrrEgggggFEG2221121122222211221121111,LnrNLLnrnrMLnrL,2121,21,babababajijiii注意1和號中上，下標與字母選取無關，（2只對上，下標相同的標號求和。jijiijdudugdudugdudugdudugdudugGdvFdudvEdu,2222122121121111222jijiijduduLNdvMdudvLdu,2225、1 曲面的基本方程與克氏符號 給出了一個

2、類的曲面S： ，可確定三個向量對這三個向量求導，就得到一個類似于曲線論中基本公式的式子，但我們希望用一個簡便的式子表示，于是令3c),(vurrnrr,21ijjiikijkkijijjirnnrr) 1 ()2 , 1,(, 上式中第一式點乘 ，得到nijijkijkkijijLnnnrrn又 ，兩邊求導得jiijrrg,jlijillijrrrrug,ljilijjilrrrrug,lijljiijlrrrrug后兩式相加并減去第一式得)2()(21,klkkijlijlijijljilgrruguguglij 令 是 的逆矩陣并采用克羅內爾符號)(ijg)(ijg. 2 , 1, 0,

3、1jijijiggkijkjik. 2 , 1,.)(21,kjiggggugugugglijgkijkkijlklklkkijklkkijlkllijijljillkllkl還可得到 ，稱為第二類克里斯托費爾符號，也稱連絡系數，ij,k稱為第一類的克里斯托費爾符號，采用原來的符號有P133。對于曲面上的正交網，F=0，有P133。kjikij對1中的第二式兩邊點乘kr. 2 , 1,kigrnLjkjjikiik.kjijikjjkjkjijkjjikjkikkjkggggLg用過去的符號有P133。于是得到 的導向量公式： 稱為曲面的基本方程，其中第一式叫高斯方程，第二式叫溫加頓方程。nr

4、r,21kjjkjikikijkkijijjirgLnnLrr,) 1 ()2 , 1,(,5.2 曲面的黎曼曲率張量和高斯-科達齊公式一、曲率張量1、定義：曲面的曲率張量第二類黎曼曲率張量為. 2 , 1, )(lkjiuuRplpjpiklpkpijjlikklijlijk2、性質1反對稱性關于j,k），即 直接代入定義可得到。特別地：likjlijkRR0lijjR性質2三個下標作循環置換后相加的和為0，即 此式稱為Ricci恒等式。（直接驗算）0lkijljkilijkRRR3、定義另一方種黎曼曲率張量為由于4個指標有16種排列，所以有16個分量，它們有如下性質：2 , 1,kjimR

5、gRlijklmlmijk 4、性質1反對稱性：,mikjmijkRR,imjkmijkRR. 0mmjkR. 0mijjR性質2對稱性：性質3對后三個下標作循環置換后相加的和為0，即.jkmimijkRR. 0mkijmjkimijkRRR 證明：0)(lkijljkilijklmlllkijmllljkimllijklmlmkijmjkimijkRRRgRgRgRgRRR 由反對稱性 這里共有12個分量為0，又由對稱性及反對稱性得到因此16個分量中只有R1212為獨立的，它其實就是高斯曲率。最后指出，黎曼曲率張量只與gij有關，即為曲面的內蘊量。. 022112211mimijkjkRRR

6、R2121122121121212RRRR二、高斯-科達齊-邁因納爾迪公式命題1高斯公式 2科達齊邁因納爾迪公式mjikmkijmijkLLLLR. )(llklijljlikjikkijLLuLuL 三、高斯定理：曲面的高斯曲率為內蘊量。 由前面知，Rmijk的16個分量中只有一個是獨立的，即R1212 ，并且為內蘊量，利用高斯公式得到 所以)()(222221112121212FEGKMLNLNMLLLLRgRK1212 對高斯方程求導. 2 , 1, )()(jinLrrlijllijijlkijkijlklijlklijkijnLnuLrrur)()(llmlmklmijkijlkml

7、mmlklijlklijijkrLgLnuLnLrrur)()(,kjjkjikikijkkijijrgLnnLrr,llmlmklmijkijlkllijmlmmlklijlklijijkrLgLnuLnLrrur,llmlmjlmikjikljllikmlmmljlikljlikikjrLgLnuLnLrrur, 上面兩式相減，左邊為0，而右邊為 的線性組合，但l,m=1，2，所以實際上右邊為 的線性組合，可寫為 但 線性無關不共面），故p,q,r均 為0，如 p=0，有nrrml,nrr,21021nrrqrpnrr,21.)()()(1111111111mmjmikmkmijlljli

8、klklijjikkijrLgLLgLrruurp)()(11111mmjikmkijmlljliklklijjikkijLLLLguu)()(mmjikmkijlmplpjpiklpkpijjlikklijlijkLLLLguuR)2 , 1,(.)(mkjiLLLLLLLLggRgRmjikmkijmmjikmkijlmlmllijklmlmijk即為高斯公式。同理對q=0有：兩式合并得l 改為p）)()(22222mmjikmkijmlljliklklijjikkijLLLLguu利用 的系數為零得n. 2 , 1, )(kjiLLuLuLllklijljlikjikkij. 0)(llklijljlikjikkijLLuLuL注意：這量共有222=8 個式子，但只有2個是獨立的。即為. )(221122122221lllllLLuLuLlllllLLuLuL)(211112112211 把克氏符號代入可得到具體表達式，P138。 四、高斯曲率的具體表達式用第一基本量表示）。GFGFEEGEGFGFEGFEFEGEFFEGKuvuvvuvvuuuuvvuv21212121212121212121220)(1對于正交網來說有 F = 0，所以vvuuGEEGEGK1 設是給定的兩個二次微分形式，其中