1、11 / 37高中立體幾何模擬題一.選擇題(共9小題)1 .在空間直角坐標系中，已知點P (x, y, z),下列敘述中正確的個數(shù)是()點P關于x軸對稱點的坐標是Pi (x, -y, z);點P關于yOz平面對稱點的坐標是 P2 (x, -y, -z)；點P關于y軸對稱點的坐標是P3 (x, - y, z)；點P關于原點對稱的點的坐標是 P4 (-x, -y, -z).A. 3 B. 2 C. 1 D. 02 .空間四邊形ABCD中，若向量標=(-3, 5, 2),而=(-7, -1, -4)點E,F分別為線段BC, AD的中點，則EF的坐標為(A. (2, 3, 3)B. ( 2, 3, 3

2、)C. (5,-2, 1)D. (-5, 2, - 1)3 .設平面 民的一個法向量為%二(1.-2),平面B的一個法向量為門尸-4, k),右 a/ B,則 k=()A. 2B. - 4 C. - 2 D. 44 .已知二(3, -2, -3), b= ( - 1, x-1, 1),且二與？的夾角為鈍角，則 x的取值范圍是()1 . (-2, +wB. ( 2,左)U (% +wC.(一巴2)D.(一,+OO)5 .若】(1, % 2), E= (2, -1, 1), W與E的夾角為60,則入的值為()A. 17 或-1B. - 17 或 1C. - 1 D. 16 .設平面a內(nèi)兩個向量的坐

3、標分別為(1, 2, 1)、(- 1, 1, 2),則下列向量 中是平面的法向量的是()A. (1, -2,5)B. (1, 1, 1)C.(1, 1,1)D.(1,T, T)7 .若 (1, -2, 2)是平面a的一個法向量，則下列向量能作為平面a法向量的是()A. (1,-2,0) B. (0, -2,2)C.(2, 4,4)D.(2,4,4)8 .如圖，在長方體 ABCD- A1B1C1D1 中，AB=BC=2 AA1=1,則 BG 與平面 BB1D1D所成角的正弦值為()A. _ B._ C,： D,二9 .如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AB=1, AC=2, BCV3

4、, D, E 分別是 AC和BBi的中點，則直線DE與平面BBiGC所成的角為()二.填空題(共3小題)10 .設平面a的一個法向量為同二(1,2, -2),平面B的一個法向量為司=(-2, 4, k),若 a/ 3 貝U k=.11 .在空間直角坐標系中，已知點 A (1, 0, 2), B (1, - 3, 1),點M在y軸 上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是.12 .如圖所示，在三棱柱 ABC- A1B1C1 中，AA1,底面 ABC, AB=BC=AA, /ABC=90,點E、F分別是棱AB、BBi的中點，則直線EF和BC的夾角是三.解答題(共18小題)13 .如圖，四邊形AB

5、CD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD/FE, / AFE=60,且 平面ABCDL平面ADEF，AF=FE=A*知=2,點G為AC的中點.(I )求證：EG/平面ABF;(H)求三棱錐B-AEG的體積；(田)試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請 說明理由.14 .如圖，已知正三棱柱 ABC- A1B1C1中，D是BC的中點.(1)求證：平面 AB1D，平面B1BCC;(2)求證：A1C/平面 AB1D.15 .如圖，在 ABC中，/ABC=45, / BAC=90, AD是BC上的高，沿 AD把是 BC上的4ABD折起，使/ BDC=90.(I )證明：平面 A

6、DB，平面BDQ(H)設BD=1,求三棱錐D-ABC的表面積.,SA! AC, AC BC且 AC=2, BCV13, SB=2 .(1)證明：SCI BC;17.如圖，ABCD是正方形，。是正方形的中心，PO,底面ABCR E是PC的中點.求證:(1) PA/平面 BDE(2) BD，平面 PAC18.如圖，在四棱錐V- ABCD中底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VADL底面ABCD(1)證明：AB，平向VAD;(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.,ilv19 .如圖，在四棱錐 P-ABCD中，/ABC4 ACD=90 平向ABCR E為PD的中點，AB=1, P

7、A=2(I )證明：直線CE/平向PAR(n )求三棱錐E- PAC的體積.p7SC20 .如圖，四棱錐 P-ABCD中，底向ABCD為菱形， 于點E, F是線段PC中點，G為線段EC中點.,Z BAC=/ CAD=60, PA1PA1平向 ABCR BD 交 AC(I )求證：FG/平向PBD;(II )求證：BD FG.BC21.如圖，在三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=2, P為線段AB上的動點.(I)求證：CAiGP;(II)若四間體P-AB1C1的體積為4, D側(cè)棱 AA底面 ABC, AC AB, AC=AA=1,求二面角G-PBi-A1的余弦值.22 .已知正四棱柱 ABCD

8、- AiBiCiDi. AB=1, AAi=2,點E為CC中點，點F為BDi 中占(D證明EF為BDi與CC的公垂線；(2)求點Di到面BDE的距離.號23 .如圖，在四棱錐 P- ABCD中，底面為直角梯形，AD/BC, / BAD=90 , PA ，底面 ABCR PA=AD=AB=2B CM, N 分別為 PC, PB 的中點.(I )求證：PBDM;(H )求CD與平面ADMN所成的角的正弦值.24 .在如圖所示的多面體中，EF，平面 AEB, AEEB, AD/ EF, EF/ BC. BC=2AD=4 EF=3 AE=BE=2 G 為 BC的中點.(i)求證：AB/平面DEG;(2

9、)求證：BD) EG;(3)求二面角C- DF- E的正弦值.25 .如圖，在四棱錐S ABCD中，底面ABCD直角梯形，側(cè)棱SAa底面ABCR AB垂直于AD和BC, SA=AB=BC=2 AD=1. M是棱SB的中點.(I )求證：AM /面 SCD(H )求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；(m)設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為9,求sin 8的最大 化27.如圖，在四棱錐P- ABCD中，底面中占I 八、AB=2, AC=AA=2/5, /ABC匚.26 .如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,(1)證明：ABAiC;(2)求二面角A-A1C- B的正弦值.

10、ABCD為菱形，/ BAD=60 , Q 為 AD 的(1)若PA=PD求證：平面 PQB,平面PAD;(2)點M在線段PC上，PM=tPC,試確定t的值，使PA/平面MQB;(3)在(2)的條件下，若平面 PAD1平面ABCR且PA=PD=AD=2求二面角M-BQ- C的大小.28 .如圖，三棱柱 ABC- A1B1C1的側(cè)面AAiBiB為正方形，側(cè)面 BBiCiC為菱形, /CBB=60, AB B1C.(I)求證：平面 AAiBiB，平面BBiCiC;(II)求二面角B-AC- Ai的余弦值.J工AT一二傘 / I 、*1I-%. JA29 .在四棱錐P-ABCD中，PA1平面ABCD

11、4ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4 /CDA=i20,點N在線段PB上，且PN射.(I )求證：BD PC;(II )求證：MN /平面 PDC;30 .如圖，平面 ABCDL平面 PAR 4APD是直角三角形，/ APD=90,四邊形ABCD是直角梯形，其中 BC/ AD, / BAD=90 , AD=2BC 且 AB=BC=PD=2O 是 AD的中點，E, F分別是PG OD的中點.(I )求證：EF/平面PBQ(H)求二面角A- PF- E的正切值.2017年03月25日1879804507的高中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一.選擇題(共9小題)1. (

12、2016春？孝感期末)在空間直角坐標系中，已知點 P (x, y, z),下列敘述 中正確的個數(shù)是()點P關于x軸對稱點的坐標是P1 (x, -y, z);點P關于yOz平面對稱點的坐標是 P2 (x, -y, -z)；點P關于y軸對稱點的坐標是P3 (x, - y, z)；點P關于原點對稱的點的坐標是 P4 (-x, -y, -z).A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【解答】解：P關于x軸的對稱點為P1 (x, -y, - z);關于yOz平面的對稱點為P2 (-x, y, z);關于y軸的對稱點為P3 ( - x, y, - z)；點P關于原點對稱的點的坐標是 P4 ( - x, -

13、y, -z).故錯誤.故選C.2. (2015秋?石家莊校級期末)空間四邊形 ABCD中，若向量！S=(-3, 5, 2),面二(-7, -1, -4)點E, F分別為線段BC, AD的中點，則后的坐標為(A. (2,3, 3)B.(-2, -3, -3)C.(5, -2,1)D. (-5,2,T)【解答】解：二點E, F分別為線段BC, AD的中點，L = - .t 一UI:后/一麗，而4 (贏卜而),I *, 1.1- * : 即CQA+OD)-(O+OC)=!2 (3, 5, 2) + ( 7, - 1, -4)。(-4, -6, -6) =(-2, -3, -3).故選：B.3. (2

14、015?城市校級模擬)設平面 a的一個法向量為司二(L 2, -2),平面B的一個法向量為7=(-2, -4, k),若a/ &則k=()A. 2 B. - 4 C. - 2 D. 4【解答】解：平面a的一個法向量為其二(1, 2. -2),平面B的一個法向量為門2二-4, k),: all 3由題意可得 玉二，12 -2.二 k=4.故選：D.4. (2014 秋?越城區(qū)校級期末)已知 (3, -2, -3), b|= (-1, x-1, D,2)且；與了的夾角為鈍角，則x的取值范圍是()A. (-2, +2B. (-2, )U (1, +2C.(-4+OO)【解答】解：；與E的夾角為鈍角,

15、cos0.且歸與E不共線.3?b0.且(3, - 2, - 3) W 入(-1, X- 1,1)- 3 2 (x 1) 3 PA又 AD，AB, PAH AB=A, . AD，平面 PA0 AD，PB.又 ADAAN=A,.PB，平面 ADMN.DM?平面 ADMN, a PB DM.(6 分)解法2:如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系 A-xyz,設BC=1,可得，A(0,0,0), P (0, 0,2),B(2,0,0), C (2, 1,0),1),D (0, 2, 0).因為 鈍,鋪二。，-23 芻 1)=0,所以PB DM. (6分)(H)解法1:取AD中點Q,連接BQ和NQ,則

16、BQ/ DC,又PB，平面ADMN, CD與平面ADMN所成的角為/ BQN.設 BC=1,在 RtA BQN 中，WJBN=L 即= ,故+n/BQN再L5所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為 叵.(13分)51解法2：因為用=0, -2)(Oj 2, Q)二一所以PBAD,又PB DM,所以PB,平面ADMN,因此 而，而的余角即是CD與平面ADMN所成的角因為瓦而丁再呼.| PB | | DC |5所以CD與平面ADMN所成的角的正弦值為 坐.(13分)24. (2014?煙臺二模)在如圖所示的多面體中，EF,平面 AEB, AEEB, AD/EF, EF/ BC. BC=2AD=4

17、 EF=3, AE=BE=2 G 為 BC的中點.(1)求證：AB/平面DEG;(2)求證：BD EG;(3)求二面角C- DF- E的正弦值.G【解答】(1)證明：AD/ EF, EF/ BC, ；AD/ BC,BC=2AD G為BC的中點，. AD/BG,且AD=BG四邊形ABCD是平行四邊 形，a AB/ DG因為AB不在平面DEG中，DG在平面DEG內(nèi)，. AB/平面DEG(2)證明：v EF1平面 AEB, AE?平面 AEB, BE?平面 AEB, EF AE, EF BE, v AE EB,.ER ER EA 兩兩垂直.以點E為坐標原點，ER ER EA所在直線分別為x、y、z軸

18、建立空間直角坐標系， 由已知得：A (0, 0, 2), B (2, 0, 0), C (2, 4, 0), D (0, 2, 2), F (0, 3, 0), G (2, 2, 0).展=(22.0),而二(2 2,研 麗而二X，2K2+2XBD EG.(3)解：由已知得而二匕，九0)是平面EFDA的法向量，設平面DCF的法向量為.,回二-1, 2),元二 1, 0)，二：= 令 z=1，得 x=1，y=2,即2, 1)-設二面角C- DF- E的大小為9,c n-EBcos MIebI而角C- DF- E的正弦值為平25. (2015?漳州模擬)如圖，在四棱錐S- ABCD中，底面ABCD

19、是直角梯形，側(cè)棱SZ底面 ABCD AB垂直于AD和BC, SA=AB=BC=2 AD=1. M是棱SB的中百 八、(I )求證：AM /面 SCD(H )求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值；(m)設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為9,求sin 8的最大化【解答】解：(I)以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則A (0, 0, 0), B (0, 2, 0), D (1, 0, 0,), S (0, 0, 2), M (0, 1, 1).則同二(0, 1, 1)，甌& 0, -2)，而=G1, -2, 0)|-設平面SCD的法向量是不(打y, G，則!三丁。，即行2C

20、Dn=0lr-2y=0令 z=1,貝U x=2, y=- 1.于是-1, 1).v n*AI=0-lXl+lXl-C,:AM 曰.又AM?平面 SCR.AM/平面 SCD(H)易知平面SAB的法向量為元二(1, 0.。).設平面SCM平面SAB所成的二面角為%則 186a |= 1nF = 5二? , 即s言cl二年. |n nJ 1K46 33平面SC叫平面SAB所成二面角的余弦值為 學.(m)設 N (x, 2x- 2, 0),則福二 J, 2s-3, T).,白二51 四 1_Lii的f區(qū)石尸音I、k , 士 V s 5526. (2011?瓊海一模)如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1

21、C1 中，AB=2, AC=AA=S ,Z ABC=. 3(1)證明：ABA1C;(2)求二面角A-A1C- B的正弦值.【解答】解：(1)證明：在 ABC中，由正弦定理可求得26 .AB，AC以A為原點，分別以 AR AG AA1為x、v、z軸，建立空間直角坐標系，如圖則 A ( 0 , 0 , 0 )%( 0 m 0 . 2匹)B ( 2 , 0 , 0 )c( 0 ， 2V3 )AB=( 2 , 0 , 0 ) 77c=( 0 f , -2正)嘉不二口匚獲1 IT即 AB A1C.(2)由(1)知甲二(2 , 0 ,)AiC- B 的平面角為 a設面角 A,-r. VioSinl =Vi

22、-cos 1 -B1J27. (2012?日照二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，/ BAD=60 , Q為AD的中點.(1)若PA=PD求證：平面 PQB，平面PAD;(2)點M在線段PC上，PM=tPC,試確定t的值，使PA/平面MQB;(3)在(2)的條件下，若平面 PAD1平面ABCR且PA=PD=AD=2求二面角M-BQ- C的大小.【解答】(1)證明：連BD,丁四邊形ABCD菱形,/BAD=60,. ABD為正三角形，. Q為 AD 中點， . AD,BQPA=PD Q 為 AD 的中點，. . AD, PQ又 BQA PQ=Q. AD,平面 PQB, AD?平

23、面 PAD平面PQB1平面PAR(2)當t=:時，使得PA/平面MQB,連AC交BQ于N,交BD于O,連接MN,則。為BD的中點, 又; BQ為4ABD邊AD上中線，.二N為正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a,則AN當a, AC斐a. .PA/平面 MQB, PA?平面 PAC 平面 PA6 平面 MQB=MN .PA/ MNPC AC 3即：pm=Lpc, t=J_； 33(3)由PA=PD=AD=2 Q為AD的中點，貝U PQAD,又平面PAD1平面 ABCR 所以PQL平面ABCR以Q為坐標原點，分別以 QA、QR QP所在的直線為x, y, z軸，建立如圖所 示的坐標系，則

24、各點坐標為 A (1, 0, 0), B (0,正，0), Q (0, 0, 0), P(0, 0,后)F t設平面MQB的法向量為：二6, v，1),可得,二,而 PA/ MN, J二學二，.y=0, x=/3n*Fk=On=（V31） 取平面ABCD的法向量；一 .-=|S. ccc L一 f、_ ID EL1, cos 、=p: mini z二面角M - BQ- C的大小為60.28. (2015?玉山縣校級模擬)如圖，三棱柱 ABC- A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方 形，側(cè)面 BBGC為菱形，/ CBB=60, AB B1C.(I)求證：平面 AAiBiB,平面BBiCiC;(I

25、I)求二面角B-AC- Ai的余弦值.AA【解答】證明：(I)由側(cè)面AAiBiB為正方形，知ABXBBi.又 AB，BC, BBABiC=B, . AB，平面 BBCiC,又 AB?平面 AABiB,；平面 AAiBiBXBBiCiC.(H)由題意，CB=CB,設。是BBi的中點，連接CO,則CO BBi.由(I )知，CO,平面ABiBiA.建立如圖所示的坐標系 O- xyz.其中O是BBi的中點，Ox/ AB, OBi為y軸，OC為z軸.不妨設 AB=2,則 A (2, - 1, 0), B (0, - 1, 0), C (0, 0,6)，Ai (2, 1, 0).彘二(-2, 0, 0)

26、, AC= (-2, 1, kf3),為二(0, 2, 0)設司二(町y1，z1)為面ABC的法向量，則海=0,吊函=0,即1L取Z1 = -一2*14尸44二01,T).設司二(X2, y2, Z2)為面ACA的法向量，則用嗝 =0,石標=0,即 cL 八取地於，得n1 (6，0, 2).-2工廣芋/7 3七工二n二所以 cos?n1,2 =質(zhì)1同因此二面角B-AC- A1的余弦值為-29. (2016?青島一模)在四棱錐 P-ABCD中，PAa平面ABCR 4ABC是正三角 形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，又PA=AB=4 /CDA=120,點N在線段 PB上，且 PN=/2.(I )求證：BD PC;(n )求證：MN /平面PDC;(m )求二面角A- PC- B的余弦值.【解答】證明：(I);ABC是正三角形，M是AC中點, BMXAC,即 BDAC.又PAL平面 ABCD PMBD.又 PAA AC=ABDL平面 PACBD PC.(H)在正 ABC中，BM=2V3.在AACD中，M 為 AC中點，DMAC, . AD=CD /ADC=120, . . DM=-,