1、5.6 反常積分反常積分(廣義積分廣義積分)一、無窮區(qū)間上的積分一、無窮區(qū)間上的積分二、被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的積分二、被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的積分 adxxf)( babdxxf)(lim一、無窮區(qū)間上的積分一、無窮區(qū)間上的積分 bdxxf)( baadxxf)(lim dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim例例1 1 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分11.dxx解解11limbbdxxlim(lnln1)bb. 11.dxx發(fā)散例例2 2 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbx

2、dx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 證明廣義積分證明廣義積分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)1 p時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散.證證(1)1,p 11dxxlim lnbb, (2)1,p 11dxxp11lim1bpbxp 1,111,ppp11limbbdxx11limbpbdxx11lim(1)1pbbp例例4 4 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim b

3、barctanlim .22 無窮限的反常積分無窮限的反常積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)(二、小結(jié)二、小結(jié)根據(jù)定義先把反常積分變成定積分,再取極限.定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點(diǎn)點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界取的右鄰域內(nèi)無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)

4、，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點(diǎn)而在點(diǎn)b的左鄰域內(nèi)無界的左鄰域內(nèi)無界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點(diǎn)上除點(diǎn))(bcac 外連外連續(xù)，而在點(diǎn)續(xù)，而在點(diǎn)c的鄰域內(nèi)無界的鄰域內(nèi)無界. .如果兩個(gè)廣義積分如果兩個(gè)廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中的點(diǎn)定義中的點(diǎn)c為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.例例3 3 計(jì)算廣義積分計(jì)算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). axadx022 axadx0220lim