1、九年級數學九年級數學(下下)第三章第三章 圓圓3.2 3.2 圓的對稱性圓的對稱性(1)(1) - -垂徑定理垂徑定理 天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321.巧手剪一剪巧手剪一剪n將圓沿著圓心將圓沿著圓心O對折，然后沿著圓的一半輪廓線剪下。對折，然后沿著圓的一半輪廓線剪下。駛向勝利的彼岸n這說明了什么？這說明了什么？On展開后是一個完整的圓嗎？展開后是一個完整的圓嗎？天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群2 3.2 圓的軸對稱性圓的軸對稱性 3. n圓是軸對稱圖形圓是軸對稱圖形駛向勝利

2、的彼岸它的對稱軸是什么它的對稱軸是什么? ?你能找到多少條對稱軸？你能找到多少條對稱軸？n圓的對稱軸是任意一條圓的對稱軸是任意一條經過圓心的直線經過圓心的直線, ,它有無它有無數條對稱軸數條對稱軸. .O O4 n圓上任意兩點間的部分叫做圓上任意兩點間的部分叫做圓弧圓弧,簡稱簡稱弧弧.駛向勝利的彼岸n連接圓上任意兩點間的線段叫做連接圓上任意兩點間的線段叫做弦弦(如弦如弦AB).On經過圓心的經過圓心的弦弦叫做叫做直徑直徑(如直徑如直徑AC).ABn以以A,B兩點為端點的兩點為端點的弧弧.記作記作 ,讀作讀作“弧弧AB”.ABn小于半圓的小于半圓的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如記作如記作 (用用兩個字

3、母兩個字母).ADBn大于半圓的大于半圓的弧弧叫做優弧叫做優弧,如記作如記作 (用三個字母用三個字母).ABCD51.將剛才折出的直徑記為將剛才折出的直徑記為CD。2.2.你能折一條與直徑你能折一條與直徑CDCD垂直的弦嗎？垂直的弦嗎？ 3.將弦記為將弦記為ABAB，將垂足記為，將垂足記為M M，則有，則有 ABCDABCD于于M M。4.你能發現圖中有哪些等量關系？你能發現圖中有哪些等量關系？請你說說它們相等的理由。請你說說它們相等的理由。OCDABMAM=BM，AC=BC，AD=BD 巧手折一折巧手折一折6連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.AM=BM.點點A和點和

4、點B關于關于CD對稱對稱. O關于直徑關于直徑CD對稱對稱,當圓沿著直徑當圓沿著直徑CD對折時對折時,點點A與點與點B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.CDAB于于M證明：證明：已知：已知：CD是是 O的直徑，的直徑，AB是是 O的一條弦，的一條弦，且且CDAB于于M，求證：求證：AM=BM， AC =BC, AD =BD7垂徑定理垂徑定理n定理定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧并且平分弦所的兩條弧.n老師提示老師提示:n垂徑定理是垂徑定理是圓中一個重圓中一個重要的結論要的結論,三三種語言要相種語言要相互轉化互

5、轉化,形成形成整體整體,才能運才能運用自如用自如.駛向勝利的彼岸OABCDMCDAB, CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD =BD.條件條件一條直徑一條直徑垂直于弦垂直于弦直徑平分弦直徑平分弦平分弦所對的弧平分弦所對的弧結論結論81.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB為為直徑，則下列結論不正確的是（直徑，則下列結論不正確的是（ ）2.已知已知 O的直徑的直徑AB=10，弦，弦CD AB，垂足為垂足為M，OM=3，則，則CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB為直徑，若為直徑，若CD=10，AM=1，則，則 O的半徑是的半徑是 . OCDABMC A、AC=

6、AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM813注意：注意：解決有關弦的問題時解決有關弦的問題時,半徑是常用的一種半徑是常用的一種輔助線的添法往往結合勾股定理計算。輔助線的添法往往結合勾股定理計算。9 例例1如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(即圖中即圖中 ，點點o是是 的圓的圓 心心)，其中，其中CD=600m,E為為 上一點，上一點，且且OECD ，垂足為，垂足為F，EF=90m,求這段彎路的半求這段彎路的半徑。徑。 CDCDCDCDE FO10. 6.已知：如圖，在以已知：如圖，在以O為圓心的兩個同心為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦圓中，大圓的弦AB

7、交小圓于交小圓于C，D兩點。兩點。你認為你認為AC和和BD有什么關系？為什么？有什么關系？為什么？證明：過證明：過O作作OEAB，垂足為，垂足為E， 則則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE5.5.在半徑為在半徑為3030的的O O中，弦中，弦AB=36AB=36，則，則O O到到ABAB的距離是的距離是= = ，OABOAB的余弦值的余弦值= = 。 OABP0.624mm注意：解決有關弦的問題，過圓心作注意：解決有關弦的問題，過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法是一種常用輔助線的添法11n在在O O內

8、任取一點內任取一點M,M,請你折出一條弦請你折出一條弦ABAB，使，使ABAB經過點經過點M M，并且，并且AM=BM.AM=BM.OMn你能說說這樣找的理由？你能說說這樣找的理由？巧手再來做一做巧手再來做一做12挑戰自我挑戰自我n如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相那么這兩條弦所平的弧相等嗎等嗎?OABCD垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.EFMN13挑戰自我挑戰自我OABCD垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.OABCD 2.兩弦在圓心的兩側兩弦在圓心的兩側OA

9、BCD 3.一條弦經過圓心一條弦經過圓心1.兩弦在圓心的同側兩弦在圓心的同側EF14n在在O O內任取一點內任取一點M,M,請你折出一條弦請你折出一條弦ABAB，使，使ABAB經過點經過點M M，并且，并且AM=BM.AM=BM.OMn你能說說這樣找的理由？你能說說這樣找的理由？巧手再來做一做巧手再來做一做15課堂小結課堂小結1、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是每一條直徑所在的直線或、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是每一條直徑所在的直線或經過圓心的每一條直線。經過圓心的每一條直線。2、垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦弦所對的兩條弧。、垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦弦所對的兩條弧。CD平分弧平分弧

10、ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧ACBCD過圓心過圓心CDABCDBAO3、在、在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、圓心到弦的距離、圓心到弦的距離d、弦長、弦長a中，中，任意知道兩個量，可根據任意知道兩個量，可根據垂徑垂徑定理求出第三個量：定理求出第三個量：16注意注意: 解決有關弦的問題，經常是過圓心作解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。徑等輔助線，為應用垂徑定理創造條件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO17下課了!18課堂小結課堂小結1.本節課主要學習了什么本節課主要學

11、習了什么？2.垂徑定理有哪些作用？垂徑定理有哪些作用？19. 下面請同桌兩個同學拿出一個圓，下面請同桌兩個同學拿出一個圓，在圓上畫一條優弧，一條劣弧，一在圓上畫一條優弧，一條劣弧，一條不是直徑的條不是直徑的弦，一條直徑弦，一條直徑, ,并將它并將它們表示出來。們表示出來。巧手畫一畫巧手畫一畫201.在在 O中，若中，若CD AB于于M，AB為為直徑，則下列結論不正確的是（直徑，則下列結論不正確的是（ ）2.已知已知 O的直徑的直徑AB=10，弦，弦CD AB，垂足為垂足為M，OM=3，則，則CD= .3.在在 O中，中，CD AB于于M，AB為直徑，若為直徑，若CD=10，AM=1，則，則 O

12、的半徑是的半徑是 . 4.在半徑為在半徑為5050的圓的圓O O中，有長中，有長5050的弦的弦CDCD，則點，則點O O與與CDCD的的距離距離= = .OCDABMC A、AC=AD B、BC=BD C、AM=OM D、CM=DM813253mm21Goodbye22.1.本節課我們主要學習了本節課我們主要學習了圓的軸對稱性圓的軸對稱性 和和垂徑定理垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦， 并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧 2.垂徑定理的證明，是通過垂徑定理的證明，是通過“實驗實驗觀察觀察猜想猜想證明證明”實現的，體現了實踐的觀點、運動變

13、化的觀點和先猜想實現的，體現了實踐的觀點、運動變化的觀點和先猜想后證明的觀點，定理的引入還應用了從特殊到一般的思后證明的觀點，定理的引入還應用了從特殊到一般的思想方法想方法 3.有關弦的問題，常常需要有關弦的問題，常常需要過圓心作弦的垂線段過圓心作弦的垂線段，這是，這是一條非常重要的一條非常重要的輔助線輔助線圓心到弦的距離、半徑、弦長圓心到弦的距離、半徑、弦長構成構成直角三角形直角三角形，便將問題轉化為解直角三角形的問題，便將問題轉化為解直角三角形的問題 23挑戰自我挑戰自我n如果圓的兩條弦互相平行如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所平的弧相那么這兩條弦所平的弧相等嗎等嗎?n提示提示: 這兩

14、條弦在圓中位置有兩種情況這兩條弦在圓中位置有兩種情況:OABCD1.兩條弦在圓心的同側兩條弦在圓心的同側OABCD2.兩條弦在圓心的兩側兩條弦在圓心的兩側垂徑定理的推論垂徑定理的推論 圓的兩條平行弦所夾的弧相等圓的兩條平行弦所夾的弧相等.24 .AOBECDF思考題思考題已知：已知：AB是是 O直徑，直徑，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求證：求證：ECDF25AM=BM,垂徑定理垂徑定理nAB是是 O的一條弦的一條弦.n你能發現圖中有哪些等量關系你能發現圖中有哪些等量關系?與同伴說與同伴說說你的想法和理由說你的想法和理由. 做一做做一做P89駛向勝利的彼岸n作直徑作直徑CD,使使CDAB,

15、垂足為垂足為M.On右圖是軸對稱圖形嗎右圖是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,其對稱軸是什么其對稱軸是什么?n小明發現圖中有小明發現圖中有:ABCDMn由由 CD是直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.26試一試試一試P93駛向勝利的彼岸 n3、已知：如圖，、已知：如圖， O 中，中， AB為為 弦，弦，C 為為 AB 的中點，的中點，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半徑的半徑OA.DOABC27試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰自我挑戰自我畫一畫畫一畫n4.如圖如圖,圓圓O與矩形與矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG

16、=6,AH=4.求求BE的長的長.ABCD0EFGH28試一試試一試P93駛向勝利的彼岸挑戰自我挑戰自我填一填填一填n1、判斷：、判斷：n 垂直于弦的直線平分這條弦垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩并且平分弦所對的兩條弧條弧. （ ）n平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一條弧另一條弧. （ ）n經過弦的中點的直徑一定垂直于弦經過弦的中點的直徑一定垂直于弦.（ ）n圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行. （ ）n弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧. （

17、）29練習練習2:在圓在圓O中，直徑中，直徑CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圓求圓O的半徑。的半徑。10DCEOAB反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半徑的半徑r、 圓心到弦的距離圓心到弦的距離d、弦長、弦長a中，中， 任意知道兩個量，可根據任意知道兩個量，可根據定理求出第三個量：定理求出第三個量：CDBAO例例2：如圖，圓：如圖，圓O的弦的弦AB8 ， DC2，直徑，直徑CEAB于于D， 求半徑求半徑OC的長。的長。DCEOAB垂徑垂徑直徑直徑MNAB,垂足為垂足為E,交弦交弦CD于點于點F.30例例3：如圖，已知圓：如圖，已知圓O的直徑的直徑AB與與 弦弦CD相交于相交于G，AECD于于E， BFCD于于F，且圓，且圓O的半徑為的半徑為