1、一、基本內容及基本要求一、基本內容及基本要求 第一章、緒論第一章、緒論了解數值分析的研究對象與特點。了解數值分析的研究對象與特點。了解誤差來源與分類了解誤差來源與分類,會求有效數字會求有效數字; 會簡單誤差估計。會簡單誤差估計。1.了解誤差的定性分析及避免誤差危害。了解誤差的定性分析及避免誤差危害。 第二章、插值法第二章、插值法了解插值的概念。了解插值的概念。掌握拉格朗日掌握拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值法及其余項公式。插值法及其余項公式。了解均差的概念及基本性質，掌握牛頓插值法。了解均差的概念及基本性質，掌握牛頓插值法。了解差分的概念，會牛頓前插公式、后插公式。了解差分

2、的概念，會牛頓前插公式、后插公式。會埃爾米特會埃爾米特( (HermiteHermite) )插值及其余項公式。插值及其余項公式。知道高次插值的病態性質知道高次插值的病態性質, ,會分段線性插值和分會分段線性插值和分段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。段埃爾米特插值及其誤差和收斂性。1.1. 會三次樣條插值會三次樣條插值, ,知道其誤差和收斂性。知道其誤差和收斂性。 第三章、函數逼近與曲線擬合第三章、函數逼近與曲線擬合了解函數逼近的基本概念了解函數逼近的基本概念,了解范數和內積空間。了解范數和內積空間。了解正交多項式的概念了解正交多項式的概念,了解切比雪夫多項式和勒讓了解切比雪夫多項式和勒讓德多項

3、式以及它們的性質德多項式以及它們的性質,知道其他常用正交多項式。知道其他常用正交多項式。理解最佳一致逼近的概念理解最佳一致逼近的概念, 理解最佳平方逼近的概理解最佳平方逼近的概念念,掌握最佳平方逼近多項式的求法掌握最佳平方逼近多項式的求法,了解用正交多了解用正交多項式做最佳平方逼近的方法。項式做最佳平方逼近的方法。掌握曲線擬合的最小二乘法并會計算掌握曲線擬合的最小二乘法并會計算,了解用正交多了解用正交多項式做最小二乘擬合。項式做最小二乘擬合。了解最小二乘三角逼近與快速傅里葉變換了解最小二乘三角逼近與快速傅里葉變換*。CH4 數值積分與數值微分數值積分與數值微分 基本內容及基本要求基本內容及基本

4、要求 了解數值求積的基本思想、代數精度的概念、插值型求積公式及其代數精度、求積公式的收斂性和穩定性。掌握牛頓-柯特斯公式及其性質和余項。 掌握復化梯形公式和復化辛普森公式及其余項。了解龍貝格(Romberg)求積算法，知道外推法。會高斯求積公式,了解高斯-勒讓德求積公式和高斯-切比雪夫求積公式。了解幾種常用的數值微分方法。 CH5、解線性方程組的直接方法、解線性方程組的直接方法基本內容及基本要求基本內容及基本要求了解求解方程組的兩類方法,了解矩陣基礎知識。掌握高斯消去法,會矩陣的三角分解。掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若當消去法。掌握直接三角分解法,了解平方根法,會追趕法,了解有關結論。了

5、解向量和矩陣的幾種范數。了解矩陣和方程組的性態,會求其條件數。1.會初等反射陣和平面旋轉陣,了解QR分解,了解用正交約化法解超定方程組。一、解線性方程組的迭代法一、解線性方程組的迭代法 CH6 CH6 線性方程組迭代解法線性方程組迭代解法了解迭代法及其收斂性的概念。掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3. 了解一階定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程組迭代法的收斂條件。4.掌握共軛梯度法。5. 知道分塊迭代法。CH7、非線性方程求根、非線性方程求根 基本內容及基本要求基本內容及基本要求 了解求根問題和二分法。 了解不動點迭代法

6、,及不動點存在性和迭代收 斂性； 了解收斂階的概念和有關結論。3. 了解加速迭代收斂的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4. 掌握牛頓法及其收斂性、了解簡化牛頓法和牛頓法 下山法,了解重根情形。5. 掌握弦截法，了解拋物線法。6. 了解非線性方程組的迭代解法。 CH8、矩陣特征值問題計算、矩陣特征值問題計算 了解特征值和特征向量的概念和性質, 了解圓盤定理、Schur定理和Rayleigh商。2. 掌握乘冪法，了解其加速收斂技術,會反冪法。3. 了解豪斯霍爾德方法。4. 了解QR方法。基本內容及基本要求基本內容及基本要求 第九章第九章 常微分方程初值問題數值解法常微分方程初值問題數值解法關鍵詞：關鍵詞

7、：歐拉法、后退歐拉法、梯形法、顯式法、歐拉法、后退歐拉法、梯形法、顯式法、隱式法、（隱式法、（2、3、4階）龍格庫塔法、階）龍格庫塔法、單步法、單步法、線性多步法、線性多步法、ADAMS法、預測法、預測-校正法、校正法、相容性、相容性、收斂性、穩定性（判別法）、收斂階、局部截斷收斂性、穩定性（判別法）、收斂階、局部截斷誤差、全局截斷誤差誤差、全局截斷誤差、剛性方程、剛性方程二、數值分析內容提要二、數值分析內容提要第1章緒論x*xn)1010(10)11(121*nnmaaax) 1(1*1021nra) 1(1*10) 1( 21nra*xn一、定理一、定理 設設的近似值的近似值有有位有效數字

8、，位有效數字，則其相對誤差限則其相對誤差限反之，若其相對誤差限滿足：反之，若其相對誤差限滿足：，則，則有有位有效數字。位有效數字。二、誤差限的運算：二、誤差限的運算： 2*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1|)(|)(|)/()(|)(|)()()()(xxxxxxxxxxxxxxxxx三、誤差的傳播三、誤差的傳播)(| )(|)()(),(),(),()()()(*1*11*1*xxfxfxxxxxfxxfxxfxxxfxfxfiiniinnn四、穩定性四、穩定性 nn1第2章 插值法常用的代數插值公式有：拉格朗日型 njjnjiiijijnjjnyxxxxy

9、xlxP000)()(和牛頓型公式 )()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP)()()!1(1)(,)(1)1(10 xfnxxxxfxRnnnnn),(),(01baxxniin插值余項為其中 njjjnjjjnyxyxxH0012)()()(njxlxxxxlxlxxxlxxxxxjjjjjjjjnjiiijjj,2, 1 ,0),()()()()()(21)(1)(21)(2220)(xlj2埃爾米特插值公式為 其中 的表達式同拉格朗日型公式中的基函數。 插值余項為 )()()!22(1)(12)22(12xf

10、nxRnnn3三次樣條插值多項式，詳見教材。第3章 函數逼近與曲線擬合baCnixbaCxfi,0),(,)(為)()(.,*10 xfxspann與若ffxaxniiimin,)()(0*滿足中在范數 和21、函數逼近的概念。設中一組線性無關的函數，在某種范數意義下距離最近，即則稱為某范數在意義下的最佳逼近函數。特別當范數為時，分別為最佳平方逼近和最佳一致逼近。第4章 數值積分與數值微分第5章 解線性方程直接法第6章 解線性方程迭代法雅可比迭代法雅可比迭代法計算公式：對k=0,1,), 1( ,/ )( ,),(1)()1()0()0(1)0(niaxijabxxxxiinijjkjikiT

11、nfxBbDxULDxbULxD)(1)(1) 1()()() 1()( kJkkkkk xx得到矩陣表示借助矩陣分裂高斯高斯塞德爾迭代法塞德爾迭代法計算公式：對k=0,1,), 1( ,/ )( ,),(1)(11)1()1()0()0(1)0(niaxijaxijabxxxxiinijkjijkjikiTn kkkbUxLxDx)()1()1( ,A迭代法等價于的分裂記號采用矩陣示形式為塞德爾迭代法的矩陣表于是，高斯 fxBbLDUxLDx)(1)(1) 1()()(kGkk SORSOR迭代法的計算公式:對k=0,1,. 0 ), 2 , 1( ,/ )( ,),()(11)1()()1

12、()0()0(1)0(松弛因子niaxijaxijabxxxxxiinijkjijkjikikiTn kkkkk）化為的分裂記號采用矩陣)()()1()()1( ,DxUxLxbDxDxA.)()1()( 1)(1) 1( SORkkbLDxUDLDx為迭代法的矩陣表示形式. 1)()5 . 3( )0()() 1(BxfBxx收斂迭代法則對任意初始向量一階定常迭代法kk定定理理4 4定理定理7 7 若矩陣A A按行(或列)嚴格對角占優,或按行(或列)弱對角占優不可約；則Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收斂。. 20 ,SOR 則松弛因子迭代收斂若定定理理8 8定理定理9 9

13、對于線性方程組AxAx=b b，若A A為對稱正定矩陣，則當02時，SOR迭代收斂. 定理定理10 10 對于線性代數方程組Ax=b， 若A按行(或列)嚴格對角占優，或按行(或列)弱對角占優不可約；則當0w1時，SOR迭代收斂。第第7章章 非線性方程求根非線性方程求根.*,)(2.4 |;| )()(| , , 10 (2) ,)( , (1) , ,)( xbaxgyxLygxgbayxLbaxgbaxbaCxg上存在唯一的不動點在那么）（都有使得常數都有并且如果迭代函數定理1定理1*,)(2.2) ,2 0 xxgbax的不動點均收斂于迭代序列對任意初值的條件下在定理定定理理2 2并有誤差

14、估計(2.5) . |1|*| 01xxLLxxkk. |11|*| 1kkkxxLxx還有. |11|*| 4) |,|1|*| 3) *,), 2 , 1 , 0( )( , 2) *,0)( 1) ; 1| )(|, , 10 (2) ,)( , (1) , ,)( 101101kkkkkkkxxLxxxxLLxxxkxgxbaxxbaxfLxgbaxLbaxgbaxbaCxg收斂于迭代上有唯一的根在方程那么都有使得都有并且如果迭代函數推論推論.)2 . 2( , 1|*)(| ,*)(,)(* 是局部收斂的則迭代法且內有連續導數的某鄰域在的不動點為迭代函數若 xgxxgxgx定定理理3

15、 3 .)()( :1kkkkxfxfxx牛頓迭代法牛頓迭代法).()()()( :111kkkkkkkxxxfxfxfxx兩兩點點弦弦截截法法. ), 1( |,| ,)( (1) )( nijniaaanGerschgoriijiinnij某個圓盤之中一個特征值必屬于下列的每則設圓盤定理AA定理8定理8.S ,S, 個特征值的中恰有則個圓盤分離與其余且個圓盤構成一個連通域個圓盤中有如果上述的mmnSmnA( (2 2) )第第8章章 矩陣特征值問題計算矩陣特征值問題計算(2.9) )1,2,( ./),max( , , )0( , , 131001021kanRkkkkkkknnnvuvA

16、uvvuvA計算，對任何非零初始向量其特征值個線性無關的特征向量有設定定理理.lim ,)max(lim 111kkkkxxu則 ).1,2,( ,)max( , )0( , 0 , 151100121kanRkkkkknnnnnvvuuAvvuA計算，對任何非零初始向量其特征值滿足向量個線性無關的特征為非奇異矩陣且有設定理定理.1)max(lim ,)max(lim nkknnkkvxxu則).( , 0 , ), 2 , 1( , 16ijpppninRijjiinn且的近似是而和值和特征向量記為的特征個線性無關的特征向量有設xAA定定理理(2.12) ).1,2,( ,)max( ,)(

17、 ),0(110kpakkkkkjvvuuIAvu計算對任何非零初始向量.)max(1,1)max( ,)max( jkjkjjkppvvxxu則反冪法計算公式:., 3 , 2 ,/ ),max( , (2) ;/),max( , ) 1 , 1 , 1 (1 . 2.,)( : . 111111111kpkkkkkkkkkTvuvyUvPuLyvuvvUvULPLUIAPLU得）解（反冪法迭代，保存分解)(),(aybxayxfdxdy本章討論形如的初值問題的數值解法，其中f（x,y）是已知連續函數，為給定的初值，假設該初值問題的解存在唯一。 第9章 常微分方程數值解法01,.2 , 1

18、, 0),(ynyxhfyynnnn0111,.2 , 1 , 0),(ynyxhfyynnnn單步法單步法歐拉（Euler）法及其改進形式向前歐拉公式（歐拉折線法或歐拉顯格式） 其中h為步長，該方法的局部截斷誤差階為O（h2），是一階方法。2.向后歐拉公式（后退歐拉公式） ,.2 , 1 , 0),(),(2111nyxfyxfhyynnnnnn,.2 , 1 , 0.;2 , 1 , 0),(),(2),()(11)1(1)0(1nkyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn,1)1(1nknyy和3. 梯形公式（歐拉公式的改進） 這是二階隱格式方法。實用中常按下述爹帶進行求解： 該方法是二階方法；如果關于k僅迭代一步，并換則稱該方法為歐拉預估校正方法。miKbyhaxhfKKCyyijjijniiimi