1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012墊墊 圈圈 法法 Washer MethodWasher Method蜀南竹海 七彩飛瀑 2019.5.1四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012墊圈法是計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的常用方法。美墊圈法是計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的常用方法。美國的微積分教材把它叫做國的微積分教材把它叫做Washer Method。墊圈法的思路是將旋轉(zhuǎn)體分成很多很薄的墊圈法的思路是將旋轉(zhuǎn)體分成很多很薄的形如墊圈的薄片，然后利用定積分將這些形如墊圈的薄片，然后利用定積分將這些墊圈的體積累積起來，得到旋轉(zhuǎn)體的體積。墊圈的體積累積起來，得到旋轉(zhuǎn)體的體積。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012由由 y=

2、f(x), y=g(x), x=a, x=b 所圍成的圖形所圍成的圖形繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體求旋轉(zhuǎn)體的體積求旋轉(zhuǎn)體的體積 Vx( )( )0 ()f xg xaxbbaab( )f x( )g xA四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 Vxba( )f x( )g xVVV大小2( )badxxf2( )badxxg22( )( )bag xdfxx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 201222 ( ) ( ) bxaVf xg xdx22()(dVgdxf xx體積元素為：體積元素為：故此法稱為

3、墊圈法故此法稱為墊圈法Washer method形如一墊圈。形如一墊圈。ba( )f x( )g x四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012墊圈法的一些示意圖墊圈法的一些示意圖四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 201213yxyx例例 1求以下兩曲線所圍成的平面求以下兩曲線所圍成的平面圖形分別繞圖形分別繞 x 軸和軸和 y 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.3yx解解 作圖作圖12xVV312202() xxxd821yx利用利用“墊圈法公式墊圈法公式四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 20121

4、2xVV312202() xxxd82113yxyx四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012113xyxy12yVV1213202()dyyy81513yxyx利用利用“墊圈法公式墊圈法公式四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012815yV821xV四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012例例 2 圓環(huán)體的體積圓環(huán)體的體積ab教材教材286頁頁, 題題 16222()xyba()ab繞繞 x 軸軸Torus 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012ab四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012aab222ybax221ybax2221()aaVyydx224aabax dx222a b2142ba利用利用“墊圈法公式墊圈法公式四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012ym( )f x繞繞 y=m 旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)半徑旋轉(zhuǎn)半徑 r？rA(x)=?思考題：思考題：( )g xO四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛May 2012Washer Method附: 美國微積分教材有關(guān)“墊圈法的介紹四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)