1、第十四講導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算班級_ 姓名_ 考號_日期_ 得分_、選擇題： (本大題共 6 小題，每小題 6 分，共 36 分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi).)1.下列結(jié)論不正確的是()A.若y= 3，則y= 0答案：B評析：簡單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是將函數(shù)關(guān)系式合理地轉(zhuǎn)化為可以直接應(yīng)用公式的基本函 數(shù)的模式.2.已知奇函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(一g,0上的解析式為f(x) =x2+x,則切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1 的切線方程是()A.x+y+ 1= 0B .x+y 1 = 0C. 3xy 1 = 0D. 3xy+ 1 = 0解析：由題意得，x0 時，一x0 時有解，21即 3ax+ -= 0 有解，x1即

2、3a=飛，x1T 飛0,x當(dāng) 3a0,即a0)的圖象在點(diǎn)(ak,ak)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)為ak+1,其中kN*.若a1= 16,則a+a3+a5的值是_ .解析：y= 2x,.過點(diǎn)(ak,ak)處的切線方程為yak= 2axak)，又該切線與x1 1軸的交點(diǎn)為(ak+1,0)，所以ak+1= ?ak，即數(shù)列ak是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1= 16,其公比q= ?,- a3= 4,a5= 1 ,a1+a3+a5= 21.答案：21答案:29T三、解答題：(本大題共 3 小題，11、12 題 13 分，13 題 14 分，寫出證明過程或推演步驟.)11. 已知曲線y=x3+x 2 在點(diǎn)P。處的

3、切線l1平行于直線 4xy 1 = 0,且點(diǎn)Po在第三象限.求P0的坐標(biāo)；(2)若直線I丄li，且I也過切點(diǎn)P0,求直線I的方程.32解：由y=x+x 2,得y= 3x+1,2由已知得 3x+ 1 = 4,解之得x= 1.當(dāng)x= 1 時，y= 0；當(dāng)x= 1 時，y= 4.又點(diǎn)P0在第三象限，切點(diǎn)Po的坐標(biāo)為(一 1, 4).(2) /直線I丄丨1,丨1的斜率為 4,1直線I的斜率為1.4/I過切點(diǎn)Po,點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(一 1 , 4),1直線I的方程為y+ 4= 4(x+ 1)，即x+ 4y+ 17= 0.12.已知函數(shù)f(x) =x3+x 16,(1) 求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2 , 6)

4、處的切線的方程；直線I為曲線y=f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線I的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；一 1 一如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y= x+ 3 垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.分析：首先要判斷已知點(diǎn)是否在曲線上，再根據(jù)切線的斜率即導(dǎo)數(shù)值列方程解決問題.解：(1)Tf(2) = 23+ 2 16= 6,點(diǎn)(2 , 6)在曲線上.32/f(x) = (x+x16) = 3x+ 1,在點(diǎn)(2 , 6)處的切線的斜率為2k=f(2)=3X2 +1=13.切線的方程為y= 13(x 2) + ( 6).即y= 13x 32.(2) 解法一：設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),則直線I的斜率為f(xo) = 3x7

5、+ 1,直線I的方程為：23y= (3Xo+ 1)(xXo) +Xo+Xo 16.又直線I過點(diǎn)(o,o),23 o= (3xo+ 1)( xo) +xo+xo 16,整理得xo= 8,xo= 2,yo= ( 2)3+ ( 2) 16= 26,21k= 3( 2) + 1 = 13,直線I的方程為y= 13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 26).解法二：設(shè)直線I的方程為y=kx，切點(diǎn)為(xo,yo),3“ yo 0 xo+xo16 則k=-xo 0又Tk=f(Xo)=3xo+1,3Xo+Xo 162打/口= 3xo+ 1,解得xo= 2,xoyo= ( 2)3+ ( 2) 16= 26,2k= 3( 2)

6、 + 1 = 13.直線l的方程為y= 13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2, - 26).x/切線與直線y= 4+ 3 垂直,斜率k= 4，設(shè)切點(diǎn)為(xo,yo),2則f(xo) = 3xo+ 1 = 4,Xo= 1xo= 1xo= 1,. f或.|yo= 14yo= 18即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 14)或(一 1, 18).切線方程為y=4(x 1) 14 或y= 4(x+ 1) 18.即y= 4x 18 或y= 4x 14.評析：解題過程中，很容易把所給的點(diǎn)當(dāng)作曲線上的點(diǎn)，錯誤原因是沒有把點(diǎn)代入方程進(jìn)行檢驗(yàn).113.設(shè)函數(shù)f(x) =ax+x+b(a,b Z)，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2 ,f(2)處的切線

7、方程為y=3.(1) 求f(x)的解析式；(2) 證明：函數(shù)y=f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；(3) 證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線x= 1 和直線y=x所圍的三角形的面積為定值，并求出此定值.1解：(1)f(x) =a (x+b)2.a=1,、a=4，解得b= 1 或b8Ib=-GX0于是所圍的三角形的面積為定值2.1/a,b Z,. f(x) = x+x 11證明：已知函數(shù) yi= x, y2=-都是奇函數(shù),x函數(shù) g(x) = x +1也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形而f(x) = xx可知 f(x)的圖象是由 g(x)的圖象沿 x 軸正方向向右平移 1 個單位，再沿 y 軸正方向向 上平移 1 個單位得到的故函數(shù)f(x)的圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對稱圖形.(3)證明：在曲線上任取一點(diǎn)ixo, Xo+ 1,令 y = x,得 x = 2xo 1,切線與直線 y= x 交點(diǎn)為(2xo 1,2xo 1) 直線 x= 1 與 y= x 交點(diǎn)為(1,1) 從而所圍的三角形的面積為1 十-1 |2xo 1 1| =11 |2xo 2|= 2.2 xo 1112 xo 1111+x1 =(x1