1、利用圖形的旋轉變換解題舉例這一輪課程改革,對幾何作了較大幅度的調整,印象較深之一是加強了"幾何變換"的內容,即從變換的角度去認識傳統幾何中的證題術。初中幾何涉及的變換主要有平移、對稱和旋轉,本文從"旋轉"這一角度舉些例子,供大家參考。我們知道,圖形的旋轉變換不改變圖形的形狀、大小,只改變圖形的位置,故解題時可充分利用圖形的旋轉變換的這一特點,把圖形位置進行改變,從而達到優化圖形結構,進一步整合圖形題設信息的目的,使較為復雜的問題得以順利求解。例1、如圖1分別以正方形ABCM邊ABAD為直徑畫半圓,若正方形的邊長為,求陰影部分的面積。解：連ACBD如右圖，

2、則繞AD中點將圖中逆時針旋轉到圖中,將圖中繞AB中點順時針方向旋轉到圖中,則原圖中陰影部分的面積就和DBC的面積相等，所以圖中陰影部分的面積=S/DCB=S正方形ABCD=O這里我們用旋轉變換的方法改變了圖中和的位置,從而順利地完成了計算。例2、如圖所示，在/ABC中,AB=AC,/BAC=,D是BC上任一點,試說明。證法一（非旋轉法）:過A點作AHBC于E,如圖，則容易證明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以,所以=+=,而在直角三角形ADE中，存在，所以，這是傳統的證明方法。本題考慮到BDDGAD三線段分散在兩個三角形中，而且構成平方和的條件不明顯，若利用旋轉變換，

3、將BHDC放到一個三角形中,若這個三角形是直角三角形,則創造就更能接近所證的目標了.證法二（旋轉法）：將4AD慨A點順時針方向旋轉到AAEB,如圖，連DE,易知ADE4DBE均為直角三角形，且AE=AD,BE=DC,所以在RCEBD中有,在RtAED中有，所以。例3、如圖所示,P為正方形內一點,且PA=1,BP=2,PC=3,求/APB的大小解：如圖（6）,將/BPC繞B點逆時針旋轉至UBEA,連EP易知/PBE=且AE=PC=3BE=BP=2Rt/BEP中，且/EPB=，在/AEP中，又，所以APE是直角三角形，即/APE=,/APBNAPE吆EPB=+=，即/APB為。傳統幾何中,有許多旋

4、轉的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如圖（7）,正方形ABCD勺邊長為1,AB、AD上各有一點P、Q,如果4APQ的周長為2,求/PCQ的度數。將CDQ繞C點逆時針旋轉90°像圖（8）那樣，立刻可得QA+AB+BE=2hAPQ周長為2得PQ=PE,進一步可得CPQiCPE,/PCQ=PCE又/QCE=90,所以/PCQ=45。又如圖(9),4ABC中,AB=AC,P為三角形內一點，且ZAPB/APC求證：PCPB。將4APB繞A點逆時針旋轉成右圖那樣，不難得到條件ZAPB/APC變成了/PQCZQPC從而PCCQ由旋轉關系,PCPB。最能體現旋轉法的莫過于下面這個問題了:如圖(10),四邊形ABC3,AB=AD,/A=/C=90，其面積為16,求A到BC的距離。通過旋轉變換,將圖(10)變成圖(11),答案可以脫口而出:距離為4!類似的例子可以舉出許多,這里不再贅述。綜上可見,正確利用圖形的旋轉變換可大大提