1、相似三角形經(jīng)典習(xí)題例1 從下面這些三角形中,選出相似的三角形. 例2 已知:如圖,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF 與CDF 的周長(zhǎng)的比,如果2cm 6=AEF S ,求CDF S . 例3 如圖,已知ABD ACE ,求證:ABC ADE . 例4 下列命題中哪些是正確的,哪些是錯(cuò)誤的?(1所有的直角三角形都相似. (2所有的等腰三角形都相似.(3所有的等腰直角三角形都相似. (4所有的等邊三角形都相似.例5 如圖,D 點(diǎn)是ABC 的邊AC 上的一點(diǎn),過(guò)D 點(diǎn)畫(huà)線段DE ,使點(diǎn)E 在ABC 的邊上,并且點(diǎn)D 、點(diǎn)E 和ABC 的一個(gè)頂點(diǎn)組成的小三角形與ABC 相似.盡可能多地畫(huà)

2、出滿足條件的圖形,并說(shuō)明線段DE 的畫(huà)法. 例6 如圖,一人拿著一支刻有厘米分畫(huà)的小尺,站在距電線桿約30米的地方,把手臂向前伸直,小尺豎直,看到尺上約12個(gè)分畫(huà)恰好遮住電線桿,已知手臂長(zhǎng)約60厘米,求電線桿的高. 例7 如圖,小明為了測(cè)量一高樓MN 的高,在離N 點(diǎn)20m 的A 處放了一個(gè)平面鏡,小明沿NA 后退到C 點(diǎn),正好從鏡中看到樓頂M 點(diǎn),若5.1=AC m ,小明的眼睛離地面的高度為1.6m ,請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度(精確到0.1m . 例8 格點(diǎn)圖中的兩個(gè)三角形是否是相似三角形,說(shuō)明理由. 例9 根據(jù)下列各組條件,判定ABC 和C B A '''是

3、否相似,并說(shuō)明理由:(1,cm 4,cm 5.2,cm 5.3=CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A . (2='='=35,44,104,35A C B A .(3='=''=''=48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如圖,下列每個(gè)圖形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它們用字母表示出來(lái),并簡(jiǎn)要說(shuō)明識(shí)別的根據(jù). 例11 已知:如圖,在ABC 中,BD A AC AB ,36,

4、=是角平分線,試?yán)萌切蜗嗨频年P(guān)系說(shuō)明AC DC AD =2. 例12 已知ABC 的三邊長(zhǎng)分別為5、12、13,與其相似的C B A '''的最大邊長(zhǎng)為26,求C B A '''的面積S .例13 在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師讓同學(xué)們到操場(chǎng)上測(cè)量旗桿的高度,然后回來(lái)交流各自的測(cè)量方法.小芳的測(cè)量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在離旗桿27米的C 處(如圖,然后沿BC 方向走到D 處,這時(shí)目測(cè)旗桿頂部A 與竹竿頂部E 恰好在同一直線上,又測(cè)得C 、D 兩點(diǎn)的距離為3米,小芳的目高為1.5米,這樣便可知道旗桿的高.你認(rèn)為這種測(cè)量方法是否可行?請(qǐng)說(shuō)明

5、理由. 例14.如圖,為了估算河的寬度,我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A ,再在河的這一邊選點(diǎn)B 和C ,使BC AB ,然后再選點(diǎn)E ,使BC EC ,確定BC 與AE 的交點(diǎn)為D ,測(cè)得120=BD 米,60=DC 米,50=EC 米,你能求出兩岸之間AB 的大致距離嗎? 例15.如圖,為了求出海島上的山峰AB 的高度,在D 和F 處樹(shù)立標(biāo)桿DC 和FE ,標(biāo)桿的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺,并且AB 、CD 和EF 在同一平面內(nèi),從標(biāo)桿DC 退后123步的G 處,可看到山峰A 和標(biāo)桿頂端C 在一直線上,從標(biāo)桿FE 退后127步的H 處,可看到山峰A 和標(biāo)桿頂端E 在一直線

6、上.求山峰的高度AB 及它和標(biāo)桿CD 的水平距離BD 各是多少?(古代問(wèn)題 例16 如圖,已知ABC 的邊AB =32,AC =2,BC 邊上的高AD =3.(1求BC 的長(zhǎng);(2如果有一個(gè)正方形的邊在AB 上,另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AC ,BC 上,求這個(gè)正方形的面積. 相似三角形經(jīng)典習(xí)題答案例1. 解 、相似,、相似,、相似例2.解 ABCD 是平行四邊形,CD AB CD AB =,/,AEF CDF ,又2:1:=EB AE ,3:1:=CD AE ,AEF 與CDF 的周長(zhǎng)的比是1:3. 又cm (6,31(22=AEF CDFAEF S S S ,cm (542=CDF S . 例3

7、分析 由于ABD ACE ,則CAE BAD =,因此DAE BAC =,如果再進(jìn)一步證明AECA ADBA =,則問(wèn)題得證.證明 ABD ACE ,CAE BAD =.又DAC BAD BAC += ,CAE DAC DAE +=, DAE BAC =. ABD ACE ,AEAC ADAB =.在ABC 和ADE 中,AEAC ADAB ADE BAC =,ABC ADE 例4.分析 (1不正確,因?yàn)樵谥苯侨切沃?兩個(gè)銳角的大小不確定,因此直角三角形的形狀不同.(2也不正確,等腰三角形的頂角大小不確定,因此等腰三角形的形狀也不同.(3正確.設(shè)有等腰直角三角形ABC 和C B A '

8、;'',其中='=90C C , 則='='=45,45B B A A ,設(shè)ABC 的三邊為a 、b 、c ,C B A '''的邊為c b a '''、, 則a c b a a c b a '=''='=2,2,a a c cb b a a '=''=',ABC C B A '''.(4也正確,如ABC 與C B A '''都是等邊三角形,對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊都成比例,因此ABC C B A &#

9、39;''. 答:(1、(2不正確.(3、(4正確. 例5.解: 畫(huà)法略.例6.分析 本題所敘述的內(nèi)容可以畫(huà)出如下圖那樣的幾何圖形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ACAF EC DF AEC =,又ACF ABC ,BC GF EC DF =,從而可以求出BC 的長(zhǎng).解 EC DF EC AE /, ,EAC DAF AEC ADF =,ADF AEC .ACAF ECDF =.又EC BC EC GF ,ABC AGF ACB AFG BC GF =,/, AGF ABC ,BCGF ACAF =,BCGF

10、ECDF =.又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,6=BC 米.即電線桿的高為6米. 例7.分析 根據(jù)物理學(xué)定律:光線的入射角等于反射角,這樣,BCA 與MNA 的相似關(guān)系就明確了.解 因?yàn)镸AN BAC AN MN CA BC =,所以BCA MNA .所以AC AN BC MN :=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1÷=MN (m . 說(shuō)明 這是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,方法看似簡(jiǎn)單,其實(shí)很巧妙,省卻了使用儀器測(cè)量的麻煩.例8.分析 這兩個(gè)圖如果不是畫(huà)在格點(diǎn)中,那是無(wú)法判斷的.實(shí)際上格點(diǎn)無(wú)形中給圖形增添了條件長(zhǎng)度和角度.

11、解 在格點(diǎn)中BC AB EF DE ,所以=90B E , 又4,2,2,1=AB BC DE EF .所以21=BCEF ABDE .所以DEF ABC .說(shuō)明 遇到格點(diǎn)的題目一定要充分發(fā)現(xiàn)其中的各種條件,勿使遺漏. 例9.解 (1因?yàn)?128cm4cm ,7117.5cm2.5cm ,7124.5cm3.5cm =''=''=''A C CAC B BCB A AB ,所以ABC C B A '''(2因?yàn)?-=41180B A C ,兩個(gè)三角形中只有A A '=,另外兩個(gè)角都不相等,所以ABC 與C B A

12、'''不相似;(3因?yàn)?2,=''='''=C B BC B A AB B B ,所以ABC 相似于C B A '''.例10.解 (1ADE ABC 兩角相等; (2ADE ACB 兩角相等;(3CDE CAB 兩角相等; (4EAB ECD 兩邊成比例夾角相等; (5ABD ACB 兩邊成比例夾角相等; (6ABD ACB 兩邊成比例夾角相等.例11.分析 有一個(gè)角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而B(niǎo)D 是底角的平分線,=36CBD ,則可推出ABC BCD ,進(jìn)而由相似三角

13、形對(duì)應(yīng)邊成比例推出線段之間的比例關(guān)系.證明 AC AB A =,36 ,=72C ABC . 又BD 平分ABC ,=36CBD ABD .BC BD AD =,且ABC BCD ,BC CD AB BC :=,CD AB BC =2,CD AC AD =2. 說(shuō)明 (1有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似,這是判斷兩個(gè)三角形相似最常用的方法,并且根據(jù)相等的角的位置,可以確定哪些邊是對(duì)應(yīng)邊.(2要說(shuō)明線段的乘積式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是證明比例式,bd ca =,或ca ab =,再根據(jù)比例的基本性質(zhì)推出乘積式或平方式.例12分析 由ABC 的三邊長(zhǎng)可以判斷出ABC

14、為直角三角形,又因?yàn)锳BC C B A ''',所以C B A '''也是直角三角形,那么由C B A '''的最大邊長(zhǎng)為26,可以求出相似比,從而求出C B A '''的兩條直角邊長(zhǎng),再求得C B A '''的面積.解 設(shè)ABC 的三邊依次為,13,12,5=AB AC BC ,則222AC BC AB += ,=90C .又ABC C B A ''',='90C C .212613=''=''='&#

15、39;B A AB C A AC C B BC ,又12,5=AC BC ,24,10=''=''C A C B . 12010242121=''''=C B C A S .例13.分析 判斷方法是否可行,應(yīng)考慮利用這種方法加之我們現(xiàn)有的知識(shí)能否求出旗桿的高.按這種測(cè)量方法,過(guò)F 作AB FG 于G ,交CE 于H ,可知AGF EHF ,且GF 、HF 、EH 可求,這樣可求得AG ,故旗桿AB 可求.解 這種測(cè)量方法可行.理由如下:設(shè)旗桿高x AB =.過(guò)F 作AB FG 于G ,交CE 于H (如圖.所以AGF EHF .因

16、為3,30327,5.1=+=HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-=-=x AG EH .初三（下）相似三角形 AG GF x - 1.5 30 = = 由 DAGF DEHF ，得 ，即 ，所以 x - 1.5 = 20 ，解得 x = 21 .5 （米） EH HF 2 3 所以旗桿的高為 21.5 米 說(shuō)明 在具體測(cè)量時(shí)，方法要現(xiàn)實(shí)、切實(shí)可行 例 14. 解：Q ÐADB = ÐEDC, ÐABC = ÐECD = 90° ， AB BD BD ´ EC 120 ´ 50 = , AB = = = 100

17、（米） ，答：兩岸間 AB 大致相距 100 米 EC CD CD 60 DG FH × AK , KE = × AK 例 15. 答案： AB = 1506 米， BD = 30750 步， （注意： KC = ） CD FE DABD DECD ， 例 16. 分析：要求 BC 的長(zhǎng)，需畫(huà)圖來(lái)解，因 AB、AC 都大于高 AD，那么有兩種情況存在，即點(diǎn) D 在 BC 上或點(diǎn) D 在 BC 的延長(zhǎng)線上，所以求 BC 的長(zhǎng)時(shí)要分兩種情況討論求正方形的面積，關(guān)鍵是求正方形的邊長(zhǎng) 解： （1）如上圖，由 ADBC，由勾股定理得 BD3，DC1，所以 BCBDDC314 如下圖，同理可求 BD3，DC1，所以 BCBDCD312 （2） 如下圖， 由題目中的圖知 BC4， AB2 + AC2 = (2 32 + 22 = 16 ，BC = 16 ， AB + AC = BC 且 所 2 2 2 2 以ABC 是直角三角形 由 AEGF 是正方形，設(shè) GFx，則 FC2x， GFAB， GF FC