1、 ADI隱式交替法三種解法及誤差分析（一般的教材上只說第一種）理論部分參看孫志忠：偏微分方程數值解法注意：1. 最好不要直接看程序，中間很多公式很煩人的（一定要小心），我寫了兩天，終于寫對了。2. 中間：例如r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k)形式寫成分形式：r*u(i-1,m1,k)+r*u(i+1,m1,k)后面會出錯，我也不是很清楚為什么，可能由于舍入誤差，或者大數吃掉小數的影響。3. 下面有三個程序4. 具體理論看書，先仔細看書（孫志忠：偏微分方程數值解法）或者網上搜一些理論。Matlab程序：1.function u u0 p e x y t=ADI1(h1,h2,m

2、1,m2,n)%ADI解二維拋物線型偏微分方程(P-R交替隱式，截斷)%此程序用的是追趕法解線性方程組%h1為空間步長，h2為時間步長%m1,m2分別為x方向，y方向網格數，n為時間網格數%p為精確解，u為數值解,e為誤差%定義u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因為矩陣中，i,j,k必須全為整數x=(0:m1)*h1+0;%定義x0,y0,t0是為了f(x,t)=0的情況%y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;for k=1:n+1 for i=1:m2+1 for j=1:m1+1 f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5

3、*(x(j)+y(i)-t0(k); end endendfor i=1:m2+1 for j=1:m1+1 u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i); endendfor k=1:n+1 for i=1:m2+1 u(i,1 m1+1,k)=exp(0.5*y(i)-t(k) exp(0.5*(1+y(i)-t(k); u0(i,1 m1+1,k)=exp(0.5*y(i)-t0(k) exp(0.5*(1+y(i)-t0(k) ; endendfor k=1:n+1 for j=1:m1+1 u(1 m2+1,j,k)=exp(0.5*x(j)-t(k) exp(0.5*(1

4、+x(j)-t(k); u0(1 m2+1,j,k)=exp(0.5*x(j)-t0(k) exp(0.5*(1+x(j)-t0(k); endendr=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=2*(1+r);for k=1:n %外循環，先固定每一時間層，每一時間層上解一線性方程組% for i=2:m2 a=-r*ones(1,m1-1); c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0; b=r2*ones(1,m1-1); d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k)+r1*u(i,2,k)+. h2*f(i,2,k); for l=2:m1-

5、2 d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k)+r1*u(i,l+1,k)+. h2*f(i,l+1,k); %輸入部分系數矩陣，為0的矩陣元素不輸入%一定要注意輸入元素的正確性 end d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k). +r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k); for l=1:m1-2 %開始解線性方程組 消元過程 a(l+1)=-a(l+1)/b(l); b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l); d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l); end u0(i,m1,

6、k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代過程% for l=m1-2:-1:1 u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k)/b(l); end end for j=2:m1 a=-r*ones(1,m2-1); c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0; b=r2*ones(1,m2-1); d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k)+r1*u0(2,j,k)+. h2*f(2,j,k); for l=2:m2-2 d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k)+r1*u0(l+1,j,k)+

7、. h2*f(l+1,j,k); %輸入部分系數矩陣，為0的矩陣元素不輸入%一定要注意輸入元素的正確性 end d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k). +r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k); for l=1:m2-2 %開始解線性方程組 消元過程 a(l+1)=-a(l+1)/b(l); b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l); d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l); end u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代過程% for l=m2-2:-1:1 u(

8、l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1)/b(l); end endendfor k=1:n+1 for i=1:m2+1 for j=1:m1+1 p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i)-t(k); %p為精確解 e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k); %e為誤差 end endend2.function u p e x y t=ADI2(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二維拋物線型偏微分方程(D'Yakonov交替方向隱格式)%此程序用的是追趕法解線性方程組%h1為空間步長，h2為時間步長%m1,m2分別為x

9、方向，y方向網格數，n為時間網格數%p為精確解，u為數值解,e為誤差%定義u0(i,j,k)=u'(i,j,k)(引入的過渡層),因為矩陣中，i,j,k必須全為整數x=(0:m1)*h1+0;y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;%定義t0是為了f(x,y,t)=0的情況%for k=1:n+1 for i=1:m2+1 for j=1:m1+1 f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i)-t0(k); %編程時-t0(k)寫成了+t0(k),導致錯誤; end endend%初始條件for i=1:m2+1

10、for j=1:m1+1 u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i); endend%邊界條件for k=1:n+1 for i=1:m2+1 u(i,1 m1+1,k)=exp(0.5*y(i)-t(k) exp(0.5*(1+y(i)-t(k); endendr=h2/(h1*h1);r4=1+r;r5=r/2;for k=1:n for i=2:m2 u0(i,1 m1+1,k)=r4*u(i,1 m1+1,k+1)-r5*(u(i-1,1 m1+1,. k+1)+u(i+1,1 m1+1,k+1); endendfor k=1:n+1 for j=1:m1+1 u(1 m2

11、+1,j,k)=exp(0.5*x(j)-t(k) exp(0.5*(1+x(j)-t(k); endendr1=r-r*r;r2=2*(r-1)*(r-1);r3=r*r/2;for k=1:n %外循環，先固定每一時間層，每一時間層上解一線性方程組% for i=2:m2 a=-r*ones(1,m1-1); c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0; b=2*r4*ones(1,m1-1); d(1)=r*u0(i,1,k)+r1*(u(i-1,2,k)+u(i,1,k)+u(i+1,2,k)+. u(i,3,k)+r2*u(i,2,k)+r3*(u(i-1,1,k)+. u(i+1,1

12、,k)+u(i-1,3,k)+u(i+1,3,k)+2*h2*f(i,2,k); for l=2:m1-2 d(l)=r1*(u(i-1,l+1,k)+u(i,l,k)+u(i+1,l+1,k)+. u(i,l+2,k)+r2*u(i,l+1,k)+r3*(u(i-1,l,k)+. u(i+1,l,k)+u(i-1,l+2,k)+u(i+1,l+2,k)+2*h2*f(i,l+1,k); %輸入部分系數矩陣，為0的矩陣元素不輸入%一定要注意輸入元素的正確性 end d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r1*(u(i-1,m1,k)+u(i,m1-1,k)+. u(i+1,m1,k)+

13、u(i,m1+1,k)+r2*u(i,m1,k)+. r3*(u(i-1,m1-1,k)+. u(i+1,m1-1,k)+u(i-1,m1+1,k)+u(i+1,m1+1,k)+2*h2*f(i,m1,k); for l=1:m1-2 %開始解線性方程組 消元過程 a(l+1)=-a(l+1)/b(l); b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l); d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l); end %回代過程% u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); for l=m1-2:-1:1 u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k)/b(

14、l); end end for j=2:m1 a=-r*ones(1,m2-1); c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0; b=2*r4*ones(1,m2-1); d(1)=r*u(1,j,k+1)+2*u0(2,j,k); for l=2:m2-2 d(l)=2*u0(l+1,j,k); %輸入部分系數矩陣，為0的矩陣元素不輸入%一定要注意輸入元素的正確性 end d(m2-1)=2*u0(m2,j,k)+r*u(m2+1,j,k+1); for l=1:m2-2 %開始解線性方程組 消元過程 a(l+1)=-a(l+1)/b(l); b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l)

15、; d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l); end u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代過程% for l=m2-2:-1:1 u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1)/b(l); end endendfor k=1:n+1 for i=1:m2+1 for j=1:m1+1 p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i)-t(k); %p為精確解 e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k); %e為誤差 end endend3.function u u0 p e x y t=ADI5(h1,h

16、2,m1,m2,n)%ADI解二維拋物線型偏微分方程(P-R交替隱式，未截斷)%此程序用的是追趕法解線性方程組%h1為空間步長，h2為時間步長%m1,m2分別為x方向，y方向網格數，n為時間網格數%p為精確解，u為數值解,e為誤差%定義u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因為矩陣中，i,j,k必須全為整數x=(0:m1)*h1+0;%定義x0,y0,t0是為了f(x,t)=0的情況%y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;for k=1:n+1 for i=1:m2+1 for j=1:m1+1 f(i,j,k)=-1.5*exp

17、(0.5*(x(j)+y(i)-t0(k); end endendfor i=1:m2+1 for j=1:m1+1 u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i); endendfor k=1:n+1 for i=1:m2+1 u(i,1 m1+1,k)=exp(0.5*y(i)-t(k) exp(0.5*(1+y(i)-t(k); u1(i,1 m1+1,k)=exp(0.5*y(i)-t0(k) exp(0.5*(1+y(i)-t0(k) ; endendr=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=r/4;r3=2*(1+r);for k=1:n for i=2:m2

18、u0(i,1 m1+1,k)=u1(i,1 m1+1,k)-r2*(u(i-1,1 m1+1,k+1)-. 2*u(i,1 m1+1,k+1)+u(i+1,1 m1+1,k+1)-u(i-1,1 m1+1,k)+. 2*u(i,1 m1+1,k)-u(i+1,1 m1+1,k); endendfor k=1:n+1 for j=1:m1+1 u(1 m2+1,j,k)=exp(0.5*x(j)-t(k) exp(0.5*(1+x(j)-t(k); endendfor k=1:n %外循環，先固定每一時間層，每一時間層上解一線性方程組% for i=2:m2 a=-r*ones(1,m1-1);

19、 c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0; b=r3*ones(1,m1-1); d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k)+r1*u(i,2,k)+. h2*f(i,2,k); for l=2:m1-2 d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k)+r1*u(i,l+1,k)+. h2*f(i,l+1,k); %輸入部分系數矩陣，為0的矩陣元素不輸入%一定要注意輸入元素的正確性 end d(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k). +r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,

20、m1,k); for l=1:m1-2 %開始解線性方程組 消元過程 a(l+1)=-a(l+1)/b(l); b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l); d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l); end u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代過程% for l=m1-2:-1:1 u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k)/b(l); end end for j=2:m1 a=-r*ones(1,m2-1); c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0; b=r3*ones(1,m2-1); d(1)=r*u(1,j,k+

21、1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k)+r1*u0(2,j,k)+. h2*f(2,j,k); for l=2:m2-2 d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k)+r1*u0(l+1,j,k)+. h2*f(l+1,j,k); %輸入部分系數矩陣，為0的矩陣元素不輸入%一定要注意輸入元素的正確性 end d(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k). +r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k); for l=1:m2-2 %開始解線性方程組 消元過程 a(l+1)=-a(l

22、+1)/b(l); b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l); d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l); end u(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代過程% for l=m2-2:-1:1 u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1)/b(l); end endendfor k=1:n+1 for i=1:m2+1 for j=1:m1+1 p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i)-t(k); %p為精確解 e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k); %e為誤差 end endend

23、 up e x y t=ADI2(0.01,0.001,100,100,1000);surf(x,y,e(:,:,1001) t=1的誤差曲面下面是三種方法的誤差比較：1.u u0 p e x y t=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隱式，截斷)截斷中間過渡層用u(i,j,k+1/2）代替）（t=1時的誤差）2.u u0 p e x y t=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隱式，未截斷)(未截斷過渡層u(i,j,)=u(i,j,k+1/2)-h22/4*dy2dtu(i,j,k+1/2);)3.u p e x y t=ADI2(0.1,0.1,1

24、0,10,10)(D'Yakonov交替方向隱格式) surf(x,y,e(:,:,11)(表示t=1時的誤差）下面是相關數據：1: u u0 p e x y t=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隱式，截斷)截斷 中間過渡層用u(i,j,k+1/2)代替）e(:,:,11) = Columns 1 through 6 0 0 0 0 0 0 0 0.00040947 0.00025182 0.00019077 0.00017112 0.00017604 0 0.00057359 0.00042971 0.00035402 0.00032565 0.0003362

25、8 0 0.00066236 0.00054689 0.00047408 0.00044596 0.00046267 0 0.00072152 0.00062001 0.00055081 0.00052442 0.00054553 0 0.00076164 0.0006576 0.00058522 0.00055732 0.00057984 0 0.00078336 0.00065993 0.00057557 0.00054161 0.00056209 0 0.00078161 0.00061872 0.00051646 0.00047429 0.00048964 0 0.00073621 0

26、.0005148 0.00039979 0.00035439 0.00036313 0 0.00056964 0.00031688 0.00022051 0.0001884 0.00019192 0 0 0 0 0 02.u u0 p e x y t=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隱式，未截斷)(未截斷過渡層u(i,j,)=u(i,j,k+1/2)-h22/4*dy2dtu(i,j,k+1/2);)e(:,:,11) = Columns 1 through 6 0 0 0 0 0 0 0 0.00027006 0.00016305 0.00012104 0.00010

27、71 0.00010995 0 0.00037754 0.00027817 0.0002253 0.00020483 0.00021116 0 0.00043539 0.00035386 0.00030207 0.00028124 0.0002914 0 0.00047398 0.00040104 0.00035113 0.00033111 0.00034405 0 0.0005003 0.00042535 0.00037309 0.0003519 0.00036571 0 0.00051479 0.00042699 0.00036681 0.00034164 0.0003541 0 0.00

28、051415 0.00040056 0.00032887 0.0002985 0.00030764 0 0.00048504 0.0003335 0.00025411 0.0002221 0.00022706 0 0.00037609 0.00020532 0.00013956 0.00011718 0.00011902 0 0 0 0 0 03.u p e x y t=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隱格式)e(:,:,11) = Columns 1 through 6 0 0 0 0 0 0 0 8.6469e-006 1.4412e-005

29、 1.8364e-005 2.091e-005 2.2174e-005 0 1.4412e-005 2.4777e-005 3.2047e-005 3.6716e-005 3.8961e-005 0 1.8364e-005 3.2047e-005 4.1789e-005 4.8054e-005 5.1008e-005 0 2.091e-005 3.6716e-005 4.8054e-005 5.5353e-005 5.8764e-005 0 2.2174e-005 3.8961e-005 5.1008e-005 5.8764e-005 6.2389e-005 0 2.2118e-005 3.8

30、698e-005 5.0523e-005 5.8126e-005 6.171e-005 0 2.055e-005 3.5581e-005 4.6157e-005 5.2942e-005 5.6197e-005 0 1.707e-005 2.8951e-005 3.7128e-005 4.2365e-005 4.4952e-005 0 1.0851e-005 1.7698e-005 2.2265e-005 2.5203e-005 2.672e-005 0 0 0 0 0 01.u u0 p e x y t=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隱式，截斷)截斷 中間過渡層用u(

31、i,j,k+1/2)代替） Columns 7 through 11 0 0 0 0 0 0.00020348 0.00026228 0.00038338 0.00066008 0 0.00038607 0.00048321 0.00064717 0.00091668 0 0.00052635 0.00064203 0.00081637 0.0010517 0 0.0006174 0.00074272 0.00092111 0.0011417 0 0.00065651 0.00078964 0.00097724 0.0012051 0 0.00064051 0.00078116 0.00098594 0.0012433 0 0.00056474 0.00070822 0.00093332 0.0012478 0 0.00042547 0.00055526 0.00078616 0.0011844 0 0.00022735 0.00030946 0.00049004 0.00092402 0 0 0 0 0 02.u u0 p e x y t=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P