1、§2.4 導集，閉集，閉包本節重點：熟練掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念； 區別一個點屬于導集或閉包的概念上的不同； 掌握一個點屬于導集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用“閉集”敘述的連續映射的充要條件.如果在一個拓撲空間中給定了一個子集，那么拓撲空間中的每一個點相對于 這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進行分類處理.定義2.4.1 設X是一個拓撲空間，A_X.如果點xX的每一個鄰域U中 都有A中異于x的點，即Un（ A-x）工二，則稱點x是集合A的一個凝聚點 或極限點.集合A的所有凝聚點構成的集合稱為 A的導集，記作d（A） 如果xA 并且x不是A的凝聚點，即存在x的一個

2、鄰域U使得Un（A-x）=匚，則稱x 為A的一個孤立點.即:（牢記）疋/ 0¥卩芒乞刀仃（/ 町）=0在上述定義之中，凝聚點、導集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴于它 所在的拓撲空間的那個給定的拓撲.因此，當你在討論問題時涉及了多個拓撲而 又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓撲而言，不容許產生任何混淆.由于我們將要定義的許多概念絕大多數都是依賴于給定拓撲 的，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心.某些讀者可能已經在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念， 但絕不要 以為對歐氏空間有效的性質，例如歐氏空間中凝聚

3、點的性質，對一般的拓撲空間 都有效以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象.例241 離散空間中集合的凝聚點和導集.設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集.由于X中的每一個單點集 都是開集，因此如果xX,則X有一個鄰域X，使得 匚二匸.-門4，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，從 而A的導集是空集，即d (A)二二.例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點和導集.設X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集.我們分三種情形討論：第1種情形：A二二.這時A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即d (A)二二.(可以參見定理中第(I )條的證明.)第2種情形：A是一個單點集，令A =如果x X，

4、點x只有惟 一的一個鄰域X,這時-:, 所以;因此x是A的一個凝聚點，即x d ( A).然而對于T的惟一鄰域X有： 二所以d (A) =X-A.第3種情形：A包含點多于一個.請讀者自己證明這時 X中的每一個點都是A的凝聚點，即d (A)= X.定理2.4.1設X是一個拓撲空間，AX.貝U(I ) d (二)=二;(2) A B 蘊涵 d (A) d (B);(3) d (AU B)= d (A)U d ( B);(4) d (d (A) _ AU d ( A).證明 (1)由于對于任何一點x X和點x的任何一個鄰域U,有 un '、門 -'(2) 設A_B.如果，二廠:一謂&

5、#39; -：-''二-門這證明了 d( A) _ d( B).(3) 根據(2),因為 A, B_AU B,所以有 d (A), d (B) _ d (AU B),從而 d (A)U d ( B) _ d (AU B)另一方面，如果3UU,3UnA-(x) = 0?rn(5-x) = 0=>Dm Dn(Zu-«) = De(蟲-u (B -(x)= (Z?n僅")u(D -(x)y)c (y n(-4- 對)仏)-0.Z)n(j4u5 - x) = 0 n x毎= d(j4uE) <zd(A)<jd(B)綜上所述，可見(3)成立.(這是證

6、明一個集合包含于另一個集合的另一方 法:要證_一，只要證即可.)(4) 設：X任 Mu吐& =卩隹 A3UeU. ? ynt-U) = 01兀丸WeU. yeT孑卩匚27=產門(衛一") = 0丫石年盤= 0=5>VyerXn(J -(y) = 0 ve ?/'. VeVy ：.y dA),=薩門出(/) = 0；.Fn(rf(4) -(i) = 0：d(dA) n d(df) cAjd(A)即(4)成立.定義2.4.2 設X是一個拓撲空間，A_X.如果A的每一個凝聚點都屬于 A, 即d (A) _A,則稱A是拓撲空間X中的一個閉集.例如，根據例241和例中的討

7、論可見，離散空間中的任何一個子集 都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集.定理242 設X是一個拓撲空間，A_X.則A是一個閉集，當且僅當A的 補集二是一個開集.證明必要性：設 A是一 一個閉集川,今開蒞c AAx(3E/et/E/n(J4-U) = 0.UcyA = 0tU QAAfeT充分性：設：A e Tf¥x 隹耳 x e A,A q A = 0,An(A -x) = 0今 xg d(4)即A是一個閉集.例243 實數空間R中作為閉集的區間.設a, b R, avb.閉區間a , b是實數空間R中的一個閉集，因為a , b 的補集庇討二( -X, a)A( b

8、,x)是一個開集.同理，(-x, a , b , X)都是閉集，(-x, x) = r顯然更是一個閉集.然 而開區間(a, b)卻不是閉集，因為a是(a, b)的一個凝聚點，但a- (a, b).同 理區間(a, b , a , b),( - x, &)和(b,x)都不是閉集.定理2.4.3 設X是一個拓撲空間.記F為所有閉集構成的族.貝U:(1) X,二 F(2) 如果 A, B F,則 AUBE F(從而如果- -1 -1 -三-)(3) 如果:-：乞八在此定理的第(3)條中，我們特別要求二工：的原因在于當二='-時所涉及的交運算沒有定義.證明 根據定理，我們有T=|U F

9、其中，T為X的拓撲.(1)v X,二 T,a -' ' -二；八(2) 若 A、B F,則(3) 令:T,=(AAe瑋二T、cTf=>仏AfeT.=門金"門屆昇'(u&討y e f定理證明完成.總結：(i)有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集其余情形不一 疋.(2)有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集其余情形不一定.定義2.4.3設X是一個拓撲空間,A X,集合A與A的導集d(A)的并AU d(A)稱為集合A的閉包,記作一或亠容易看出* ' ：'(注意：與x d(A)的區別)定理244拓撲空間X的子集A是閉集的充要條件

10、是A= <證明：定理成立是因為：集合A為閉集當且僅當d(A) _ A而這又當且僅當A=AJ d(A)定理2.4.5 設X是一個拓撲空間,則對于任意A,B X,有:(1) 0=0；蟲c A:(3) A u B = ZuSs(4) 7 = A.證明(1)成立是由于二是閉集(2) 成立是根據閉包的定義.(3) 成立是因為=AuBud(A)ud(_B)= (Aud(A)u(B=AuB(4) 成立是因為/ =AU d (A)U d (d (A)=AU d (A) =J在第(3)條和第(4)條的證明過程中我們分別用到了定理241中的第(3)條和第(4)條.定理2.4.6拓撲空間X的任何一個子集A的閉

11、包都是閉集證明根據定理和定理2.4.5 (4)直接推得.定理2.4.7設X是一個拓撲空間，F是由空間X中所有的閉某構成的族,則對于X的每一個子集A,有久叩ieFJb顯即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交.證明 因為A包含于- '',而后者是一個閉集，由定理245(4)與定理 有另一方面，由于是一個閉集，并且-，所以-'=-'-(“交”包含于形成交的任一個成員)綜合這兩個包含關系，即得所求證的等式.由定理247可見，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含 A 的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最 小的閉集.在度量空間中，集

12、合的凝聚點，導集和閉包都可以通過度量來刻畫.定義245 設（X，p ） 一個度量空間.X中的點x到X的非空子集A的距 離p （x, A）定義為p （x，A）= inf p （x，y） |y A根據下確界的性質以及鄰域的定義易見：p （x，A）二0當且僅當對于任意實數& >0,存在yA使得p （x，y）< £，換言之即是：對于任意B （x，£ ） 有B （x， £ ） A Am ，而這又等價于：對于 x的任何一個鄰域 U有UP Am -， 應用以上討論立即得到.定理249 設A是度量空間（X, p ）中的一個非空子集則（1） x d （A）當且僅

13、當 p （x，A-x ） =0;（2）x當且僅當p （x，A）= 0.以下定理既為連續映射提供了等價的定義，也為驗證映射的連續性提供了 另外的手段.定理2.4.10 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X -Y則以下條件等價：（I ） f是一個連續映射；（2）丫中的任何一個閉集B的原象/（B）是一個閉集；（3）對于X中的任何一個子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 對于丫中的任何一個子集B, B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 0盼麗.證明 （1）蘊涵（2）.設B_Y是一個閉集則:是一個開集，因此根 據（1）, 心）5冊 是X中的一個開集，因此"（B）是X中的一個閉集.（2）蘊涵（3）設A_X.由于f（A）'