1、第四章 多元函數微積分第一節第一節 多元函數微分多元函數微分第二節第二節 多元函數積分多元函數積分第一節 多元函數微分一、多元函數的定義一、多元函數的定義二、二元函數的極限與連續二、二元函數的極限與連續三、偏導數及全微分三、偏導數及全微分四、多元函數的極值四、多元函數的極值一、多元函數的定義1. 預備知識預備知識1 1鄰域鄰域 )(0oPPU 00PP點集點集 , ),(0PPU 稱為點稱為點 P0 P0 的的鄰域鄰域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU 在空間中在空間中, , ),()(0zyxPU ,( (球鄰域球鄰域) )說明：若不需要強調鄰域半徑說明：若不

2、需要強調鄰域半徑 , ,也可寫成也可寫成. )(0PU點點 P0 P0 的去心鄰域記為的去心鄰域記為 0PP 2020)()(yyxx 202020)()()(zzyyxx平面上的方鄰域為平面上的方鄰域為 ),(),U(0yxP 。0P可以互相包含可以互相包含. .,0 xx0 yy在討論實際問題中也常使用方鄰域在討論實際問題中也常使用方鄰域, ,因為方鄰域與圓鄰域因為方鄰域與圓鄰域2 2區域區域設有點集設有點集 E E 及一點及一點 P :P : 若存在點若存在點 P P 的某鄰域的某鄰域 U(P)U(P) E , E , 若存在點若存在點 P P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = U(P

3、) E = , ,則稱則稱 P P 為為 E E 的內點；的內點；則稱則稱 P P 為為 E E 的外點的外點 ; ;則稱則稱 P P 為為 E E 的邊界點的邊界點 . .的外點的外點 , ,顯然顯然, E , E 的內點必屬于的內點必屬于 E , E , E 的外點必不屬于 E , E E 的的邊界點可能屬于邊界點可能屬于 E, E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . E . E 若對點若對點 P P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) U(P) 既含既含 E E中的內點也含中的內點也含 E E E E的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為E E的邊界的邊界 若集若集 D D 中任意兩點都可用一

4、完全屬于中任意兩點都可用一完全屬于 D D 的折線相連的折線相連 , ,則稱則稱 D D 是連通的，即是連通的，即 D D 為連通集為連通集 若點集若點集 E E 的點都是內點，則稱的點都是內點，則稱 E E 為開集；為開集； 若點集若點集 E E E , E , 則稱則稱 E E 為閉集；為閉集； 開區域連同它的邊界一起稱為閉區域開區域連同它的邊界一起稱為閉區域. . 連通的開集稱為開區域連通的開集稱為開區域 , ,簡稱區域簡稱區域 ; ; 若存在某一正數 r , 使E Uo，r），其中o是原點坐標，則稱E為有界點集；否則稱為無界點集例如，在平面上例如，在平面上 0),( yxyx 41),

5、(22 yxyx 0),( yxyx 41),(22 yxyx開區域開區域閉區域閉區域xyo21xyoxyoxyo212. 多元函數定義多元函數定義 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式,(為常數）為常數）RVTRp )2(cbap cba 0, 0),(TTVTV cbacbacba , 0, 0, 0),( )()(cpbpappS 多變量之間依賴關系舉例： 定義定義 設非空點集設非空點集,RnD DPPfu , )(或或點集點集 D D 稱為函數的定義域稱為函數的定義域 ; ;數集數集 DP,Pfuu )(稱為函數的值域稱為函數的值域 . .特別地特別地 , , 當當 n = 2 n

6、 = 2 時時, , 有二元函數有二元函數2R),(),( Dyxyxfz當當 n = 3 n = 3 時時, , 有三元函數有三元函數3R),(),( Dzyxzyxfu映射映射R:Df稱為定義在稱為定義在 D D 上上的的 n n 元函數元函數 , ,記作記作),(21nxxxfu 二、二元函數的極限與連續1. 二元函數的極限二元函數的極限 則稱則稱 A 為函數為函數 z = f (x , y) 當當 時的極時的極限，限，) )( () )( (00,yxyx 設函數設函數 z = f (x , y)在點在點 P0(x0 , y0) 的某一鄰域內有定義的某一鄰域內有定義(點點 P0 可以除

7、外可以除外)， 如果當如果當點點 P(x , y)無限地接近于點無限地接近于點 P0(x0 , y0)時，時，任任意意地地小小的的正正數數) ), ,是是( (指指00( ,),limx yxyf x yA()()記為.lim 0Apfpp ) )( (或或定義定義 1 1 APf) )( (恒有恒有 為了區別于一元函數的極限，二元函數的極限為了區別于一元函數的極限，二元函數的極限也叫做二重極限也叫做二重極限 ,0,),(2222yxyxxyyxg例例0,022 yx(,)( 0, 0)當 時的極限x y,00時時而而即即當當 xy當當 ( x, y ) 沿沿 y 軸趨向于原點，軸趨向于原點，

8、,00lim)0 ,(lim),(lim0000 xxyxxgyxg有有解解考察函數考察函數但是，當點但是，當點( x , y )沿著直線沿著直線 y = k x ( k 0 )趨向于趨向于點點(0, 0) 時，時， ,1lim),(lim),(lim222220000kkxkxkxkxxgyxgxxkxyx 即當即當 y = k x ，,0時時而而x.00lim), 0(lim),(lim0000 yyyxygyxg而當點而當點 (x, y) 沿沿 y 軸趨向于原點，軸趨向于原點，有有. ),(lim 00不不存存在在故故極極限限yxgyx,12的值也不同的值也不同kk 隨著隨著 k 的取值

9、不同，的取值不同，0,0 yx而而即即時，時， 設函數設函數 z = f(x , y) z = f(x , y) 在點在點 P0(x0 , P0(x0 , y0) y0) 的一個鄰域內有定義，的一個鄰域內有定義，2. 二元函數的連續性二元函數的連續性 且等且等于它在點于它在點 P0 處的函數值，處的函數值， 如果當點如果當點 P(x , y) 趨向于點趨向于點P0(x0 , y0) 時，時， 函數函數 z = f(x , y) 的極限存在，的極限存在，, ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 即即定義定義,)()(lim 00PfPfpp 或或則稱函數則稱函數 z = f(x, y)

10、 在點在點 P0(x0, y0) 處連續處連續. 若函數若函數 f(x, y)f(x, y)在開區域或閉區域在開區域或閉區域D D內的內的每一點連續，稱函數每一點連續，稱函數 f(x, y)f(x, y)在在D D內連續，或者稱內連續，或者稱f(x, y)f(x, y)是是D D內的連續函數內的連續函數 若函數若函數f(x, y)f(x, y)在點在點 P0(x0, y0) P0(x0, y0) 處不連續，處不連續，則稱則稱P0P0為函數為函數f(x, y)f(x, y)的間斷點的間斷點三、偏導數及全微分1. 偏導數偏導數 定義定義),(yxfz 在點在點), (), (lim000yfyfx

11、 存在存在, ,則稱此極限為函數則稱此極限為函數xyxyxfz對對在點在點),(),(00 的偏導數，記為的偏導數，記為;),(00yxxz ),(00yx的某鄰域內極限的某鄰域內極限;),(00yxxf xx 00 x設函數設函數x ;),(00yxfx;),(00yxxzxyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx注意注意:同樣可定義對同樣可定義對 y y 的偏導數為的偏導數為),(yxfz D0 limy若函數若函數 在域在域 內每一點內每一點 處對處對 x x,xzxfxz 則該偏導數稱為偏導函數則該偏導數稱為偏導函數, ,也簡稱為也

12、簡稱為偏導數偏導數 , ,( , )xfx y( , )yfx y) ,(0 xf),(0 xf y 記為記為yy 00y或或 y y 偏導數存偏導數存在在 , ,yzyfyz ),(yx二元函數偏導數的幾何意義二元函數偏導數的幾何意義: :00),(dd00 xxyxfxxfxxyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲線是曲線 0),(xxyxfzyTM0在點在點 M0 M0 處的切線處的切線對對 x x 軸的斜率軸的斜率. .在點在點M0 M0 處的切線處的切線斜率斜率. .是曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M對對 y y 軸的軸的2. 高階

13、偏導數高階偏導數設設 z = f (x , y)z = f (x , y)在域在域 D D 內存在連續的偏導內存在連續的偏導數數),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若這兩個偏導數仍存在偏導數，若這兩個偏導數仍存在偏導數，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 則稱它們是則稱它們是z = f ( x , z = f ( x , y ) y ) 的二階偏導數的二階偏導數 . .按求導順序不同按求導順序不同, , 有下列四個二階偏導數有下列四個二階偏導數: :22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 其中第二、三個偏

14、導數稱為混合偏導數。類似可以定其中第二、三個偏導數稱為混合偏導數。類似可以定義更高階的偏導數義更高階的偏導數.二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數導數例如，例如， 關于關于 的三階偏導數為的三階偏導數為3322)(xzxzx 關于關于 的的 階偏導數階偏導數 , 再關于再關于 的一階偏導的一階偏導) (y yxznn 1數為數為11 nnxz),(yxfz x),(yxfz x1 ny3. 全微分全微分 定義定義 如果函數如果函數 z = f ( x, y )z = f ( x, y )在定義域在定義域 D D 的內點的內點P( x , y )P( x ,

15、y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成, )( oyBxAz 其中其中 A , B A , B 不依賴于不依賴于 x , x , y , y , 僅與僅與 x , y x , y 有有關，則稱函數關，則稱函數稱為函數稱為函數),(yxf在點在點 (x, y) (x, y) 的全微分的全微分, , 記作記作yBxAfz dd若函數在域若函數在域 D D 內各點都可微內各點都可微, ,22)()(yx f ( x, y ) 在點P( x, y) 可微，處的全增量處的全增量則稱此函數在則稱此函數在D D 內可微內可微. .A xB y 定理定理1(1(必要條件必要條件) )若函數若函數

16、 z = f (x, y) z = f (x, y) 在點在點(x, y) (x, y) 可可微微 , ,則該則該函數在該點偏導數函數在該點偏導數yzxz ,yyzxxzz d), (), (yfyfzx xz 同樣可證同樣可證,Byz yyzxxzz d證證: : 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 必存在必存在, ,且有且有得到對得到對 x x 的偏增量的偏增量xx x因此有因此有 xzxx 0limA 反例反例: : 函數函數 ),(yxf易知易知,0)0, 0()0, 0( yxff 但)0, 0()0, 0(yfxfzyx 因而因而, ,函數在點

17、函數在點 (0,0) (0,0) 不可微不可微 . .)( o 注意注意: : 定理定理1 1 的逆定理不成立的逆定理不成立 . .即即: :22)()(yxyx 22)()(yxyx 22)()(yxyx 0偏導數存在函數偏導數存在函數 不一定可微不一定可微 ! !0,2222 yxyxyx0,022 yx ),(yyxxf 定理定理2 (2 (充分條件充分條件) )yzxz ,證：證：),(),(yxfyyxxfz )1,0(21 yyyxfy ),(2 xyyxxfx),(1 ),(yyxf ),( yxf ),(yyxf 若函數若函數),(yxfz 的偏導數的偏導數,),(連連續續在在

18、點點yx則函數在該點可微分則函數在該點可微分. .yyxfy ),(xyxfx ),( 0lim00 yx,0lim00 yx zyyxfxyxfyx ),(),(yyxfxyxfzyx ),(),( yx所以函數所以函數),(yxfz ),(yxyx 在點在點可微可微. . 0lim00 yx,0lim00 yx注意到注意到, , 故有故有)( o 4. 多元復合函數的求導公式多元復合函數的求導公式1 1多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則( ( ),( )zfxx處偏導連續處偏導連續, ,則復合函數則復合函數 定理定理1 1 若函數若函數( ),( ),uxvxx在點 可導),(v

19、ufz ),(vu在在點點在點在點 t t 可導可導, ,且有鏈式法則且有鏈式法則ddddddzzuzvxuxvx推廣推廣: :設下面所涉及的函數都可微設下面所涉及的函數都可微 . .（1 1） 中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形. . 例如例如, , ),(wvufz tzdd 321fff（2 2） 中間變量是多元函數的情形中間變量是多元函數的情形. .例如例如, ,),(, ),(, ),(yxvyxuvufz xz1211 ff2221 ff yzzzwvuvuyxyxttttuuzdd tvvzdd twwzdd xuuz xvvz yuuz yvvz )(, )(, )(

20、twtvtu 2 2全微分形式的不變性全微分形式的不變性設函數設函數 具有連續偏導數具有連續偏導數),(, ),(, ),(yxvyxuvufz 的全微分為的全微分為yyzxxzzddd xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( uz vz uz 可見無論可見無論 u , v u , v 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, ,其全微分表達其全微分表達 )dd(yyuxxu )dd(yyvxxv ) (fz ),(, ),(yxyx udvz vd, ,則復合函數則復合函數形式都一樣形式都一樣, ,這性質叫做全微分形式不變性這性質叫做全微分形式不變性. . 兩端兩端對對 x 求

21、導，求導，5. 隱函數的求導公式隱函數的求導公式設方程設方程 F (x , y) = 0 確定了函數確定了函數 y = y(x)，得得,0dd xyFFyx, 0 yF若若那那么么.ddyxFFxy 得到一元得到一元 隱函數的求導公式隱函數的求導公式. 兩邊分別對兩邊分別對 x ，y 求導，求導， 設方程設方程 F (x , y , z) = 0 確定了隱函數確定了隱函數 z = z (x , y),假設假設 Fx，Fy，Fz 連續，連續，, 0 zF且且得得, 0 xzFFzx. 0 yzFFzy這就是二元隱函數的求導公式這就是二元隱函數的求導公式.zyzxFFyzFFxz ,0, zF因因

22、為為所以所以四、多元函數的極值1. 二元函數的極值二元函數的極值 設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域的某鄰域內有定義，對于該鄰域內異于內有定義，對于該鄰域內異于 的點的點),(yx若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數在，則稱函數在),(00yx有極大值；若滿足不等式有極大值；若滿足不等式),(),(00yxfyxf 則稱函數在則稱函數在),(00yx有極小值；有極小值； 極大值、極小值統稱為極值極大值、極小值統稱為極值使函數取得極值的點稱為極值點使函數取得極值的點稱為極值點),(00yx ),(yx),(00yx證證 不妨設不妨設定理定理1

23、1 （極值存在的必要條件）（極值存在的必要條件）設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數，且具有偏導數，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數必處有極值，則它在該點的偏導數必然為零：然為零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .),(yxfz 在點在點),(00yx處有極大值處有極大值, ,則對于則對于),(00yx的某鄰域內任意的某鄰域內任意都有都有 ),(yxf),(00yxf,類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.說明一元函數說明一元函數),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必有必有 0),(00 yxfx;故當故當0

24、yy ，0 xx 時，有時，有 ),(0yxf),(00yxf, 仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，均稱為函數的駐點的點，均稱為函數的駐點.問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？例如例如, , 點點)0,0(是函數是函數xyz 的駐點，但不是極值點的駐點，但不是極值點. .定理定理2 2極值存在的充分條件）極值存在的充分條件）設函數設函數),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內連續，的某鄰域內連續，有一階及二階連續偏導數，有一階及二階連續偏導數，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，

25、 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，那么那么),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值，當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論, 0),( yxfx0),( yxfy求函數求函數),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第一步第一步 解方程組解方程組求出實數解，得駐點

26、求出實數解，得駐點. .第二步第二步 對于每一個駐點對于每一個駐點),(00yx，求出二階偏導數的值求出二階偏導數的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值. .2. 二元函數的最大、最小值二元函數的最大、最小值求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數在將函數在D D內的所有駐點、偏導數不存在的點處的內的所有駐點、偏導數不存在的點處的函數值及在函數值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值中最大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數相類似，可以利用函

27、數的極值來與一元函數相類似，可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值求函數的最大值和最小值.解解32m設水箱的長為設水箱的長為,mx,my.2mxy寬為寬為則其高應為則其高應為則水箱所用材料的面積則水箱所用材料的面積).0, 0()22(2 yxyxxyA求偏導數得求偏導數得, 0)2(22 xyAx. 0)2(22 yxAx例例 某工廠要用鐵板做成一個體積為某工廠要用鐵板做成一個體積為的有蓋長方的有蓋長方體水箱，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用體水箱，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省。料最省。 解這方程組，得解這方程組，得,23 x.23 y 根據題意可知，水箱所用材料面積的最小值一定存在，根據題意可知，水箱所用材料面積的最小值一定存在，并在開區域并在開區域 0, 0),( yxyxD內取得。又函數在內取得。又函數在內只有唯