1、課 題 : 10. 3組合 (五 教學目的:對排列組合的知識有一個系統的了解,從而進一步掌握;2.能運用排列組合概念及兩個原理解決排列組合的綜合題; 3.提高合理選用知識分析問題、解決問題的能力 教學重點:教學難點:授課類型:新授課 課時安排:1課時 教 具 :多媒體、實物投影儀 內容分析 :學生易于辨別組合、 全排列問題, 而排列問題就是先組合后全排列 . 在求解 排列、組合問題時,可引導學生找出兩定義的關系后,按以下兩步思考:首先 要考慮如何選出符合題意要求的元素來,選出元素后再去考慮是否要對元素進 行排隊,即第一步僅從組合的角度考慮,第二步則考慮元素是否需全排列,如 果不需要,是組合問題

2、;否則是排列問題 .排列、組合問題大都來源于同學們生活和學習中所熟悉的情景,解題思路 通常是依據具體做事的過程,用數學的原理和語言加以表述 . 也可以說解排列、 組合題就是從生活經驗、知識經驗、具體情景的出發,正確領會問題的實質, 抽象出“按部就班”的處理問題的過程 . 據筆者觀察, 有些同學之所以學習中感 到抽象,不知如何思考,并不是因為數學知識跟不上,而是因為平時做事、考 慮問題就缺乏條理性,或解題思路是自己主觀想象的做法(很可能是有悖于常 理或常規的做法 . 要解決這個問題, 需要師生一道在分析問題時要根據實際情 況,怎么做事就怎么分析,若能借助適當的工具,模擬做事的過程,則更能說 明問

3、題 . 久而久之,學生的邏輯思維能力將會大大提高 .排列、組合問題解題方法比較靈活,問題思考的角度不同,就會得到不同 的解法 . 若選擇的切入角度得當,則問題求解簡便,否則會變得復雜難解 . 教學 中既要注意比較不同解法的優劣,更要注意提醒學生體會如何對一個問題進行 教學過程 :一、復習引入:做一件事情,完成它可以有 n 類辦法,在第一類辦法中有 1m 種不同的方法,在第二類辦法中有 2m 種不同的方法,在第 n 類 辦法中有 n m 12n N m m m =+ 種不2. 分步計數原理:做一件事情,完成它需要分成 n 個步驟,做第一步有 1m 種不同的方法,做第二步有 2m 種不同的方法,做

4、第 n 步有 n m 種不同的 方法,那么完成這件事有 12n N m m m = 種不同的方法 3.排列的概念:從 n 個不同元素中,任取 m (m n 個元素(這里的被 取元素各不相同按照一定的順序 . 排成一列,叫做從 n 個不同元素中取出 m 個 元素的 4.排列數的定義:從 n 個不同元素中,任取 m (m n 個元素的所有排 列的個數叫做從 n 個元素中取出 m 元素的 排列數 ,用符號 m n A 5.排列數公式:(1(2 (1 m n A n n n n m =-+ (, , m n N m n * ! n 表示正整數 1到 n 的連乘積,叫做 n 0! 1=.7.排列數的另一

5、個計算公式:mn A =! (!n n m - 一般地,從 n 個不同元素中取出 m (m n 個元素并成一組,叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個 說明: 9. 組合數的概念:從 n 個不同元素中取出 m (m n 個元素的所有組合的 個數,叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的 組合數 .用符號 mn C 表示. 10.組合數公式:(1(2 (1!m mnnmmA n n n n m C A m -+=或 !(! ! m n m n C m n-=, , (n m N m n *且 組合數的性質 1:m n n m n C C -=.規定:10=n C ;12.組合數的性質

6、2:m n C 1+=m n C +1-m n C 二、講解范例:例 1. 某考生打算從 7所重點大學中選 3所填在第一檔次的 3個志愿欄內, 其中A BA 校定為第一志愿; 再從 5所一般大學中選 3所填在第二檔次的三個志愿欄內,其中 B 、 C 兩校必選,且 B 在 C 解 :先填第一檔次的三個志愿欄:因 A 校定為第一檔次的第一志愿,故第一檔次的二、三志愿有 26A 種填法;再填第二檔次的三個志愿欄:B 、 C 兩校有 23C 種填法, 剩余的一個志愿欄有 13A 此考生不同的填表方法共有 26A 23C13270A =例 2. 如圖是由 12個小正方形組成的 43矩形網格, 一質點沿網

7、格線從點 A 到點 B 的不同路徑之中, 最短路 徑有 解 : 總攬全局:把質點沿網格線從點 A 到點 B 的最短路徑分為七步, 其中四步 向右,三步向上,不同走法的區別在于哪三步向上,因此,本題的結論是:3537=C .例 3. 圓周上有 12個不同的點,過其中任意兩點作弦,這些弦在圓內的交點個 數最多是多少?解 在圓內有交點,但如果兩條弦相交,則交點就是以這兩條弦的四個端點為頂點的四邊形的對角線的交點,也就是說,弦在圓內的交點與以圓上四點為頂點的 因此只需求以圓上四點為頂點的四邊形的個數,即 412495C =變式 :本題構造了四邊形以求得滿足條件的交點, 類似的, 前面講過一個問題: 以

8、一個正方體的 8個頂點連成的異面直線共有 解 :以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有 4812C -=58個,每個四面體的四條棱可以組成 3對異面直線,因此以一個正方體的 8個頂點連成的異面直線 共有 358=174另解 :(312244443210174C C C C +-=例 4. 有 10只不同的試驗產品,其中有 4只次品, 6只正品,現每次取一只測 試,直到 4只次品全測出為止,求最后一只次品正好在第五次測試時被發現的 不同情形有多少種?解 :本題實質是,前五次測試中有 1只正品 4思路一:設想有五個位置, 先從 6只正品中任選 1只, 放在前四個位置的任 一個上, 有 1164C C

9、 種方法; 再把 4只次品在剩下的四個位置上任意排列, 有 44A 種A 114644576C C A =思路二:設想有五個位置, 先從 4只次品中任選 1只, 放在第五個位置上,有 14C 種方法;再從 6只正品中任選 1只,和剩下的 3只次品一起在前四個位置上任意排列,有 1464C A 114464576C C A =例 5. 2人,他們各賽了 3場后, 因故退出了比賽,這樣,這次比賽共進行了 83場,問:比賽開始時參賽者有多 少人?解 :需要考慮兩種情況:第一種,因故退出比賽的兩人之間沒有進行比賽,則22683n C -+=,此方程無正整數解;第二種,因故退出比賽的兩人之間進行了比賽,

10、則 226183n C -+-=,解得 15n =,所以,比賽開始時參賽者有 15人 三、課堂練習 :1.有網線相聯,連線標注的數字表示該段網線單位時間內可 以通過的最大信息量,現從結點 A 向結點 B 量為 ( A . 26 B . 24 C . 20 D . 192.學校召開學生代表大會,高二年級的 3個班共選 6名代表,每班至少 1名, 代表的名額分配方案種數是 ( A . 64 B . 20 C . 18 D . 103. 3名醫生和 6名護士被分配到 3所學校為學生體檢,每所學校分配 1名醫生 和 2名護士,不同的分配方法共有( A . 90 B . 180 C . 270 D .

11、5404.公共汽車上有 4位乘客,汽車沿途停靠 6個站,那么這 4位乘客不同的下車 方式共有 種;如果其中任何兩人都不在同一站下車,那么這 4位乘客不 同的下車方式共有 5. 4名男生和 3名女生排成一行,按下列要求各有多少種排法:(1男生必須排在一起 ; (2女生互不相鄰 ;(3男女生相間 ; (4女生按指定順序排列 . 6.有排成一行的 7個空位置, 3位女生去坐,要求任何兩個女生之間都要有空 位,共有 7.賽艇運動員 10人, 3人會劃右舷, 2人會劃左舷,其余 5人兩舷都能劃,現 要從中挑選 6人上艇,平均分配在兩舷上劃槳,共有8. , , , , A B C D E 5位同學進行網頁

12、設計比賽,決出了第 1至第 5A 、B 兩位同學去詢問名次,主考官對 A 說:“很遺憾,你和 B 都未拿到冠軍” ;對 B 說:5位同學的名次排列共可能 有 9. 學校餐廳供應客飯, 每位學生可以在餐廳提供的菜肴中任選 2葷 2素共 4種不同的品種,現在餐廳準備了 5種不同的葷菜,若要保證每位學生有 200種以 上的不同選擇,則餐廳至少還需準備 10. 有 10只不同的試驗產品, 其中有 4只次品, 6只正品, 現每次取一只測試, 直到測出 1只次品為止, 求第一只次品正好在第五次測試時被發現的不同情形有_11.圓周上有 12個等分點,以其中 3個點為頂點的直角三角形的個數為 答案:1. D 2. D 3. D 4. 461296=, 4464360C A =5. 4444576A A = 43451440A A = 3434144A A = 47840A =6. 3560A = 7. 3332231333763553545675C C C C C C C C C +=8. 333354A = 9. 225m in 2007x C C x =10. 4416441440C C C = 11. 1161060C C =四、小結 :1.解決有關計數的應用題時