1、量子與統(tǒng)計(jì)物理課題論文論文名稱(chēng)：量子力學(xué)中隧穿效應(yīng)的原理及其應(yīng)用所在班級(jí)：材料物理081小組成員：黃樹(shù)繁 （08920107）蔣昌達(dá) （08920108）摘要：量子隧穿效應(yīng)為一種量子特性，是如電子等微觀粒子能夠穿過(guò)它們本來(lái)無(wú)法通過(guò)的“墻壁”的現(xiàn)象。這是一種特殊的現(xiàn)象，這是因?yàn)楦鶕?jù)量子力學(xué)，微觀粒子具有波的性質(zhì)，而有不為零的幾率穿過(guò)位勢(shì)障壁。本文主要介紹量子隧穿效應(yīng)的基本原理、簡(jiǎn)單和稍微復(fù)雜一點(diǎn)的情況的推導(dǎo)過(guò)程，然后介紹下隧穿效應(yīng)在實(shí)際中的應(yīng)用掃描隧道顯微鏡（STM）。關(guān)鍵詞：量子力學(xué)；隧穿效應(yīng)；STMAbstract:Tnneling effect is a property of quant

2、um,is a effect of Microscopic particles ,for example electrons,can get through “barriers” which they cannot used to.It is a unique phenomenon in Quantum mechanics which do not exist in classical mechanics. This paper mainly introduce the basic principle of QM,and conduct the mathematical derivation

3、of the modle. Finally,we introduce an important application in practice of quantum tunneling effectScanning Tunneling Microscope.Key Word: Quantum mechanics;Tunneling effect;STM0.引言 對(duì)于一個(gè)經(jīng)典粒子(具有一定的有效質(zhì)量)在外加電磁場(chǎng)中的行為服從牛頓力學(xué)，同時(shí)還受到聲子、雜質(zhì)等的散射，無(wú)須考慮量子效應(yīng) ( 尺寸引起的量子化、量子力學(xué)隧穿透效應(yīng)、量子相干效應(yīng)等)。然而當(dāng)空間尺寸小到一定程度時(shí)。量子效應(yīng)就不能忽略。隧道效

4、應(yīng)是指粒子在能量 E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象。它很難用經(jīng)典力學(xué)來(lái)解釋?zhuān)耆怯捎谖⒂^粒子具有波動(dòng)的性質(zhì)而來(lái)。我們現(xiàn)在就是就是對(duì)量子尺寸下所具有的隧道效應(yīng)非常感興趣，下面做一個(gè)具體的說(shuō)明。1.簡(jiǎn)單情況下的隧穿效應(yīng) 1.1基本概念 量子隧穿效應(yīng)(Quantum tunneling effect)，是一種衰減波耦合效應(yīng)，其量子行為遵守薛定諤波動(dòng)方程。假若條件恰當(dāng)，任何波動(dòng)方程都會(huì)顯示出出衰減波耦合效應(yīng)。數(shù)學(xué)地等價(jià)于量子隧穿效應(yīng)的波耦合效應(yīng)也會(huì)發(fā)生于其它狀況。例如，遵守麥克斯韋方程的光波或微波；遵守常見(jiàn)的非色散波動(dòng)方程的繩波或聲波。圖一：量子隧穿效應(yīng)示意圖   

5、     如上圖所示，為最常見(jiàn)的一維的量子隧穿效應(yīng)示意圖。若要使隧穿效應(yīng)發(fā)生，必須有一個(gè)2型介質(zhì)的薄區(qū)域，像三明治一般，夾在兩個(gè)1型介質(zhì)的區(qū)域。2型介質(zhì)的波動(dòng)方程必須容許實(shí)值指數(shù)函數(shù)解答（上升指數(shù)函數(shù)或下降指數(shù)函數(shù)），而1型介質(zhì)的波動(dòng)方程則必須容許行進(jìn)波解答。在光學(xué)里，1型介質(zhì)可能是玻璃，而2型介質(zhì)可能是真空。在量子力學(xué)里，從粒子運(yùn)動(dòng)這方面來(lái)說(shuō)，1型介質(zhì)區(qū)域是粒子總能量大于位能的區(qū)域，而2型介質(zhì)是粒子總能量小于位能的區(qū)域（稱(chēng)為位勢(shì)壘）。       假若條件恰當(dāng)，從1型介質(zhì)區(qū)域入射至2型介質(zhì)區(qū)域

6、，行進(jìn)波的波幅會(huì)穿透過(guò)2型介質(zhì)區(qū)域，再以進(jìn)行波的形式，出現(xiàn)于第二個(gè)1型介質(zhì)區(qū)域。在量子力學(xué)里，穿透過(guò)的波幅可以合乎物理地解釋為行進(jìn)粒子。遵守薛定諤波動(dòng)方程，穿透波幅的絕對(duì)值平方和入射波幅的絕對(duì)值平方的比率給出了粒子隧穿的透射系數(shù)，也就是其透射幾率。對(duì)于遵守其它種波動(dòng)方程的光波、微波、繩波、聲波等等，穿透波幅可以物理地解釋為行進(jìn)能量，而穿透波幅的絕對(duì)值平方和入射波幅的絕對(duì)值平方的比率則給出了穿透能量和入射能量的比率。1.2數(shù)學(xué)推導(dǎo) 我們考慮一個(gè)入射波Areikx  ，遇到處于x=0 與x=a 之間的位勢(shì) V(x) 。入射波的一部分會(huì)反射

7、回去，成為反射波 Ale-ikx  ；另一部分則會(huì)穿透過(guò)位勢(shì) V(x)  ，成為透射波Creikx。那么，在位勢(shì)壘的左邊與右邊，波函數(shù)分別是A(x)=Areikx+Ale-ikx ， c(x)=Creikx圖二：一個(gè)具有不規(guī)則位勢(shì)壘的量子隧穿效應(yīng)示意圖而在位勢(shì)壘的內(nèi)部，根據(jù) WKB 近似，波函數(shù)大約為其中，(x)=是動(dòng)量。通過(guò)邊界條件的匹配，可以設(shè)定常數(shù)Al,Bl Br,Cr 對(duì)于Ar 的比例。一個(gè)粒子穿透過(guò)位勢(shì)壘的概率等于透射系數(shù)，定義為T(mén)=Cr2/Br2又強(qiáng)，那么，指數(shù)遞增項(xiàng)目必定很小，可以

8、忽略。所以， 毛估 對(duì)于的比例為，其中所以，粒子穿透過(guò)位勢(shì)壘的概率為T(mén)=e-2 1.3 量子力學(xué)中“隧穿效應(yīng)”的形象例子 對(duì)于量子力學(xué)中的隧穿效應(yīng)，我們可以做兩個(gè)很形象的類(lèi)比，一是嶗山道士的“穿墻術(shù)”。在量子力學(xué)中，電子像嶗山道士一樣穿墻而過(guò)，但是，嶗山道士的“穿墻術(shù)”有不靈的時(shí)候，就是在持有“穿墻術(shù)”的人有不善之念時(shí)。嶗山道士曾經(jīng)收過(guò)一個(gè)徒弟，此人心術(shù)不正，學(xué)穿墻術(shù)純屬為了從別人家偷東西。此人很快就學(xué)會(huì)了穿墻術(shù)，在下山時(shí)，嶗山道士千叮嚀，萬(wàn)囑咐，不要有不善之念。下山后，他就忘了老師的叮囑。念咒穿入鄰人家中，進(jìn)去時(shí)非常順利，當(dāng)他拎著東西要從墻而出時(shí)，咒語(yǔ)不靈，撞了個(gè)頭破血流，被當(dāng)場(chǎng)抓

9、獲。從這個(gè)形象的例子我們可以更好地理解量子隧穿效應(yīng)。二是當(dāng)小石子放在碗中時(shí)，石子不會(huì)出來(lái)，除非石子的能量很大，大過(guò)碗壁的能量時(shí)，它就會(huì)從碗的上面跳出來(lái)。但是量子物理學(xué)上有一個(gè)非常奇怪的效應(yīng)，當(dāng)碗壁足夠矮，非常薄，即便碗壁的能量依然大于石子的能量，石子也會(huì)莫名其妙地跑出來(lái)，究竟它是怎么出來(lái)的誰(shuí)也不知道，就像變魔術(shù)一樣。而這個(gè)跑出來(lái)的“石子”實(shí)際上是通過(guò)一個(gè)隧道跑出來(lái)的，這就是量子的隧穿效應(yīng)。2.復(fù)雜情況下的隧穿效應(yīng) 2.1 一維雙勢(shì)壘結(jié)構(gòu)的諧振隧穿效應(yīng) 諧振隧穿效應(yīng)足指電子接連隧穿過(guò)靠得很近的兩個(gè)勢(shì)壘時(shí)，隧穿幾率隨入射電子能量的變化會(huì)出現(xiàn)數(shù)個(gè)極大值。雖然電子對(duì)單個(gè)勢(shì)壘隧穿幾率可能很小，但在諧振發(fā)

10、生時(shí)。電子對(duì)雙勢(shì)壘的隧穿幾率(最大隧穿幾率)可以很大。發(fā)生諧振隧穿的物理機(jī)制來(lái)自?xún)蓚€(gè)勢(shì)壘之間的勢(shì)阱內(nèi)電子能量的量子化。當(dāng)入射電子能量等于勢(shì)阱中電子的量子化能級(jí)時(shí)，共振現(xiàn)象就會(huì)發(fā)生。 2.2 諧振隧穿效應(yīng)條件和透射幾率 以rij 和tij分別代表電子隧穿單個(gè)勢(shì)壘時(shí)的反射波和透射波復(fù)振幅，i代表入射區(qū)，j代表出射區(qū)。實(shí)際上rij 和tij就是電子隧穿單個(gè)勢(shì)壘問(wèn)題的解。如上圖所示的雙勢(shì)壘結(jié)構(gòu)中，設(shè)電子從左邊入射，連續(xù)隧穿過(guò)兩個(gè)勢(shì)壘后從右邊射出，出射波的 復(fù)振幅為S。另一方面可以設(shè)想，入射波首先隧穿過(guò)左邊單個(gè)勢(shì)壘，其射入勢(shì)阱的波的復(fù)振幅為t13，這個(gè)波在勢(shì)阱中來(lái)回反射，每在右邊勢(shì)壘反射一次都有一部分t

11、35從右邊勢(shì)壘射出。.總的出射波(振幅為S)可以看作多束波隧穿過(guò)右邊單個(gè)勢(shì)壘后的出射波的疊加，從而得到下面的等式：S=S1+S2+S3+=t13t35+t13r13r35t35+t13r13r35r13r35t35+=t13(1+r35+r35r31r35r31+)t35=t13t35/(1-r35r13)總的透射幾率(出射波幾率流與入射波幾率流之比)為T(mén)=k5/K1SS*=K5/k1 (t13t35t13*t35*)/(1-r35r13)/(1-r35r13)= k5/K1T13T35/(1+R13R35-2Cos3513)。其中Tij=tij,Rij=rij, 35和13分別是r13，r3

12、5的立體角它們與勢(shì)壘的高度、寬度及勢(shì)阱。在一般情況下，TCT31T35,其中C的數(shù)量級(jí)為1，此即相繼隧穿過(guò)程，兩個(gè)勢(shì)壘問(wèn)量子阱的存在對(duì)隧穿影響不大。但對(duì)于電子能量的某些特殊值，35+13=2n，此時(shí)隧穿幾率達(dá)到最大值，即發(fā)生諧振隧穿，其透射幾率為在單個(gè)勢(shì)壘的透射幾率很小時(shí)，其反射幾率Rij很大。因而諧振隧穿幾率比相繼隧穿幾率要大得多。把上面得到的結(jié)果運(yùn)用到一維對(duì)稱(chēng)雙勢(shì)壘(兩勢(shì)壘的高和寬都相同，勢(shì)阱底也等高，如圖三所示)以得到一個(gè)重要的結(jié)論：在發(fā)生諧振隧穿時(shí)，雙對(duì)稱(chēng)勢(shì)壘對(duì)入射電子足完全透明，無(wú)反射波。 圖三：一維對(duì)稱(chēng)雙勢(shì)壘結(jié)構(gòu)3.量子隧穿效應(yīng)的應(yīng)用 量子隧穿效應(yīng)理論上可以有很多的應(yīng)用，比如 “瞬

13、間轉(zhuǎn)移”和上面所提到的“穿墻術(shù)”。所謂的“瞬間轉(zhuǎn)移”與“穿墻術(shù)”的原理是一樣的，通過(guò)量子隧道，電子能瞬間逃離原子，小石子莫名其妙就穿過(guò)了碗壁，這說(shuō)明量子隧穿效應(yīng)有可能實(shí)現(xiàn)，但這僅僅是理論上得到的。迄今為止，量子隧穿效應(yīng)還不是非常的多，其中最重要的當(dāng)屬掃描隧道顯微鏡（STM）。STM是于1981年美國(guó) IBM 公司蘇黎世實(shí)驗(yàn)室的兩位科學(xué)家：法國(guó)人G.Binnig和瑞士人H.Rohrer發(fā)明的,STM的發(fā)現(xiàn)使我們直接觀察原子、分子圖像的愿望真正成為現(xiàn)實(shí)，他們兩人因?yàn)榇隧?xiàng)發(fā)明而獲得1986年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。下面來(lái)簡(jiǎn)單介紹下STM： 1 .STM 的具體工作原理   &

14、#160;  假設(shè)現(xiàn)在有兩塊不同的金屬導(dǎo)體 A 和 B ，它們非常靠近但是并沒(méi)有接觸，中間為一層薄的絕緣層或真空區(qū)，則在金屬 A 和金屬 B 之間存在 個(gè)勢(shì)壘，如圖 3 所示。如果在兩個(gè)金屬之間加上一個(gè)電壓U0，則由于隧道效應(yīng)，電子可以穿過(guò)絕緣層而形成隧道電流。經(jīng)過(guò)量子力學(xué)計(jì)算，隧道電流密度的大小與兩塊金屬的逸出電勢(shì)和，所加的電壓U0及兩塊金屬之間的距離S有關(guān)，即,式中A為常數(shù)，為平均逸出電勢(shì)，對(duì)于兩塊均勻的金屬表面 。由上式看出，S在指數(shù)上，所以隧道電流對(duì)S的變化十分敏感。      如果把一塊已知功函數(shù)的金屬A做成針尖狀的電極作為探針，使它

15、能夠在 x、y、z三個(gè)方向上移動(dòng)，另一個(gè)金屬B為被研究物質(zhì)的平表面，則隧道電流,式中為樣表面的平均墊壘高度 (一般為幾個(gè)電子伏的數(shù)量級(jí))；S為探針尖與樣品之間的距離。當(dāng)S改變0.1nm時(shí)，JT就會(huì)發(fā)生數(shù)量級(jí)的變化。隧道穿透電流JT對(duì)S的變化十分敏感是掃描隧穿顯微鏡工作的基本依據(jù)。1979年，Binnig在思考STM探針制造時(shí)在筆記本中有這樣一段話：“針尖的球形表面與樣品平表面之間的隧道電流呈指數(shù)衰減，足以把電流孔徑限制在 0.5nm 之內(nèi)。” 顯然，考慮到隧道電流隨距離的指數(shù)衰減是Binni成功發(fā)明 STM 的關(guān)鍵。 假設(shè)樣品表面的逸出電勢(shì)值U0保持恒定，如果我們使探針在樣品表面 (即 xy平

16、面)作二維掃描，并保持隧穿電流為恒定的數(shù)值不變，這就要求針尖與樣品表面之間的相對(duì)距離保持不變，也就是說(shuō)針尖在z方向上必須隨樣品表面的高低起伏而做同樣的高低起伏的運(yùn)動(dòng)。可見(jiàn)，針尖在空間的高度變化能反映出樣品表面的信息。換句話說(shuō)，隨著樣品平面的xy值的變化，針尖的z值將會(huì) “仿”樣品表面的高低起伏而具有不同的數(shù)值，通過(guò)數(shù)字圖像轉(zhuǎn)換系統(tǒng)即可獲得有關(guān)樣品表面的三維立體信息，讓人們“看到”樣品表面的原子分布圖像。2.儀器設(shè)備掃描隧穿顯微鏡由四個(gè)部分組成，它們是STM主體、電子反饋系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)及高分辨圖像顯示終端，其核心部件STM的探針裝在主體箱內(nèi)。電子反饋系統(tǒng)主要用于產(chǎn)生隧道電流及維持隧道電流的恒定，并控制針尖在樣品表面進(jìn)行掃描，而計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)則猶如一個(gè)總司令部，由它發(fā)出一切指令控制全部系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)，并收集和存貯所獲得的圖像，高分辨圖像終端主要用于顯示所獲取的顯微圖像。4.結(jié)束語(yǔ) 量子隧穿效應(yīng)作為一種量子力學(xué)里獨(dú)特的與經(jīng)典不相符合的的現(xiàn)象，本文主要介紹量子隧穿效應(yīng)的基本原理和一般的推導(dǎo)過(guò)程，然后介紹了隧穿效應(yīng)在實(shí)際中的應(yīng)用