1、遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案第二章 隨機(jī)變量及其分布【基本要求】1、了解隨機(jī)變量的概念；2、理解離散型隨機(jī)變量的概念及其分布律的概念和性質(zhì)；3、理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概念及其概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；4、理解分布函數(shù)的概念，并知道其性質(zhì)；5、會利用分布律、概率密度函數(shù)及分布函數(shù)計(jì)算有關(guān)事件的概率；6、會求簡單的隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布；【本章重點(diǎn)】隨機(jī)變量的概念；連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量的密度函數(shù)（分布律）的概念和性質(zhì)以及它們的分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布.【本章難點(diǎn)】隨機(jī)變量的概念及性質(zhì)；連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)計(jì)算。【學(xué)時(shí)分配】9學(xué)時(shí)【授課內(nèi)

2、容】§2.1 隨機(jī)變量在第一章里，我們主要研究了隨機(jī)事件及其概率，同學(xué)們可能會注意到在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問題與實(shí)數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系。例如，在產(chǎn)品檢驗(yàn)問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時(shí)期正在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某一段時(shí)間內(nèi)的話務(wù)量等。對于這類隨機(jī)現(xiàn)象，其試驗(yàn)結(jié)果顯然可以用數(shù)值來描述，并且隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的數(shù)值。然而，有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述。比如，在投硬幣問題中，每次實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有聯(lián)系，但我們可以通過指定數(shù)“1”代表正面，“0”代表反面，為了計(jì)算n次投擲

3、中出現(xiàn)的正面就只須計(jì)算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了，從而使這一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。一般地，如果為某個(gè)隨機(jī)事件，則一定可以通過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系：這就說明了，不管隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否具有數(shù)量的性質(zhì)，我們都可以建立一個(gè)樣本空間和實(shí)數(shù)空間的對應(yīng)關(guān)系，使之與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系。為了全面的研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。引例：隨機(jī)試驗(yàn)E1：從一個(gè)裝有編號為0，1，2，9的球的袋中任意摸一球。則其樣本空間=，其中“摸到編號為的球”，=0,1,9.定義函數(shù) ：，即()=，=0，1，9。這就是和整數(shù)集0，1，

4、2，9的一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，此時(shí)表示摸到球的號碼。從上例中，我們不難體會到： 對應(yīng)關(guān)系的取值是隨機(jī)的，也就是說，在試驗(yàn)之前，取什么值不能確定，而是由隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果決定的，但的所有可能取值是事先可以預(yù)言的。是定義在上而取值在R上的函數(shù)。 同時(shí)在上例中，我們可以用集合：()5表示“摸到球的號數(shù)不大于5”這一隨機(jī)事件，因而可以計(jì)算其概率。習(xí)慣上我們稱定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù)為隨機(jī)變量。這就有了如下定義：定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為，=(e)是定義在上的單值實(shí)函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，集合：()x是隨機(jī)事件，則稱=()為隨機(jī)變量（Random Variable）。定義表明隨機(jī)變量=()是樣本點(diǎn)的函數(shù)，為

5、方便起見，通常寫為，而集合：()x簡記為x。如在上例中，摸到不大于5號球的事件可表示為5，則其概率為P5=3/5。隨機(jī)變量的引入，使概率論的研究由個(gè)別隨機(jī)事件擴(kuò)大為隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)象的研究。正因?yàn)殡S機(jī)變量可以描述各種隨機(jī)事件，使我們擺脫只是孤立的去研究一個(gè)隨機(jī)事件，而通過隨機(jī)變量將各個(gè)事件聯(lián)系起來，進(jìn)而去研究其全部。今后，我們主要研究隨機(jī)變量和它的分布。隨機(jī)變量的分類 §2.2 離散型隨機(jī)變量的概率分布 1.定義：設(shè)是上的隨機(jī)變量，若的全部可能取值為有限個(gè)或可列無限個(gè)（即的全部可能取值可一一列舉出來），則稱為離散型隨機(jī)變量。若的取值為，把事件的概率記為，則稱為的分布律。【注】：

6、由定義可知，若樣本空間是離散的，則定義在上的任何單值實(shí)函數(shù)都是離散型隨機(jī)變量。2.離散型隨機(jī)變量的分布律滿足下列性質(zhì)：(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：分布律也可用表格形式表示出來X如拋硬幣試驗(yàn)X0 1 例1：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號燈的盞數(shù)（設(shè)各信號燈的工作是相互獨(dú)立的），求X的分布律。 解：以p表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，易知X的分布律為X0 1 2 3 4 或?qū)懗梢源氲肵0 1 2 3 40.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625下面介紹三種重要的離散型隨機(jī)變量的概率分布1.

7、（01）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0和1兩個(gè)值，它的分布律是 則稱X服從（01）分布.（01）分布的分布律也可寫成X0 1 滿足（01）分布的試驗(yàn)應(yīng)該只有兩個(gè)結(jié)果。2. 二項(xiàng)分布：設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A及，.將E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡稱貝努利試驗(yàn)例：用X表示n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，用表示A在第i次試驗(yàn)中發(fā)生應(yīng)共有種，它們是兩兩不相容的，故在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為，即顯然注意到剛好是二項(xiàng)式的展開式中出現(xiàn)的一項(xiàng)。故我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，的二項(xiàng)分布，記為 特別，當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布化為這就是（01）分布 例2 某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中律為

8、0.02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。 解：將每次射擊看成一次試驗(yàn)。射擊中的次數(shù)為X，則.X的分布律為于是所求概率為直接計(jì)算上式是麻煩的。下面給出一個(gè)定理 3.泊松定理 設(shè)是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)，則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有 顯然，定理的條件（常數(shù)）意味著當(dāng)n很大時(shí)必定很小.因此，上述定理表明當(dāng)n很大時(shí)很小時(shí)有以下近似式其中.泊松分布：隨機(jī)變量X所有可能取值為而取各個(gè)值的概率為 其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為顯然 例3 為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人（工人配備多了就浪費(fèi)，配備少了有又要影響生產(chǎn)），現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺，各臺工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生

9、故障的概率都是0.01，在通常情況下一臺設(shè)備的故障可由一個(gè)人來處理（我們也只考慮這種情況），問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01？解：設(shè)X=在300臺設(shè)備中故障發(fā)生的次數(shù) A=故障  需配備N個(gè)工人 p=0.01 q=0.99由泊松定理 查表可知 N+1=9 N=8課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P34-45； 2、作業(yè)：P62 1, 3, 6, 7； 3、預(yù)習(xí)P45-49§2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或無限可列多個(gè)，而對于非離散型隨機(jī)變量它則不能像離散型隨機(jī)變量那樣一一列舉出來并用分布律來描述它。在實(shí)際中我們有時(shí)研究

10、的不是某一個(gè)確定的值的概率，而是研究在某一范圍內(nèi)的概率。如：當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，有：P=P- P我們要求P，只需求P及P即可。下面引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念。1.定義：設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，對xR，函數(shù)= PXx稱為X的分布函數(shù)。對于任意實(shí)數(shù) ()，有P=P- P =因此，若已知X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間上的概率。這時(shí)概率與函數(shù)聯(lián)系起來了，我們就可以通過函數(shù)來全面研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 如果將X看成是數(shù)軸上的隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間上的概率。2.性質(zhì)：分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：是不減函數(shù)，即對，Proof：對， 有。因此，規(guī)范性：且右連續(xù)性：對有 （性

11、質(zhì)，的證明可參考其它有關(guān)的資料）注：反之可證明：對于任意一個(gè)函數(shù)，若滿足上述三條性質(zhì)的話，則它一定是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。3.運(yùn)算：若， 則有：例1：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 X-1 2 3 求X的分布函數(shù)，并求. 解：由概率的有限可加性，得所求分布函數(shù)為 即 = 一般，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為即 例2：一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離。試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 解：設(shè)X=彈著點(diǎn)與圓心的距離 （其中）例3：設(shè)某隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，試確定A，B的值。 解：由得

12、課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P45-49； 2、作業(yè)：P64 16, 17； 3、預(yù)習(xí)P49-57§2.4連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度1.定義：對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，存在非負(fù)函數(shù) 使得對任意的實(shí)數(shù)，有，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。其中函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。由定義顯然可知，連續(xù)。2.的幾何意義：在幾何上表示一條曲線稱為分布密度曲線，則的幾何意義是：以分布曲線為頂，以X軸為底，從到x的一塊變面積。3.密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：(1) 非負(fù)性：(2) 規(guī)范性： Proof：由分布函數(shù)的性質(zhì)有： 注：任意一個(gè)滿足以上二性質(zhì)的函數(shù)，都可以作為某連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。(3) 若在x處是連

13、續(xù)的，則注：由該性質(zhì)，在連續(xù)點(diǎn)x處有，從這里我們看到概率密度的定義與物理學(xué)中的線密度的定義相類似，這就是為什么稱之為概率密度的緣故。(4) P=- P(5)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，則事實(shí)上，而從此可知：概率為0的事件不一定是不可能事件，稱為幾乎不可能事件；同樣概率為1的事件也不一定是必然事件。這樣，對連續(xù)性隨機(jī)變量X有：，注：連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)與其分布函數(shù)之間是一一對應(yīng)的。下面介紹幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量.(一)例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度，試確定常數(shù)k的值,并求概率。 解：由于是k的概率密度為 一般,若隨機(jī)變量X具有概率密度,則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布.(二)均勻分布 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

14、X具有概率密度 則稱X在區(qū)間(a, b)上服從均勻分布.記為.特性:X在(a, b)內(nèi)任意小區(qū)間內(nèi)的概率與小區(qū)間所在的位置無關(guān),而只與小區(qū)間的長度有關(guān). Proof： 均勻分布的分布函數(shù)圖是均勻分布密度和分布函數(shù)的圖形abxO1xbaO圖 均勻分布密度和分布函數(shù)例2：設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量,均勻分布在900歐1100歐.求R的概率密度及R落在950歐1050歐的概率. 解: 按題意,R的概率密度 故有 (三)正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度,其中為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布,記為.OOxxO圖2.7 正態(tài)分布曲線()f(x)的圖象如圖,它具有以下的性質(zhì).1. 曲線f(x

15、)關(guān)于對稱(由性質(zhì)3的幾何意義),那么對于任意h>0,有2. 當(dāng)時(shí),為最大值.從圖中可看到,離越遠(yuǎn),的值越小.表明對于相同長度的區(qū)間,離越遠(yuǎn)X落在該區(qū)間上的概率越小.(1) 若不變,改變的值,圖形的形狀不發(fā)生改變,只是圖形沿Ox軸平移,可見的位置完全由參數(shù)所確定,稱為位置參數(shù).(2) 若不變,改變的值,由于最大值, 越小,則越大,圖形越尖; 越大,則越小.可見, 的形狀由參數(shù)所確定,稱為形狀參數(shù).(3) 曲線在和處各有一個(gè)拐點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞 減，在處達(dá)到最大值正態(tài)分布的函數(shù) 特別,當(dāng)時(shí)稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,其概率密度和分布函數(shù)分別用表示,即有 易知人們已編制了的函數(shù)表,可供查

16、用. 一般,若,我們只要通過一個(gè)線性變換就能將它化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 引理 若,則.證: 因此, .若則.這樣正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布建立了聯(lián)系,可以通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來求正態(tài)分布的值.1. 可查表求值.2.例如.設(shè),查表得例3：將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器整定在,液體的溫度X(以計(jì))是一個(gè)隨機(jī)變量,且,(1)若,求X小于89的概率.(2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問d至少為多少?解: （1）所求概率為 （2）按題意需求d滿足 為了便于今后應(yīng)用,對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量,我們引入了分位點(diǎn)的定義. 設(shè),若滿足條件,則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn). 如何求上分

17、位點(diǎn)呢? 已知 求 先求再查表 則=1.645 即 課后作業(yè)：1、仔細(xì)閱讀P49-57； 2、作業(yè)：P64 18, 20, 21, 22； 3、預(yù)習(xí)P57-622.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 人們已經(jīng)掌握數(shù)百種概率分布，其中每一種概率分布都有各自的應(yīng)用領(lǐng)域在眾多的分布中，我們已經(jīng)介紹了一些最基本和最常用的概率分布，多數(shù)分布都是作為具有一定分布的隨機(jī)變量的函數(shù)的分布導(dǎo)出的這一節(jié)的內(nèi)容是，根據(jù)隨機(jī)自變量的概率分布求其函數(shù)的概率分布的方法隨機(jī)變量函數(shù)的分布的一般求法 1、離散型情形設(shè)是離散型隨機(jī)變量，其一切（有限或可數(shù)個(gè)）可能值為為求隨機(jī)變量的概率分布，首先由函數(shù)關(guān)系列出的一切可能值，然后分別求概率這

18、時(shí)，(1) 已知，若函數(shù)的一切可能值兩兩不等，則就是的概率分布；(2) 若對于某些的可能值，等于同一值，則例1：設(shè)隨機(jī)變量X具有以下的分布律.試求的分布律。X-1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4解： Y所有可能取的值是0，1，4由 即得Y的分布律為X0 1 4 0.1 0.7 0.22、連續(xù)型情形設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量可能是連續(xù)型的，也可能是離散型的(1) 若函數(shù)只有有限或可數(shù)個(gè)可能值，按上述離散型情形處理；(2) 若函數(shù)所有可能值的集合是（有限或無限）區(qū)間，則一般先求的分布函數(shù)再求導(dǎo)數(shù)，即可得到的概率密度例2：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度，求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。解： 例3 已知隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求的概率密度解以和分別表示的分布函數(shù)和概率密度當(dāng)時(shí)顯然=0；對于，有對求導(dǎo)，得于