1、多變量有約束最優化問題 摘要 本文以一家運輸航空公司的一架飛機運載能力100噸和運載貨物的容量50000立方英尺有限的情況下，有三種貨物（即x1、x2、x3）需要運輸，公司規定每噸貨物收取一定的費用，而要運輸的每種貨物的噸數都有規定的上限（最多不超過30噸、40噸、50噸），并且公 司規定由于飛機需要保養與維護，飛機須停飛115天，因此每年只有250天的工作時間。在此情況下每天怎樣安排運輸三種貨物使公司每年獲得最大利潤w。對于此問題只用線性規劃的一般方法建立相應的數學模型，在用數學軟件求出在給定限行區域內的最優解（w、x1、x2、x3），在對這些最優解進行分析與討論，確定其為有效最優解。并以此

2、作為公司對三種貨物運輸安排方式。 對于問題一，求使得運輸航空公司獲得最大利潤w的x1、x2、x3三種貨物的噸數，建立相應的數學模型。再根據運輸能力最多100噸和運載貨物容積的最大50000立方英尺，還有每天公司規定的每種貨物的運輸上限即x1種貨物最多運輸30噸，x2種貨物最多運輸40噸，x3種貨物最多50噸，建立約束條件。并用數學軟件mathematica進行求解，即為所求的最優解（也就是w=21875，x1=30，x2=7.5，x3=50）。 對于問題二中，要求計算每個約束的影子價格。我們將利用問題一中建立的目標函數和約束條件，將其編寫成源程序輸入到Lindo軟件中進行求解。再將得到的界進行

3、討論與和模型的穩健性分析并且通過其在題意的理解，解釋其含義。問題三中，對于公司將耗資改裝飛機以擴大運貨區來增加運輸能力，且舊飛機使用壽命為5年，每架飛機的改造要花費200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設飛機每年飛行250天，這些舊飛機剩余的使用壽命約為5年。根據此問題我們將建立數學規劃模型，利用Lindo軟件計算其影子價格和利潤并且與前面進行比較，進行分析。關鍵詞：線性規劃、mathematica軟件的應用、Lindo的軟件應用。 一、 提出問題一個運輸公司每天有100噸的航空運輸能力。公司每噸收空運費250美元。除了重量的限制外，由于飛機貨場容積有限，公司

4、每天只能運50000立方英尺的貨物。每天要運送的貨物數量如下：貨物重量（噸）體積（立方英尺/噸）130550240800350400（1） 求使得利潤最大的每天航空運輸的各種貨物的噸數。（2） 計算每個約束的影子價格，解釋它們的含義。（3） 公司有能力對它的一些舊的飛機進行改裝來增大貨運區域的空間。每架飛機的改造要花費200000美元，可以增加2000立方英尺的容積。重量限制仍保持不變。假設飛機每年飛行250天，這些舊飛機剩余的使用壽命約為5年。在這種情況下，是否值得改裝？有多少架飛機時才值得改裝？二、 提出假設假設1：飛機每天最多只能運輸50000立方英尺的貨物。假設2：飛機每天最多只能運:

5、100噸貨物。假設3：貨物1每天都有30噸要運。假設4：貨物2每天都有40噸要運。假設5：貨物3每天都有50噸要運。四、符號說明符號意義單位備注w利潤美元x1運載貨物1的噸數噸x2運載貨物2的噸數噸X3運載貨物3的噸數噸v飛機貨艙容積立方英尺m飛機載重噸五、模型的建立與求解第一部分5.1問題一的模型的建立。51.1問題一的分析。 結合題意，計算航空公司獲得的利潤，必須將運輸航空公司里的飛機的燃料費用及修理維護費用忽略不計，還有每噸貨物的運費始終保持不變。在這種情況下，3種貨物總運輸噸數不超過100噸，容積不超過50000立方英尺，且3種貨物有各自運輸上限，建立目標函數和約束條件。5.1.2問題

6、一模型的建立。通過對原問題的分析，我們可以建立如下的數學線性規劃模型：Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3<=50000x1+x2+x3<=100x1<=30x2<=40x3<=505.1.3模型的求解 將編寫的程序輸入到mathematica軟件中得到結果5.1.4結果的分析 由結果可以得到當運輸航空公司每天運輸x1貨物30噸、x2貨物7.5噸、x3貨物50，每年得到的利潤最大w=21875美元。即當x1為30噸、x2為8噸、x3為50噸的時候，貨物體積超出了飛機的運載體積50000立方英尺。所以公司應按照以上的x1

7、為30噸，x2為7.5噸，x3為50噸的運輸安排運輸貨物。第二部分5.2問題二的模型的建立5.2.1問題二的分析與建立Max W=250x1+250x2+250x3550x1+1800x2+400x3<=50000x1+x2+x3<=100x1<=30x2<=40x3<=50 求解見附錄二。5.2.2 模型的求解 將應用程序輸入到Lindo軟件中，得到的部分結果為：最優解下資源增加1“單位”時“效益”的增量：飛機運載空間每增加1立方英尺時，利潤增加0.138889美元，飛機運載能力的增加對利潤不影響，X1種貨物每增運1噸時，利潤增加173.611115美元，X2種

8、貨物的增運對利潤不影響，X3種貨物每增運1噸時，利潤增加194.444443美元。5.2.3結果的分析 部分輸出結果（靈敏度分析）（輸入程序見附錄2）最優解不變時目標函數系數允許的變化范圍（約束條件不變）：x1的系數變化范圍（173.61,250）x2的系數變化范圍（0,818.2）x3的系數變化范圍（55.6,250）飛機的運輸貨物體積最多增加222500立方英尺，x1貨物最多每增運18噸x3貨物最多每增運16噸第三部分5.3問題三的模型建立與分析 5.3.1問題的分析 由2問知道每增加1立方英尺，利潤就增加0.138889；當增加2000立方英尺時每天增加利潤=277.778美元；每架飛機

9、增加的利潤=347225美元因為一架飛機改裝后所能獲得的利潤大于改裝費，且能賺147225美元；所以有一架飛機就可以改裝了。 5.3.2模型的建立 通過對問題的分析，我們建的數學模型為： 5.3.3模型的求解 輸出部分結果為(輸入的程序見附錄3)：所以由于對結果的檢驗航空運輸公司應該值得改裝，應該改裝1架飛機。六、模型的評價與推廣6.1模型評價在運輸貨物領域中，人們常會遇到這樣的問題，例如：如何從一切可能的方案中選擇最好的、最優的方案。在我們數學上把這類問題稱為最優化問題，如何解決這類問題，在當今商品經濟的環境下，是關系到企業生存以及國計民生的問題。在解決上述如何空運貨物能使公司利潤最高的問題

10、上，我們采用的是線性規劃的方法。線性規劃的理論和方法都比較成熟，并且是一個有廣泛應用價值的統籌學分支，如果一個問題的限制條件可以寫出某些決策變量的線性方程組或線性不等式組，那我們就可以應用lingo軟件將該線性規劃方程解出來得到最優解。應用數學知識中的線性規劃在解決這類最優化問題上既簡單又精確，在最優解的求解過程中是個很好的選擇。對于我們提出的5個假設，我們都做了靈敏性分析，數據的改變對于最優的結果沒有太大的影響。但是我們的模型還是存在一些缺點，比如我們認定運輸每種貨物的難易程度是一樣的，不會增加其成本。 6.2模型推廣以上建立的模型，在解決最優化問題上方便簡單快捷，不僅適用于貨物的運輸問題上，也適用于鋼管的下料問題，接力隊的選拔問題，奶產品的生產與銷售等一系列問題等。編程運用LINDO軟件，節約計算時間。七、參考文獻八、