1、Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates§4-1 equations of equilibriumXYXd一. 基本概念1 求解對象：圓形、扇形、鍥形等的平面問題，應用非常普遍前面的討論都限于在Descartes直角坐標系中，根據物體的形狀和邊界情況并不是都很方便，例如本章討論的軸對稱的一些問題，他們用極坐標描述就比較方便。本章重點討論了工程中常見的厚壁筒、曲桿、尖劈等問題，特別是討論了圓孔附近的應力集中和角及缺口尖端附近的應力和位移的特征。2 圓周運動：速度：，加速度：，這是高中學過的，如果在直角坐標系下表述

2、不可能這樣方便的。然而：XYXXdd比較和，可知：。3 坐標系及變量自變量，如圖所示。與書中所示圖大同小異，概念上是一樣的。極坐標、柱坐標；自變量：。方向和正負的定義與直角坐標系相同，即以坐標系的正向為正。4 關注點與直角坐標系的比較A. 特點：隨動坐標，徑向對應X，切向對應Y,不同點方向不同，但仍然正交。B.dr取代dx,取代C.基矢量之間的關系：證明: D. 梯度算子：。F. Laplace算子：。證明： 平面問題： G. 平面問題基本定義匯總二. 微元體應力及相應作用面積和作用面方向（與徑向的夾角）1. 微元體：縱向尺寸1或者無窮大；平面則不是矩形而為扇形，意味著徑向面積增大，切向方向改

3、變。2. 徑向面：3. 切向面：4. 體力（集度）：三. 徑向平衡方程的推導1. 各面上的力在徑向的投影：I. 徑向正應力：后一項系面積增大所致。II. 徑向剪應力：90度夾角，沒有投影III. 切向正應力：這一點明顯不同于直角坐標系，此乃角度變化所致。IV. 切向剪應力：V. 體力：2. 平衡方程：五項合并并除以微元體面積可得：3. 與直角坐標系比較多處一項四. 切向平衡方程的推導1. 各個面上的力在徑向的投影：I. 徑向正應力：90度夾角，沒有投影II. 徑向剪應力： 后一項系面積增大所致。III. 切向正應力：IV. 切向剪應力：角度變化所致。V. 體力：2. 平衡方程：五項合并并除以微

4、元體面積可得：3. 與直角坐標系比較多出一項五. 力矩平衡方程：一直角坐標系一樣，證明了剪應力互等性。六. 合計：三個未知數，兩個方程。七. 利用基矢量相互間的關系直接推導平衡方程平面問題：如何理解？微元體面積和外法向改變。空間問題按方向推導對于平面問題，則可演化為上式書中的4-1式。如果是軸對稱問題，可化為書中式7-15第十一次。§4-2 幾何方程和物理方程一、 幾何方程的相關基本變量1. 坐標系：同上，必須注意角度變化2. 位移（變形）：，相當于u，v3. 應變：二、 徑向位移產生的應變(APB變至APB)1. 除縱向拉伸外，必須注意，此位移導致的形狀改變和相應其它應變變化。2.

5、 徑向應變的定義：單位徑向長度的徑向變形，故表述簡單，與直角坐標一致3. 切向應變的定義；單位切向長度的切向變形：切向變形（拉長）：，對應切向長度，故，明顯不同于直角坐標系，是發散或角度變化引起的。4. 剪應變定義：單位徑向長度和單位切向長度旋轉變形之和（轉角）：徑線旋轉：相應長度dr，轉角：；切線旋轉（變銳）：增量，相應長度 ,轉角；剪應變：。三、 切向位移產生的應變(APB變至APB)1. 除切向拉伸外，必須注意，此位移導致的形狀改變和相應其它應變變化。2. 徑向變形（拉伸）：沒有，故3. 切向變形：，對應長度，故。4. 形狀改變：徑線旋轉（導致原有直角變銳）：拉長，相應長度dr，轉角：；

6、切線旋轉：直接導致角點切向發生改變，導致原有直角變成，拉長，對應長度r,故導致原有直角變大，因以變小為正， ；剪應變：。四、 幾何方程合并上述切向位移和徑向位移導致的各項變形可得：（見書4.2）五、 直接利用應變的定義和基矢量關系求得平面問題幾何方程如何理解？旋轉所致，也是面積和角度的改變。上述公式可以作如下的幾何解釋六、 物理方程由于坐標系正交，物理方程與坐標系選擇無關，形式不變。平面應力：，平面應變：七、 邊界條件仍然是兩種為主要討論對象1 應力邊界條件，同直角坐標系，但是面力的表式不完全相同2 位移邊界條件，同直角坐標系3 多連體情形對于常見的圓環形域或圓筒體，由于它是一個二連通域，所以

7、亦必須在以上方程中補充位移單值性條件。利用后文給出的公式展開可以得到圓環形域的位移單值性條件：式中a為園環的內半徑，其中極坐標的極點與圓環的幾何中心重合。 多孔問題則有表示通過閉合線積分求解后，任意一點的位移不變，式中的下標i表示第i個內孔，n表示內孔數。§4-3 極坐標系下的應力函數和相容關系一 相容關系：由于Laplace算子直接由梯度矢量點乘得來，只要是正交坐標系，那么自身與坐標系的方式并無關系，因此作為的相容方程的Laplace表式，其形式必然保持不變，即二 應力的應力函數表示: 即存在應力的應力函數表示 §4-4 坐標變換一. 復習與對應（對比§2.3圖

8、2.4和式2.4復習）定義新的正交坐標系，新（極坐標系）舊（直角坐標系）坐標系之間存在關系： 通式： 據斜面應力計算公式（2-4上下） 和斜面應力矢量計算公式（2-3） 或 ，可以直接推出外法向為面上的應力矢量：同樣可以得到推出外法向為面上的應力矢量兩相合并，即有坐標變換表式。二. 利用并矢推導：存在表式： 故 進一步有 將上式在二維下展開：或 利用此式也可得到4-3節書中的相容關系表式。三. 逆變換：令,即可： 四. 材料力學講過，莫爾園復習二維應力狀態下，在法線傾角為的斜截面上，應力由上式可以計算，它們也可以看作是以為參數為參數方程。經整理可得把兩式等號兩邊平方然后相加，得 可構成一個應力

9、圓或莫爾圓，如上圖所示。相應斜面上的應力計算如下主應力下的三維應力圓如下圖所示。第十二次§4-5軸對稱問題一、 采用極坐標解的彈性平面問題： 1）軸對稱問題(實為中心對稱，如厚壁筒) 2）非軸對稱問題 楔或尖劈問題； 曲桿(圓環)； 帶孔平板(應力集中問題)。二、 軸對稱問題的特點：與角度無關（非自變量）：在有些問題中，應力的分布對稱于通過坐標原點；并垂直于z軸在這情況下，應力與極角無關而僅是r的函數，且只有正應力，由于對稱，剪應力等于零。 三、 基本方程與重要關系式：應力與應力函數 平衡方程 應變與位移 相容方程 正好由兩重簡單Euler方程構成，亦即四階歐拉型變系數常微分方程。重

10、要表式： ，變成一次導數關系。這些關系式比較重要。四、 邊界條件：邊界條件同樣應當與角度無關。與應力有關的邊界：I. 應力表式：（內邊界），（外邊界）II. 應力函數表式：通式（與直角坐標系中的一致）：如采用作為邊界條件時，分別在r為常數的邊界上用它代替Rr及在為常數的邊界上用它代替R。五、 軸對稱問題應力函數：1. Euler方程(數學預備)：2. 通解：令，或代入：，即：或者表述為r的函數，它具有通解形式，。其中，如果存在重根，則須相應增加對數項，如則，（同學們可以自己證明一下）3. 本相容關系的特征根：仍令： 4. 故有通解：5. 應力：也可如下證明：展開相容關系后有：令，或代入，防城變

11、成常系數微分方程其特征根方程為： 于是 相應解為： 討論：實心板A和B該如何取值？如在坐標原點沒有孔，常數A和B必須等于零，否則當r0時應力將變為無限大 因此，如在坐標原點沒有孔；，而且沒有體積力，唯一可能的應力對稱分布是兩個正應力分量均是常量。板在其平面內各方向均勻受拉或均勻受壓。六、 應變和位移（平面應力）： 1. 應變：,2. 位移：（導讀）幾何方程：積分后可的位移表式（詳見書）：注意：I. 積分II. 由于涉及到剛體旋轉等因素，求位移時，不能忽略角度自變量III. 徑向位移的標準表式：，分析位移連續及位移法求解時可用。IV. H為剛體旋轉項，I為直角坐標系中X方向的剛體位移，K為Y方向

12、的剛體位移3. 位移單值討論結合前兩個方程可得：其中后兩項為剛體運動項。由于同一點可以用表示，上式表明位移多解，根據位移單值條件，這是不可能的，所以B0，實際上軸對稱問題，除剛體運動項外，不應當存在切向位移。七、 平面應變問題，同直角坐標系的本構關系轉換，略。§4-6園環問題或圓筒受均布壓力問題一、 園環問題狀態描述：無體力或體力在平面沒有分量；材質：均勻連續；幾何尺寸：園環受力：，；邊界條件：，二、 確定系數1. 系數方程：將應力表式代入邊界條件（剪應力自然滿足，故不用） 2. 考慮到位移單值。B0，存在簡單的標準式： 3. 應力： 這里可以看出應力場的分解意義與效果。三、 討論1

13、. 疊加原理。內外邊界面力可以分離。，內壓問題： ；：空腔問題：；都是切向力大于徑向力，如圖所示。如果？實心體問題，與習題2-16比較2. 邊界條件驗算，滿足3. 不同壓力作用下，邊界處切向分量的符號和意義。僅含內壓力時，全場切向正應力為拉，且內部大于外部；僅含外壓力時，全場切向正應力為壓，且外部大于內部。4. 外圍全部為等值均布荷載：，與習題2.16比較5. （即），普通垌室問題： ；如果，則為純剪，顯然內平衡力系對遠端沒有影響，證實了圣維南原理。§4-7壓力隧道一、 性狀：無體力、混凝土圓筒置于山體中，山體可以看作無限大，圓筒空腔含有均勻內壓，兩種介質的平面應變問題。二、 通解：

14、仍然是軸對稱問題，依兩種介質分兩個區域利用上述解，待定系數。內部砼體：；外部山體：三、 邊界條件：1. 混凝土：2. 土體：3. 接合部的連續條件（）：1) 接觸概念：光滑接觸（非完全接觸）、完全接觸、摩擦滑移接觸。2) 作用力和反作用力相等定律：因剪應力都為零，相等要求自然滿足；相互間僅含法向作用力，根據應力的投影計算，也就是要求相互間徑向應力相等（切向正應力不可能得出此條件）：3) 位移連續切向位移應分滑移和不滑移討論，如果不滑移則剛體位移全部相等；徑向位移相等，剛體位移中平移項必須相等，得到一個方程；由于這是一個平面應變問題，應將泊松比和彈性模量轉換，于是兩彈性體各自的徑向位移表式為：

15、進而即 共計四個方程、四個未知數。求解得于是應力分布大體如圖所示。四、 多種介質問題：同樣可解增加一種介質，便增加了兩個待定系數，同時也增加了一個徑向正應力相等的平衡方程和頸項位移連續方程，故這類問題均可求解。§4-8 園孔的孔口應力集中 一、 極坐標系下的常見雙調和函數：1. 方程：2. 形式：3. 根： ，如有重根，則增加項，如有重根，則增加項l 相關方程特征解令，代入可得故存在下列解的形式或者寫成雙曲線形式 如果為虛數或復數則解中包含三角函數。l 一般方程解的形式：將其代入，根據t的任意性，各項系數必須為零，求得，此解是常微分方程的延拓。感興趣的同學不妨利用上述表式對雙調和函數

16、的解和根作一番推導。l 討論：，如有重根，則增加項：設，則有故有特征根：。二、 應用舉例之一無限大平板，中有小圓孔，受有均勻內壓作用，求應力分布？ 此問題邊界條件可寫為： 此問題為軸對稱與無關，n=0，屬與前述軸對稱問題結果完全一致。三、 應用舉例之二圖示90°的V型槽中受一集中力的作用，求應力分布？ 選基準點A，并用A表示邊界可設，于是 代入邊界條件后成為 解方程后 即 求得應力分量為 其余分量均為零。取r=a時可見 d為一常數，并如圖所示圓的直徑。當r=0 時，r為無限大，此處有奇異性。 四、 園孔的孔口應力集中狀態描述：1. 外部，內部，無體力，均質連續。2. 問題：有方有園，

17、到底采用什么坐標系？3. 結論：園孔附近，極坐標，遠端等效為園（相當于）；外圍，認為園孔局部應力集中，不考慮4. 本問題分析局部，選用極坐標系。五、 遠端邊界條件等效： 處：坐標變換：， 其中第一項為水壓力項，可用軸對稱問題解決（如上圖所示），第二項為偏應力項，軸對稱方法不再成立，注意：彈性力學經常采用這種分析方法。Byq1等效邊界條件：處：六、 確定系數方法一：根據應力邊界取：，代入求解。方法二：水壓力項，利用軸對稱問題求解： ；偏應力項取：，代入求解方法三：B點力矩，故設，代入求解。注意一個原則：為了利用已有的調和函數形式，三角函數必須化為一次項。總之：，將及的通解形式代入邊界條件求解即可

18、（協調方程就不必了）七、 應力集中問題（以兩邊受拉為例）1 詳細解（4-9-6）2 最大值：3 Y軸切應力分布4 X軸切向應力分布：注意拉應力的存在及相應作用區，由于砼不抗拉，設計是必須考慮是否加筋§4-10楔形體問題PYB½AX一、 極點受力問題1 問題描述：I、 契形體幾何尺寸：夾角：II、 受力（無體力）：集中力P，方向：與軸線成III、 邊界條件：2 利用量綱分析假定應力函數應力量綱：N/L2即：ML-1T-2,自變量：P、r、有量綱量僅P（M T-2）、r（L），故唯有：，而力矩亦只有：故應力函數宜采用3 利用邊界條件假定應力函數（詳細講，尤其起點力矩問題，合剪力

19、問題，大于90度時桿的旋轉方向問題） A點邊界條件：;B點邊界條件：，故4 解的形式：，兩個重根，各自須增加項，亦即忽略沒有影響的一次項，兩個未知數。5 應力表式 ，沒有切向應力和剪應力。6 邊界條件檢驗：兩邊自然成立，但頂點條件沒有引用。7 系數確定：利用頂點平衡條件。由于是集中荷載，必須采用積分方式求取平衡（圣微南原理）兩個平衡方程，兩個未知數。作一的圓弧。則：,問題得解。8 利用應力函數在B點的邊界條件（兩個方程）：直接代入亦可求解（同學們練習）。注意x，y的一次項無所謂，如果刻意求解，亦可用A點邊界條件確定，問題是沒有這個必要，這也是應力函數或力矩起始點可以隨機確定的一個原因，因為增加

20、一個常數，也只能多增加一個旋轉量而已。二、 極點受力偶作用問題利用邊界條件假定應力函數： A點邊界條件：;B點邊界條件：，故 同上可解。三、 一邊受均布垂直荷載問題（設為A點所在面） 坐標系改為書中所示，即x軸在A面。利用邊界條件假定應力函數： B點邊界條件：;A點邊界條件：，故，故代入邊界條件，四個方程，四個未知數。當然，利用應力邊界條件亦可。如書中所示。§4-10半空間集中荷載作用問題，代入(4-19-6)，可得。位移計算。火車荷載。對應真實問題的條形荷載。§4-8圓弧型曲梁的純彎問題一、問題描述：無體力、雖非軸對稱，但也是極角無關問題，而§4-5的內容同樣可

21、用二、受力邊界（圖示）：四個面均應涉及，主邊界：BC、DA，次邊界：AB、CD1. BC面：2. DA面：3. AB面：（）4. CD面：（）5. 所有各面：切向應力恒等于零三、確定系數的相關方程本問題的應力與極角無關，故除位移單值所確定的表式外，可以借用軸對稱問題的全部表式，亦即存在應力表式：應力函數：根據邊界條件存在如下方程：BC面（r=b）：DA面（r=a）: CD面（）AB面（）剪應力和各面的切向面力自然滿足。合力積分分析（注意：）：恒成立合力矩分析：即： 注意：1. 實際上，引用應力函數的邊界條件，可以直接得出此式（因具體的應力函數表式，這樣更準確。2. 討論另一個邊界條件，極坐標系

22、下演變為：自然滿足，這是軸對稱問題的特點。四、方程整理：三個未知數，三個方程，問題得解。五、討論：6. 與軸對稱問題相比，7. 切向位移：，與時不相同，由于是開口，故允許，與園環不同；此式還表明材料力學的平截面依然成立。8. 兩端正應力，集中滿足，應力分布圖見圖4.7.2。§4-9旋轉碟問題二， 問題描述：1. 存在慣性體力（思考：加速度如何得來：），相當于有體力問題2. 軸對稱問題。三， 平衡方程：四， 應力函數分析引入應力函數，則 五， 相容關系及應力函數說明這里的應力函數表述已不同于從前（），故相容關系需要重新推導，仍從應變入手。將物理方程和應變表式代入，即得新的相容關系： 據

23、上式即可求得應力函數六， 應力和位移（略）注意：1. r0處，應力不可能無限大，所以B02. 由于表式和意義并不同于原應力函數得定義，常數項和一次項不可忽略3. 這里介紹了一種新的應力函數推導與分析方式，由此可以看出應力函數的應用精髓（結束講課）§4-11極坐標系下的其它半逆解法舉例舉例，無限大平板的小園孔周邊，受均勻切應力的作用，求版中應力分布。內邊界方程：分析：作一圓圈，力矩必須平衡，故，于是，代入方程和邊界條件檢驗，成立，問題得解。如果用半逆解法，令，代入各方程和邊界條件，亦可成立。第八章 空間問題基本理論§8-1 平衡方程一、 平面問題復習1. 坐標系2. 微元體3

24、. X方向平衡方程4. Y方向平衡方程二、 空間問題1. 坐標系2. 六面微元體3. Z方向平衡方程4. 力矩平衡結果：三、 平衡方程的不同表示方式1. 符號表示法:2. 算子和矢量表示法:§8-2任一點的應力狀態一、 四面體的平衡：1. 坐標系和圖示2. 外法向及方向余弦I、 外法向概念：垂直于物體切面，指向物體外側II、 方向余弦的定義：外法向在坐標軸上的投影III、 （附）平面法向方向余弦的意義： 證明思路：1. 坐標原點到平面內任意一點構成的矢量，與該平面外法向的投影均為原點到該平面的距離d2. 平面內任意兩點之間構成的矢量在法向上的投影為零，即：設：，則而由原方程知：由于點

25、的任意性，必有： ，or ，得證。3. 面積投影：斜面面積：，三面面積：4. 力系平衡：面力、體力注意：這里力的量綱與應力完全相同。二、 任意面上應力邊界條件的表述方式： ，其中各值均為面上值。三、 任意面上的應力（）表述：法向應力：為各分力在法向上投影之和： 切向應力：坐標變換：§8-3 主應力一、主應力及主應力方向：定義：應力與該方向矢量的點乘并不改變該方向，即：，其中為該方向的方向余弦。為主應力，為主應力方向。主應力平面不得有剪應力。表式：，要求系數行列式據此可得如下求解方程：主應力表式：求得三個主應力或者特征值以后，聯立任意兩個方程以及即可求得三個主應力方向二、應力不變量、靜

26、水壓力 第一不變量：，就是靜水壓力，對應張量為球形應力張量第二不變量： 第三不變量：（講課結束）三、偏斜應力張量§8-4 最大和最小應力一、 最大主應力與最小主應力,一般表示：二、 最大剪應力、最大剪應力平面：，平面：與所在平面構成450夾角（推導略，但解釋一下最大最大與最小及所對應的平面）§8-5 幾何方程、剛體位移、體應變一、 幾何方程：二、 剛體運動項：定義：不引起內部變形的位移；，六個方程，存在六個待定系數可以推導（略）：，六個待定系數，符合剛體運動所需未知數三、 體積變形：§8-6 任意一點的應變狀態一、 任意面上的正應變和剪應變：類似應力張量，但注意：

27、二、 應變不變量，同應力張量三、 偏斜應變§8-7 物理方程一、物理方程1. 通用表式：（略）2. 簡單表式： ，3. 拉美常數表式： ，4. 各向異性體的表式廣義虎克定律：，系數由3×3×3×3個常數，由于對稱性，但實際只有36個常數而各向同性材料則只需兩個彈性常數。二、彈性常數之間的轉換及定義：5. 不同表式之間的轉換推導：（現推）6. 彈性常數之間的相互關系三、方程和未知數總結： 未知數：位移3、應力6、應變6 方程：平衡3、幾何6、物理6 如果考慮力矩平衡方程，那么未知數加3,平衡方程加3四、邊界條件：類似平面問題 ，但任何一點應力邊界由三個方向

28、三個方程組成，位移同樣。應力邊界條件位移邊界條件：§88 軸對稱問題和球對稱問題一、 平面極坐標問題復習：1、 平衡方程的獲得：r方向，與直角坐標相比增加項，原因：面積和方向改變方向：與直角坐標相比增加項，原因：方向和面積改變2、 幾何協調方程：與直角坐標相比，增加項，面積改變；增加項，角度旋轉二、 軸對稱問題的平衡方程：1、 平面軸對稱問題：無極角相關項，無剪應力項，方程：2、 空間問題：柱坐標：r、z無無極角相關項，無剪應力項，對求導為零，方向的平衡方程自然滿足，不予考慮。z方向應力對另外兩個方向的力系平衡與直角坐標一樣，故r方向增加項，r方向平衡方程：同平面問題，由于r方向微元

29、體面積改變，對z方向力系平衡增加，其余同直角坐標系，故z方向：三、 軸對稱問題的幾何方程類似平面問題：四、 軸對稱問題的物理方程正交系，形式不變，但對于軸對稱，由于沒有和，各自只有四個變量，故可以簡化：共計：應力4、應變4、位移2八個未知數；方程：、平衡2、幾何4、物理4。五、 球對稱問題的平衡方程球坐標：R、對稱問題：應力應變：，位移：uR，這里、等價，統一用T代替，共計5個未知數。無無極角相關項，無、剪應力項，對、求導為零，和方向的平衡方程自然滿足，不予考慮僅r方向需要討論平衡。如同平面軸對稱，R方向力的平衡必須考慮正向面積變化和側向方向變化，但此時涉及兩個地位相同的切面，故增加量加倍，即

30、存在方程： 六、 球對稱問題的幾何方程 同平面軸對稱問題：七、 球對稱問題的物理方程 八、 球對稱問題總結：5個未知數、5個方程。( 講課結束)Chapter 9 空間問題的解答通知：考試時間：2003年11月14日（第11周星期五）晚7:009:30地點：西五413、414,要求老師提前30分鐘到達。聯系人：陳老師，電話：87541714剩余課時：10月27/30,11月3/6/10/13,共六次剩余講課安排：空間問題解答理論一次，扭轉兩次，薄板彎曲兩次，機動一次，答疑和習題課只能另行安排。本次彈性力學學習必須掌握的主要內容：一、 彈性力學基本假設及應用背景二、 應力應變定義及相關概念，坐標

31、變換，任意面上的應力 三、 平面問題、空間問題（笛卡兒坐標、極坐標、柱坐標）求解體系及求解路線四、 邊界條件的數學表述五、 平面問題應力函數求解法（笛卡兒坐標、極坐標）六、 等截面桿的扭轉問題，薄膜比擬法概念七、 薄板彎曲問題附：國立臺灣大學應用力學研究所課程設置：543 M5110 彈性力學（一）任課教師：郭茂坤、劉佩玲 （應力館318、307室）上課時間：二 (3, 4)、四 (2)上課地點：應力館111、113教室學 分 數：3 學分評分標準：期中考 35%、期末考 35%、作業 30%課程介紹：當物體受外力作用時，物體內部會產生抵抗力，而且物體形狀會產生變化。若外力移除後，物體恢復原狀

32、，稱為彈性行為；若外力過大，致使物體在外力移除後，無法恢復原狀，則為非彈性行為。一般工程材料在服役時，通常都在彈性範圍內。本課程的主旨在討論彈性物體受外力作用時，物體變形及內部應力的分析方法。預備課程：材力、應用數學、張量課程綱要：1. Kinematics of Deformation (3 weeks) 2. Stress Analysis (2 weeks) 3. Constitutive Laws (2 weeks) 4. Formulation of Elasticity Problems (1 week) 5. One-Variable Problems (1 week) 6. T

33、wo-Dimensional Problems (3 weeks) 7. Torsion Problems (1 week) 8. Bending Problems (1 week) 9. Plate Problems (1 week) 課程目標：課程結束時，修課同學應具備以下能力：1. 能以各種不同的應變量來描述物體變形(deformation gradient, stretching tensor, Cauchy-Green strain tensor, Lagragian strain tensor, Eulerian strain tensor, infinitesimal strai

34、n tensor, principal strains)，了解各種應變量的轉換方式及其物理意義，並知道應變需滿足那些協和條件(Compatibility)。 2. 了解stress vector與stress tensor之定義與關係，主應力及最大剪應力計算方法，以及力平衡方程式。 3. 了解hyperelastic材料及其組成律(generalized Hookes law)，了解各種對稱性材料的組成律，並能推導等向性材料各材料常數的換算公式。 4. 能列出待分析問題的統御方程式(直角、圓柱、球座標)及邊界條件。 5. 能分析單自變數的問題，如球殼受內外壓的球對稱問題。 6. 能分析平面應變

35、、平面應力等二維問題，並能以Airy methd解題。 7. 了解桿件兩端受扭力作用的分析方法。 8. 了解桿件受純彎矩作用或懸壁梁受集中載重作用的分析方法，以及Timoshenko梁理論。 9. 了解平版的分析方法 (如果上課來得及教完)。 參考書：1. 應力所彈性力學講義(置於iamechanics/iam300/彈力一/講義中) 2. Atkin and Fox, An Introduction to the Theory of Elasticity, Longman, 1980. 3. Timoshenko and Goodier, Theory of Elasticity, 2nd

36、Ed. 4. Sokolnikoff, Mathematical Theory of Elasticity. 5. Fung, Foundation of Solid Mechanics.9-1 位移法求解一般空間問題：15個未知數、15個方程。求解方法有：位移法、應變法、應力法，其中以位移法常用，因為它看起來只有三個未知數。一、 本構方程常用形式：， 二、位移表示的平衡方程：1一般形式，此表式完全等同于（9.1.3）（中文8-2）2.lame方程，這就是lame方程。3.形變和體變位移被分為有源（無旋，體變）、無源（有旋，形變）兩部分。體力為慣性力時：，這就是縱波和橫波的波動方程或振動方程4

37、.位移特點： a常體力問題體應變為調和函數：b普通位移為雙調和函數：對求導兩次即加算子，可得，各位移分量為雙調和函數。三、軸對稱問題（只講結論）：基本公式：；，物理方程：, or ，其中，兩個未知數，兩個方程。四、球對稱問題：（只講結論） 基本公式：，代入可得（9-1-7）式，一個未知數、一個方程，亦可（復雜）無體力時：，令代入，可求；有體力問題同學們不妨一試五、邊界條件 為了方便，依原樣，力是力，位移是位移。 9-2半空間受重力和均布荷載問題（詳見書，直角坐標系應用）思路：由于平面對稱性只有縱向位移w縱向平衡方程求得縱向位移（包含兩個未知數）頂面力邊界確定一個系數。底部邊界位移，確定另外一個

38、系數。注意概念：應力比，側壓力系數。注意h的含義，z大于h又如何？h無窮大又如何？真實情況1.定一個近似的底部邊界，2.題中條件不現實，假如真實這樣，我們可以把地球推走，自然w就無窮大，3.力系平衡，必須有一個位置提供反力，這個部位可以稱之為固壁，從而z只能比h小，也只有這樣問題才有意義。所以書中描述不準確。9-3空心球受均勻壓力問題（詳見書，球對稱問題應用）9-4位移函數、位移勢（略），但注意，前面既已推導出應變是雙調和函數或調和函數，此解法必然存在。9-5拉甫和伽遼金位移函數（略），軸對稱空間問題。9-6半空間受法向點荷載問題（boussinesq解）一、 問題描述：1. 基本特征：無體力

39、、軸對稱2. 坐標系選取，如書中圖所示3. 受力特征及力邊界條件臨空面非奇異點正應力和剪應力為零：無窮遠處應力為零：同一平面（任意）軸向應力的合力與頂部集中構成平衡力系：（注意：到底是加P還是減P？）4. 位移邊界條件：無窮遠處位移為零：二、 求解過程：復雜(略)三、 結果驗證：1. 平衡方程：2. 邊界條件：四、 討論：1. 水平面上任意一點的位移：2. 圣維南原理討論：正宗3. 水平截面應力討論：與彈性常數無關、合力指向集中荷載點4. 等效應力曲線：5. 彎沉儀五、 用途1. 地基計算理論的基本計算公式之一2. 同時可以用于地面分布荷載的計算（積分）9-7 半空間上矩形荷載作用計算原理：將

40、面荷載化成點荷載，然后利用已有的布希涅斯克解答疊加積分，變成一個純數學問題。即：集中荷載，詳見書應用：條形基礎的設計與分析。9-10 （中文8-4）應力解法，相容方程思路：1. 15個方程、15個未知數；2. 如果用應力求解，則需用六個方程、六個未知數；3. 平衡方程完全由應力構成，三個；4. 協調方程，由三個位移變量推出六個應變變量，多出三個5. 此三個實際上就是相容方程，也可以寫成六個，但獨立的仍然只有三個，6. 用應力表達后，它們可以與平衡方程構成一個求解體系。討論：1. 純應力邊界問題2. 位移邊界和混合邊界問題9-11等截面梁的純彎問題（略）chapter 10 等截面桿的扭轉問題1

41、0-1 位移和應力一、 問題描述：任意截面、無體力作用、僅力偶M作用，故可以認為是一個純剪問題。坐標系二、 邊界條件： 任意截面形狀均在側面存在相同的邊界條件：故必有 z方向邊界沒有縱向應力，故 橫截面力偶，歸結為相應剪應力作用，即，它們的作用結果即為力偶。三、 應力函數體力為零：，得直角坐標系下得平衡方程：，又是一種應力函數。比較平面問題應力函數相差一個長度單位 代入相容方程：，C為常數，一個方程，一個未知數。四、 應力函數表示的應力邊界條件，及邊界條件檢驗：1. 側面：，其中，ds取順時針為正。由于常數項不影響應力取值，故單聯域可以取此常數為零，多聯域則僅定義一個為零。2. 頂部（任意取一端，如頂端）：(解釋)XYMO，