1、第七八講:貝齊埃曲線與曲面 2010年 3月CAD/CAM技術基礎1/68上課內容一、引言(貝齊埃思想方法二、貝齊埃曲線的定義三、貝齊埃曲線的幾何性質四、貝齊埃曲線的幾何作圖法五、貝齊埃曲線的改進和使用六、貝齊埃曲線的合成七、貝齊埃曲面八、貝齊埃曲面的合成2/68實 質 :給 定 一 個 特 征 多 邊 形 頂 點 序 列 Vi i=0,1, n,與伯恩斯坦基函數J n,i (u線性 組合,便可得出一條光滑曲線。研究一種以 逼近 為基礎的構造曲線與曲面的方 法。將 函數逼近理論 同幾何表示緊密地聯系在 一起。UNISURF系統的基礎,1972年投入使用。一、引言3/684/68 貝齊埃(191

2、0200023歲進巴黎郊區的雷諾汽車廠 工作,從事刀具設計、零件生產線和數控鉆床、銑床 的組裝調試,他在50歲時開始研究幾何化的曲面構造 方法,獨自開拓了一條全新的道路, 用多邊形頂點來 定義自由曲線 。就像有些畫家在素描人像時先用折線 勾畫臉部和身材的大致輪廓,再逐步修正線條,貝齊 埃完全用折線來精確定義一條曲線。1982年3月,北航吳駿恒等航空工業部四人小組應貝 齊埃的邀請,在雷諾汽車廠參觀了5天,重點參觀 Unisurf,SurfAPT和RA3D三維機械設計軟件。 一、引言5/68 13次貝齊埃曲線一、引言001110( 1111V V p u u u u V V =r 1次的 Bezi

3、er 曲線:用兩點 V0,V1作直線的參數方程012V VV 220120212( (1 2(1 1001220121p u u V u u V u V V u u V V =+=r r rr r r r 2次的 Bezier 曲線:直接用三角形 ABC 三個頂點確定曲線形狀,挪動頂點 B 就可以改變曲線的豐滿度, 將 ABC 三頂點寫成更通用的 (2(16/68( na b +322301230231V =+=r r r rr r r r r 對比 (1(2,頂點前面的系數很像二項式定理 強調兩點一、引言第一,要求曲線和曲面 通過 所有給定的點 (三次樣條曲線、參數 樣條曲線、弗格森曲線、C

4、oons曲面 ,不能給設計者提供所需要 的 直觀感覺(尤其是用切矢和扭矢的方向和大小等信息去控制曲線 和曲面 。而貝齊埃方法、B樣條方法, 用曲線外和曲面外的點來定義曲線 和曲面 , 卻不通過所有給定的點,更不考慮切矢和扭矢 。這種方法能使使用者明顯地感覺到輸入與輸出之間的關系,使 他們能夠利用可控制的輸入參數來改變曲線與曲面的形狀,直到輸 出的結果與預期的形狀完全相符為止。8/68 二、貝齊埃曲線的定義(1實質一條貝齊埃曲線由兩個端點和若干個不在曲線上但 能夠決定曲線形狀的點來確定。給定一個特征多邊形頂點系列Vi i=0,1, n,與伯 恩斯坦基函數J n,i (u線性組合,便可得出一條光滑

5、 曲線。10/68 11/68特征多邊形:一般地,n次貝齊埃曲線由n+1個頂點構成的特征多邊形所確定。特征多邊形大致勾畫出了對應曲線的形狀二、貝齊埃曲線的定義(2貝齊埃曲線表達式貝齊埃曲線表達式 :由特征多邊形頂點的位置矢量與伯恩斯坦基函數線性組合得到: 31/68四、貝齊埃曲線的幾何作圖法 對于固定的 u0,1,可在特征多邊形的每條邊上找一分割點,將邊分成 比值 u:(1-u,對于 V i 和 V i+1為端點的第 i 條邊,分點 r i,1(u的位置矢量為 :新得到的 n 個點組成一個開的 n-1邊形。對這個新的多邊形重復上述操作,可得到一個 n-2邊形的 n 一 1個頂點 r i,2(u

6、(i=0, 1, . , n-2 。依次類推,連續作 n 次以后.即得到一點 r 0,n (u,它就是貝齊埃曲線 (1-121 上對應于參數 u 的點 r(u,且矢量 nr 0,n-1r 1,n-1即為曲線在該點的切矢量 。 u 在 0,1之間變動,就可得到一條貝齊埃曲線。四、貝齊埃曲線的幾何作圖法說明 :(1 從這一作圖法可以看出,只要特征多邊形象剛體 一樣在空間中運動,不管運動到哪個地方,所對應的 曲線也和多邊形一道運動而形狀不變。這就是說,曲 線的形狀由特征多邊形唯一決定,而與坐標系的選擇 無關。這就又一次證明了 貝齊埃曲線的幾何不變性 。(2當把特征多邊形頂點的順序全部顛倒過來,然后再

7、 以 1-u 為比例因子按上述方法作圖,顯然最后所得到 的將是同一個點 r0,n。這也又一次證明了 貝齊埃曲線 的對稱性 。32/68五、貝齊埃曲線的改進和使用簡答題:試簡述Bezier曲線的優點和缺點,并簡要指明針對 其缺點的解決辦法。優點:(1用曲線外的點,即特征多邊形來定義曲線,具有直觀性,特別 適合于設計 ;(2具有優良的逼近性質,次數越高,曲線越光滑 ;(3具有對稱性,凸包性、保凸性、幾何不變性、變差減小性質。缺點:(1當特征多邊形的頂點分布不均勻時,參數u在曲線上對應點的分 布也不均勻;(2貝齊埃曲線的形狀與定義它的特征多邊形相距甚遠,(3改變特征多邊形的一個頂點將影響整條曲線。3

8、3/68五、貝齊埃曲線的改進和使用缺點:(1當特征多邊形的頂點分布不均勻時,參數u在曲線上對應點的分 布也不均勻;(2貝齊埃曲線的形狀與定義它的特征多邊形相距甚遠,(3改變特征多邊形的一個頂點將影響整條曲線。第1個缺點:采用參數均勻化進行再參數化;第2個缺點:增加貝齊埃曲線次數;第3個缺點:采用B樣條曲線來解決。34/68五、貝齊埃曲線的改進和使用第1個缺點: 采用參數均勻化進行再參數化;35/68五、貝齊埃曲線的改進和使用第2個缺點: 增加貝齊埃曲線次數;36/68五、貝齊埃曲線的改進和使用在實際應用中的反推頂點問題:貝齊埃方法主要用于設計:根據給定的特征多邊形頂點Vi構造貝齊埃曲線。 也可

9、用于擬合:作為插值曲線用來擬合給定的數據點。問題:構造一條n次貝齊埃曲線,使其通過r 0為起點,以r n 為終點的n十1個已知點r 0、r 1、r 2、.、r n 。為此,需首先算出特征多邊形頂點vi. 通常可取參數u i 與已知點r j (j=0,1, ,n相對應,依此反推頂點V i 。當 型值點分布比較均勻時,可取u j =j/n;而當型值點分布不均勻時,則可取 累加弦長參數作為u j 的值,即令37/6838/68 五、貝齊埃曲線的改進和使用可用型值點作為頂點的初值,用迭代法由上述線性方程組解出 Vo 、 V l 、 、 V n 。然后即可取 V 0、 V 1, 、 V n 為特征多邊形

10、頂點,構造一條 n 次貝齊埃 曲線這條貝齊埃曲線必然通過原先給定的點 r 0、 r 1、 、 r n 。六、貝齊埃曲線的合成背景:例如,用10邊形來設計貝齊埃曲線,按照式(1-121, 需10次貝齊埃曲線。在幾何設計中,設計者往往難以用一條貝齊埃曲線來描 述復雜的形狀,因而有時采用分段逼近,然后將各段曲 線相互連接起來,在接合處保持一定的連續條件。連接 成的曲線從整體來看是一條光滑曲線。39/6840/68 復習 四、弗格森曲線 首先討論一般參數曲線段之間的連續性條件(2弗格森三次參數曲線段的 合成-條件:達到二階連續 位置連續: 斜率連續: 曲率連續:其中T是在接合點處公切線的單位矢量 作用

11、:保證接合處曲率相等的前提下使曲線設計者有更大的靈活性。 六、貝齊埃曲線的合成兩點說明:僅僅在平面曲線的情況下,才可能構造兩個端點處都具有指定 位置、切線方向和曲率的三次曲線段。對于高階的貝齊埃曲線,合成時可以有更多的自由度。 因此為 了保持較高階的連續性,可以采用增加曲線階數的做法,也就是增 加多邊形頂點的數量。 這種增加曲線段的階次而又保持曲線的形 狀不變以達到更好地控制曲線形狀的靈活性是貝齊埃方法的優點之 一。45/68七、貝齊埃曲面參照:采用張量積的方法來定義雙三次曲面 將構造貝齊埃曲線的方法推廣到曲面 46/68七、貝齊埃曲面已知:設在空間給出16個點,這些點的位置矢量用V i,j

12、表示(i,j=0,1,2,3。 寫出雙三次貝齊埃曲面片的形成過程,并寫出三次貝齊埃曲面片的具體表達式。 47/68七、貝齊埃曲面Step1:先用構建貝齊埃曲線的方法,得到以u為參數的三次貝齊埃曲線s 0、 s 1、s 2、s 3Step2:固定一個u值u *,在s 0、s 1、s 2、s 3得到相應的四個點s 0(u*、s 1 (u* 、s 2 (u* 、s 3 (u*。用這四個頂點定義了一條以w為參數的三次貝齊埃曲 線Q(wStep3:以Q(w為母線,在基線s 0、s 1、s 2、s 3上 滑動,當u *從0連續變化到1時 ,相當于形成了雙三次貝齊埃曲面48/6849/68 七、貝齊埃曲面 Step1:先用構建貝齊埃曲線的方法,得到