1、微積分B2復習要點題型1.填空題（3 X7=21分）；2.單項選擇題（3 X6=18分）;3.計算題（51分）;4.解答題（10分）知識點第七章向量代數與空間解析幾何空間曲面的方程（平面、球面、柱面、旋轉曲面）求球心為點 Mo（Xo，yo，Zo），半徑為R的球面方程平面直角坐標系中 x2Z24 的圖形是圓空間直角坐標系中 x2z24 的圖形是圓柱面XOZ面上 x2Z24 繞x軸旋轉一周后的旋轉體方程為第八章多元函數微分學1.二元函數的定義域;例1求函數z= J4- 4x2-y2的定義域D.解 要使z= J4- 4x2-y2有意義，應有 4- 4x2y2? 0,2即x2匕？1.故D=,y)x例2

2、求z= In(x-y)的定義域D.解 要使z= ln(x-y)有意義,應有x-y 0,故D=(x,y)|x-y 0.董x：y；?0，即 1 02.二元函數的極限的計算;221c(x,y)m(0,0)(x0例3求函數z=74-x2-y2+Jx2+y2- 1的疋義域D。解要使z= J4-x2-y2+有意義,應有故D=(x,y)1 0,3.多元函數偏導數計算;(1)一階偏導數的計算;(2)全微分的計算;f (x, y)的全微分為 dz dx dy X y(3)多元復合函數的偏導數的計算;概念：設 z f (u,v),u(x,y),v(x,y)，若 u (x,y),v處偏導數存在，而 z f (u,v

3、)在對應點(u,v)處可微，(4)隱函數的偏導數的計算;例：設 z z(x, y)是由方程 X y z ez確定的隱函數，試求 一,一X y(5)抽象函數求導z f(X,y),(X, y)在點(X, y)處可導，且zXzyzuzuXvzuzuyv已知 z 15 3u2由鏈式法則有z uz vu Xv X用同樣的方法，可得vXvy2+ z zv ,u X cos y, v y cosx , 求,X y26ucosy 2v ( ysinx) 6xcos y2y sin2x.-3x2sin2y 2ycos2x y概念：函數 z例求函數 z3x 5y 的全微分.解因為2z22xy 3,2x y 5 ,

4、y所以 dz2(2xy23)dx (2x y 5)dy .(X, y)在點(X, y)則復合函數例 求復合函數 z f(xy,y)的一階偏導數和上。x函數。6.可微、偏導、連續的關系；7.多元函數極值的計算。概念：設函數 z f(x,y)在點 Po(xo,yo)的某鄰域內有定義，若對于該鄰域內異于F0的點P x,y ,有 f(x, y) f(Xo,yo)(或 f(x,y) f (x。, y。)，則稱 f (x。，y。)為函數 f (x, y)的一個極大值(或極小值).第九章二重積分1.二重積分的計算(直角坐標,極坐標)；例(1)x 6yd，其中D由 y x, y 2x, x 1 所圍成解令u

5、xy,vy，則zxf(xy,Y)變為 z f(u,v)，uxxy, v y復合而成的復合xf_uu xv(4)x_uu y_Vv y練習：設 zf (2x y, ysinx), f 具有一階連續偏導數,44例；求函數z x yZx4x 2x解：解 J4y3 2x2而zxx12x2, zxyx22y2y2, Zyy12x222xy y的極值。00，得(x,y)210,Zxy(1,1), 0,022, Zyy12y210知(x,y)(1,1)為極小值點。且極小值為-2。D的部分，貝U D:1 x e, 0 y In x若先對y后對 x 積分，此時積分區域可表示為D:0 y 1, eyx e求xyd

6、 ,D是由直線 y x 3 與曲線 yD12-x21 所圍成(3)計算I xydxdy，其中D由曲線 xD畫出積分區域D的圖形.y2及 x265y 所圍成.所以(4)2.積分區域D的不等式組表示為2I-D : ywx 76 5y ,2 wyw 1,12dy6 5yy2114xydx 22y(6 5y y )dy1 3y25y323166y2742xy2dD:x2J(x2y2)5dD :1 x2交換積分次序;e交換二重積分dx1In xf (x, y)dy的積分次序。解：由二次積分的上、下限知積分D的圖形是O(4,-2)x y(1,1)5y 6 x2Ft14例(1)2dyy2f (x,y)dx因

7、此，我們可以交換積分次序e In X1dx0f(x,y)dy =1 e0dyeyf (x, y)dx1 x22odXof(X,y)dy+1dxo3.二重積分的性質與應用。第十章微分方程與差分方程1.微分方程的相關概念;2.一階線性微分方程的通解和特解的計算;方程空Pxy Qx dy稱為一階線性微分方程（注意其特點為它對于未知函數y及其導數 0 是一次方dy程）當 x 0 時，方程（1）為齊次的，當Q x不恒等于零時，方程為非齊次的.Pxy 0 dy稱為方程（1對應的齊次方程，它是可分離變量型程.它有兩種解法：常數變易法與公式法解法一（常數變易法）先求對應齊次方程的通解.f(x, y)dy例設D

8、由y 2,y x 0, y1所圍成，求平面圖形D的面積。x(1)p x dxy eQdxdx C例求方程dx2yx 1分析（常數變易法）這是P x&Qx512的一階非齊次線性方于是dx In x 12.二階常系數齊次線性微分方程的通解和特解的計算。二階常系數齊次線性微分方程求通解，特解2概念：若 Q* P(x)-dyQ(x)y 0dxdx中 P(x),Q(x)為常數，稱之為二階常系數齊次微分方程。解題步驟:(1)寫出微分方程對應的特征方程 r2pr q 0，并求解出特征根 入血(2)根據特征方程的兩個根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程的通解:In y用常數變易法，把c換成u,dyd

9、x代入所給非齊次方程，有dydxdyy即令2xny,dx,2ln x 1In c,12,2uC,解法二(公式法)直接由 yp x dxP x dxdxC 給出，其中p x dx特征方程 r2pr q 0 的兩個根”衛微分方程 ypy+qy=0 的通解兩個不相等的實根1,2yC1er1xC2er2x兩個相等的實根12y C1C2x erx一對共軛復根1,2iy exC1cos X+C2Sin x(3)將初始條件代入(2)中的通解中求解出通解中的 CSC2(4)將C1,C2代入到通解里去，得到題目要求的特解。例題：求微分方程 y 2y 3y 0 滿足初始條件y 0 02解：所給微分方程的特征方程為

10、r 2r其根r11,r2 3是兩個不相等的實根,從而 C11,C2所以，原微分方程的特解為 y exe3x解 對于求滿足初始條件的特解的這類方程，應先求出原方程的通解，然后再求特解:yS4的特解。因此所求通解為 y GeX C2ex(1)從而 yGexCC 3x3C2e將初始條件 y lx 00, ylx04 代入(1)、得：0 CiC2,4C13C2例題：求方程手22s 0滿足初始條件：st04.s2 的特解原方程對應的特征方程為：r22r 10.即(r 1)20A21. A,2為重根.s (GC2t)et再對的兩邊關于t求導晉tC2e(C1C2t)( 1)et(C2C1C2t)et(2)兩

11、端積分，得In I p = In (1 + x2)+ C，P二y二C1(1+ x2) (C1= ? eC)0類型2: y f (y, y )4代入(1)的c14把st 0C12代入得，c2s (4 2t)et為所求.例題：求微分方程：y2y5y 0 通解.解所給方程的特征方程為:2r2r50,r1,2十 1 2i 為-對共軛復根. y ex(GC0s2x c2sin 2x).(這里1,2)3.可降階的二階微分方程的通解與特解的計算類型1: y f(x, y )令 y P,則 y P，于是可將其化成一階微分方程。特點含有 y,y,x，不含y。例 求微分方程(1+ x2)y = 2xy 滿足初始條

12、件y|x=o= 1, y0= 3的特解。x= 0解 所給方程是 y二f(x,y)型的。設 y= P，代入方程并分離變量后，有dp _ 2x2dx0p 1+ x又由條件yx=0=3，得 C2= 1，于是所求得特解為y = x3+3x + 10令 y P,則dp dydp- p dy dxdy于是可將其化為一階微分方程。特點不顯含 x。所以方程滿足初始條件的特解為第十一章無窮級數1.級數的性質;2.會判斷級數（正項級數；交錯級數；任意項級數）的斂散性3.幕級數的收斂半徑、收斂區間的計算;4.函數展開成幕級數。5.常見級數的斂散性（幾何級數、P級數、調和級數等）例 （1）判斷下列級數的斂散性:3n解

13、微分方程 y 2y3滿足初始條件y1的特解。令y p(y)，將 ypdp代入原方程中得pdP2y3分離變量并積分得4yC1由初始條件y0,所以(因y0,所以取正號），即乎y2dx分離變量并積分得xC2再由初始條件yx 21，得C213n(4n)nn 1Vn Vn1n 1n2nn 1(n 1)!特點不顯含 x。n（2）討論級數（1）nA，（ 1）（P 0）是絕對收斂還是條件收斂n1vnn 1np1（3）將函數f（x）在x 5處展開，并指明其收斂域x 5x 4冪級數n1佶 Xn的收斂區間請老師將“高數競賽的試場”通知到相關學生，具體誰通知哪些學生，請見附件，大家看了 附件就明白了，若不明白就call戴紹虞。注意：不上高數、微積分的課程的老師也有部分要負責通知學生。請務必通知到