1、動態認知條件句邏輯DEC2李小五(中山大學邏輯與認知研究所，中山大學哲學系，廣東 廣州 510275)摘要：首先，我們構造動態認知條件句系統DEC2，給出它的一些證明論結果。其次，我們引入有序鄰域語義，給出描述DEC2的特征公理的框架條件，證明DEC2相對這些框架條件是框架可靠的。最后，我們證明DEC2相對這些框架條件也是框架完全的。關鍵詞：動態認知條件句系統；有序鄰域語義；框架可靠性；框架完全性中國分類號: B81 文獻標識碼: A主體的一個動態認知全過程至少有4個要素：認知目的、背景知識、認知活動和認知結果。主體根據它的認知目的和背景知識，通過認知活動，最后達到認知結果。本文我們用一種4元

2、條件句ABaC來描述這個過程。在這樣的條件句，A表示主體的認知目的，B表示它的背景知識，a表示它的認知活動，C表示由此產生的認知結果。因此ABaC的直觀意義是“主體根據它的認知目的A和背景知識B通過認知活動a能得到認知結果C（能認知C）”。所以ABaC應該是模態公式。我們在參考文獻1已經建立動態認知邏輯DEC1，本文我們提出另一個動態認知邏輯DEC2。較之DEC1，DEC2有一些部分與之相同，也有一些部分不同。順便指出，我們在1的定義3.9（b）的N(a, w)表述有誤，應該更正為：N(a, w)<|A|, Y, Z>：存在ABaCÎw使得YÍ|B|且|C|&#

3、205;Z。1 形式系統及其證明論定義1.1形成規則（1）我們總用a和b（加或不加下標）表示認知活動，其形成規則如下：p½a;b½aÅb½aÄb。（2）所有活動的集合記為Action。（3）這里我們規定：aÅaa，aÄaa。（4）我們總用A, B, C和D（加或不加下標）表示公式，其形成規則如下：p½ØA½(AÙB)½(ABaC)。（5）所有公式的集合記為Form。Form也稱為認知過程語言。（6）ABaC稱為有三個前件的條件句，其中A, B和a分別稱為ABaC的第一前件，第

4、二前件和第三前件。說明：（2）中的p表示原子認知活動。a;b表示認知活動a和b的復合(composition)：先進行a再進行b。aÅb表示認知活動a和b的選擇(choice)：任選a或b 中一個活動進行。aÄb表示認知活動a和b的并行(parallelism)：同時進行活動a和b。（1）聯結符Ú，®和«定義如通常。（2）為了敘述方便，我們規定任一公式最外面的一對括號省略，且規定聯結符的結合力從左到右依次減弱：Ø，Ù，Ú，®，«。（3）若有必要，我們也用圓點“·”隔開ABaC的三個前件

5、。例如，(ABa1C1)Ù(ABa2C2)®AB· a1Äa2C1ÙC2，(A1BaC)Ù(A2BaC)®A1ÚA2·BaC，且(AB· a1;a2C)Ù(ABa1D)®A·BÙD· a2C分別表示(ABa1C1)Ù(ABa2C2)®AB(a1Äa2)C1ÙC2，(A1BaC)Ù(A2BaC)®(A1ÚA2)BaC， 且(AB(a1;a2)C)Ù(ABa1D)

6、4;A(BÙD)a2C。（4）和T分別表示某個固定的常假式和常真式。（5）我們常用符號Û表示“當且僅當”，用Þ表示“若，則”。動態認知條件句系統DEC2定義如下：公理（模式）： （TA） 所有重言式的代入特例，（CC） (ABa1C1)Ù(ABa2C2)®AB· a1Äa2C1ÙC2，（AD） (A1BaC)Ù(A2BaC)®A1ÚA2·BaC，（ACH） AB· a1Åa2C«(ABa1C)Ú(ABa2C)，（AW） AB·

7、 a1Åa2C®AB· a1Äa2C，（ACO1） (AB· a1;a2C)Ù(ABa1D)®A·BÙD· a2C，（ACO2） (ABa1D)Ù(A·BÙD· a2C)®AB· a1;a2C。推理規則：（MP） A, A®CC，（RAE） A0«AA0BaC«ABaC，（RBE） B0«BAB0aC«ABaC，（RCE） C0«CABaC0«ABaC。說明：（1）由

8、TA和MP構成的系統稱為經典句子系統，記為PC。我們也用PC0表示用不含的語言表述的PC。（2）CC稱為結果合取公理。CC的直觀意義是：若某個主體根據它的認知目的A和背景知識B分別通過認知活動a1和a2能認知C1和C2，則它根據A和B通過并行認知活動a1Äa2能認知C1ÙC2。這個公理的合理性建立在認知活動a1和a2在并行時不會互相干擾的前提下。（3）AD稱為目的析取公理。（4）ACH稱為活動選擇公理。（5）AW稱為弱化公理。（6）ACO1和ACO2稱為活動復合公理。ACO1的直觀意義是：若某個主體根據它的認知目的A和背景知識B通過復合認知活動a1;a2能認知C，又通過第一

9、個認知活動a1能認知中間結果D，則把D加入它的背景知識后，主體通過第二個認知活動a2能認知C。這個公理刻畫了某種知識增長的過程。ACO2的直觀意義是：若主體根據它的認知目的A和背景知識B通過第一個認知活動a1能認知中間結果D，又把D加入它的背景知識后，主體通過第二個認知活動a2能認知C，則該主體根據A和原來的背景知識B通過復合認知活動a1;a2能認知C。這個公理刻畫了某種認知活動連續的過程。這兩個公理我們感到比較有趣。（7）RAE稱為認知目的等價置換規則。（8）RBE稱為背景知識等價置換規則。（9）RCE稱為認知結果等價置換規則。（10）上述除TA以外的公理都稱為DEC2的特征公理。這樣稱謂是

10、因為我們在后面將看到，需要一定的語義條件才能保證這樣的公理有效。定義1.4（1）我們用 A表示A是DEC2的內定理：A在DEC2中有一個形式證明。（2）DEC2的全體內定理的集合記為Th(DEC2)。（3）我們也用 A表示AÏTh(DEC2)。引理1.5下面是DEC2的內定理：（1）(ABa1C)Ù(ABa2C)®AB· a1Äa2C，（2）(ABaC1)Ù(ABaC2)®ABaC1ÙC2，（3）(ABa1C)Ú (ABa2C)®AB(a1Äa2)C。證明：我們只給出證明的主要步驟和主

11、要根據。請讀者自行補充細節。（1）據CC和RCE。（2）據CC和定義1.1（3）。（3）據ACH和AW。下面我們研究DEC2與PC0的關系。我們要證明前者是后者的協調概括，或者說前者可以協調地退化為后者。定義1.6 （1）定義從語言Form到不含的子語言Form0ÍForm的翻譯映射t如下：t(p)p，對所有句符p；t(ØA)Øt(A)；t(AÙB)t(A)Ùt(B)；t(ABaC)t(C)。（2）對每一公式AÎForm，我們稱t(A)是A的t-翻譯。說明：據上面的定義，易證t(AÚB)t(A)Ú t(B)，t(A

12、®B)t(A)®t(B)，t(A«B)t(A)«t(B)。定義1.7令S和T是任意兩個公理化系統。我們稱S能t-退化為T，當且僅當S的所有內定理都能t-翻譯為T的內定理。定理1.8DEC2能t-退化為PC0。證明：據上一定義，證明顯然。定義1.9稱公理化系統S是協調系統，當且僅當不存在A使得A和ØA都是S的內定理。定理1.10DEC2是協調的。證明：假設DEC2不協調，則存在A使得A和ØA都是DEC2的內定理。據上面的定理，t(A)和Øt(A)都是PC0的內定理，矛盾于PC0的協調性。2 有序鄰域語義和可靠性定理任給集合X，

13、我們總用P(X)表示X的冪集。（1）稱二元組FáW, N ñ是有序鄰域框架，簡稱F是ON-框架，當且僅當W是非空的可能世界集，鄰域映射N是從Action×W到P(P(W)×P(W)×P(W)中的映射。（2）稱三元組MáW, N, ñ是有序鄰域模型，簡稱M是ON-模型，當且僅當áW, N ñ是ON-框架且 是從全體句符到P(W)的指派映射。（3） 也稱為框架áW, Nñ上的指派映射。定義2.2真值集定義令MáW, N, ñ是ON-模型。對每一復合公式A，定義A相對M的

14、真值集A如下：對任意wÎW, aÎAction和公式A, B和C，（1）wÎØA Û wÏA，（2）wÎAÙB Û wÎA且wÎB，（3）wÎABaC Û <A, B, C>ÎN(a, w)。說明：基于框架定義的模型和定義復合公式的真值集，兩者合在一起稱為語義，因為由此我們可以在任何一個模型的任意可能世界中給任何一個公式賦予一個意義（真值）。上面給出的語義稱為有序鄰域語義。（1）稱ON-框架FáW, Nñ是動態認知條件句框架

15、，簡稱F是dec2-框架，當且僅當下列框架條件成立：對任意wÎW和a, a1, a2ÎAction和X, Y, Z, U, Z1, Z2, X1, X2ÍW，(cc) <X, Y, Z1>ÎN(a1, w)且<X, Y, Z2>ÎN(a2, w) Þ <X, Y, Z1ÇZ2>ÎN(a1Äa2, w)，(ad) <X1, Y, Z>ÎN(a, w)且<X2, Y, Z>ÎN(a, w) Þ <X1ÈX

16、2, Y, Z>ÎN(a, w)，(ach) N(a1Åa2, w)N(a1, w)ÈN(a2, w)，(aw) N(a1Åa2, w)ÍN(a1Äa2, w)，(aco1) <X, Y, Z>ÎN(a1;a2, w)且<X, Y, U>ÎN(a1, w) Þ <X, YÇU, Z>ÎN(a2, w)，(aco2) <X, Y, U>ÎN(a1, w)且<X, YÇU, Z>ÎN(a2, w

17、) Þ <X, Y, Z>ÎN(a1;a2, w)。（2）所有的dec2-框架的類記作Frame(dec2)。定義2.4有效性定義令FáW, Nñ是ON-框架，MáW, N, ñ是ON-模型。（1）稱A在M中有效，記為M A，當且僅當AW；否則稱A在M中不有效，記為M A 。（2）稱A在F中有效，記為F A，當且僅當，對F上的任意指派映射 ，有AW；否則稱A在F中不有效，記為F A 。（3）稱規則A1, AnC相對M保持有效性，當且僅當，若A1AnW，則CW 。引理2.5令MáW, N, ñ是ON-模型

18、。則（1）ØAWA，AÙBAÇB，AÚBAÈB，Æ， T W。（2）AÇA®BÍB。（3）A®BW Û AÍB。（4）A«BW Û AB。定義（1）稱系統S相對框架類C是框架可靠系統，當且僅當，S的內定理在C的所有框架中有效。（2）稱系統S相對框架類C是框架完全系統，當且僅當，在C的所有框架中有效的公式是S的內定理。定理框架可靠性定理DEC2相對框架類Frame(dec2)是可靠的。證明：任給dec2-框架F<W, N>和F上賦值 。下面驗證D

19、EC2的公理相對M<F, >有效且DEC2的推理規則相對M保持有效性。驗證公理TA和規則MP：顯然。驗證公理CC：任給wÎ(ABa1C1)Ù(ABa2C2)。據真值集定義2.2（2）（3），有<A, B, C1>ÎN(a1, w)，<A, B, C2>ÎN(a2, w)。據定義的(cc)，我們有<A, B, C1ÇC2>ÎN(a1Äa2, w)。據引理，我們有<A, B, C1ÙC2>ÎN(a1Äa2, w)。所以我們有wÎA

20、B· a1Äa2C1ÙC2。所以據2.5（3），我們有wÎ(ABa1C1)Ù(ABa2C2)®AB· a1Äa2C1ÙC2。驗證公理AD：任給wÎ(A1BaC)Ù(A2BaC)。則<A1, B, C>ÎN(a, w)，<A2, B, C>ÎN(a, w)。據定義的(ad)，我們有<A1ÈA2, B, C>ÎN(a, w)。據引理，我們有<A1ÚA2, B, C>ÎN(a, w)。

21、所以我們有wÎA1ÚA2·BaC。驗證公理ACH：任給wÎW，我們有wÎAB· a1Åa2CÛ <A, B, C>ÎN(a1Åa2, w)。Û <A, B, C>ÎN(a1, w)ÈN(a2, w) 據定義的(ach)Û wÎ(ABa1C)Ú(ABa2C)。驗證公理AW：任給wÎAB· a1Åa2C。則<A, B, C>ÎN(a1Åa2, w)。據定義

22、的(aw)，我們有<A, B, C>ÎN(a1Äa2, w)。所以我們有wÎAB· a1Äa2C。驗證公理ACO1：任給wÎ(AB· a1;a2C)Ù(ABa1D)。則< A, B, C>ÎN(a1;a2, w)，< A, B, D>ÎN(a1, w)。 據定義的(aco1)，我們有< A, BÇD, C>ÎN(a2, w)。據引理，我們有< A, BÙD, C>ÎN(a2, w)。所以我們有w&

23、#206;A·BÙD· a2C。驗證公理ACO2：任給wÎ(ABa1D)Ù(A·BÙD· a2C)。則（%）< A, B, D>ÎN(a1, w)，< A, BÙD, C>ÎN(a2, w)。 據（%）的后者和引理，我們有< A, BÇD, C>ÎN(a2, w)。再據（%）的前者和定義的(aco2)，我們有< A, B, C>ÎN(a1;a2, w)。所以我們有wÎ AB· a1;a2C

24、。驗證規則RAE：設A0«AW。據2.5，有（）A0A。任給wÎW，我們有wÎA0BaC Û <A0, B, C>ÎN(a, w) Û <A, B, C>ÎN(a, w) 據（）Û wÎABaC 據真值集定義2.2。因此據w的任意性，有A0BaCABaC，據2.5，我們有A0BaC«ABaCW。同理可驗證規則RBE和RCE。3 完全性定理令w是公式集。（1）稱w是一致集，當且僅當對所有有窮序列A1, AnÎw，有 Ø(A1ÙÙAn)

25、。（2）稱w是極大集，當且僅當對所有AÎForm，AÎw或ØAÎw。（3）稱w是極大一致集，當且僅當w既是一致的又是極大的。（4）稱DEC2是一致系統，當且僅當Th(DEC2)是一致的。DEC2是一致的。證明：假設DEC2不一致。則Th(DEC2)不一致，所以存在A1, AnÎTh(DEC2)使得 Ø(A1ÙÙAn)。另一方面，因為A1, AnÎTh(DEC2)，所以易證 A1ÙÙAn。據定義1.9，DEC2不協調，矛盾于定理1.10。因為DEC2是PC的擴充，所以如通常證明，我們有下

26、列結果。令w是極大一致集。（1）ØAÎw Û AÏw，AÙBÎw Û AÎw且BÎw，AÚBÎw Û AÎw或BÎw，AÎw且 A®B Þ BÎw，AÎw且A®BÎw Þ BÎw。（2）Th(DEC2)Íw。（3）若 A，則存在極大一致集u使得AÏu。定義 |A|w：w是極大一致集使得AÎw。引理3.5（1）|ØA|W|A|，其

27、中W是所有極大一致集的集合，|AÙB|A|Ç|B|，|AÚB|A|È|B|，| |Æ，| T |W。（2）|A|Ç|A®B|Í|B|。（3）|A®B|W Û |A|Í|B| Û A®B。（4）|A«B|W Û |A|B| Û A«B。證明：據上一引理易證。定義3.6（1）定義DEC2的典范框架N<W, N>如下：Ww：w是極大一致集，N是從Action×W到P(P(W)×P(W)×P(

28、W)中的映射使得<|A|, |B|, |C|>ÎN(a, w) Û ABaCÎw，對任意wÎW, aÎAction和公式A, B和C。（2）定義DEC2的典范模型M<W, N, >如下：<W, N>是DEC2的典范框架，且p|p| ，對每一句符p。說明：據引理3.2，DEC2是一致的，所以W非空。定理3.7典范模型基本定理令M<W, N, >是如上定義的DEC2的典范模型。（1）DÎw Û wÎD，對每一wÎW和公式D。（2）| D|D，對每一公式D。證明：

29、（2）從（1）易得。所以我們只須證（1）。施歸納于D的結構。句符的情況據上一定義的。布爾聯結符Ø和Ù的情況如通常所證。令DABaC。所以wÎD Û wÎABaC Û <A, B, C>ÎN(a, w) 據2.2的（3）Û <|A|, |B|, |C|>ÎN(a, w) 據歸納假設Û ABaCÎw 據上一定義的Û DÎw。定理3.8 令M是DEC2的典范模型。則對每一公式A，我們有M A Û A。證明： A Û |A|W 據

30、（2）（3）Û AW 據上一定理Û M A 。（1）定義DEC2的適當結構(proper structure) M<W, N, >如下。（a）Ww：w是極大一致集；（b）N(a, w)<|A|, |B|, |C|>：存在ABaCÎw，對所有aÎAction和wÎW； （c）p|p|，對每一句符p。（2）F<W, N>稱為DEC2的適當框架。引理3.10 令M<W, N, >是DEC2的適當結構。則M是DEC2的典范模型。證明：據定義3.6，只須證：對任意aÎAction, wÎ

31、W和公式A, B和C，（1）<|A|, |B|, |C|>ÎN(a, w) Û ABaCÎw。“Ü”：設ABaCÎw。據N(a, w)的構造，有<|A|, |B|, |C|>ÎN(a, w)。“Þ”：設<|A|, |B|, |C|>ÎN(a, w)。因為等價類的代表元不是惟一的，所以據N(a, w)的構造，（2）存在A0B0aC0Îw使得|A0|A|, |B0|B|且|C0|C|。因為|A0|A|, |B0|B|且|C0|C|，所以據引理3.5，有 A0«A，

32、 B0«B， C0«C。 據 A0«A和RAE，有 A0B0aC0«AB0aC0。再據 B0«B和RBE，有 A0B0aC0«ABaC0。再據 C0«C 和RCE，有 A0B0aC0«ABaC。因為A0B0aC0Îw，所以ABaCÎw。引理3.11DEC2的適當框架F是dec2-框架。證明： 下面我們來驗證F滿足定義2.3給出的框架條件。驗證(cc)。設<X, Y, Z1>ÎN(a1, w)且<X, Y, Z2>ÎN(a2, w)。則（1）存在A1B1

33、a1C1Îw使得|A1|X, |B1|Y且|C1|Z1，且（2）存在A2B2a2C2Îw使得|A2|X, |B2|Y且|C2|Z2。因為|A1|A2|且|B1|B2|，所以 A1«A2， B1«B2，因此據（1）的A1B1a1C1Îw和RAE以及RBE，有A2B2a1C1Îw。再據（2）的A2B2a2C2Îw和公理CC，易得（3）存在A2B2· a1Äa2C1ÙC2Îw使得|A2|X, |B2|Y且|C1ÙC2|Z1ÇZ2。所以<X, Y, Z1ÇZ

34、2>ÎN(a, w)。驗證(ad)。設<X1, Y, Z>ÎN(a, w)且<X2, Y, Z>ÎN(a, w)。則（1）存在A1B1aC1Îw使得|A1|X1, |B1|Y且|C1|Z，且（2）存在A2B2aC2Îw使得|A2|X2, |B2|Y且|C2|Z。因為|B1|B2|和|C1|C2|，所以（1）的A1B1aC1Îw和RBE以及RCE，有A1B2aC2Îw。所以據（2）的A2B2aC2Îw和公理AD，易得（4）存在A1ÚA2·B2aC2Îw使得|

35、A1ÚA2|X1ÈX2, |B2|Y且|C2|Z。所以<X1ÈX2, Y, Z>ÎN(a, w)。驗證(ach)。任給X, Y, ZÍW，易見下面命題等價：（1）<X, Y, Z>ÎN(a1Åa2, w)。（2）存在AB· a1Åa2CÎw使得|A|X, |B|Y且|C|Z。（3）存在(ABa1C)Ú (ABa2C)Îw使得|A|X, |B|Y且|C|Z。（據公理ACH）（4）存在ABa1CÎw使得|A|X, |B|Y且|C|Z，或存在ABa

36、2CÎw使得|A|X, |B|Y且|C|Z。（5）<X, Y, Z>ÎN(a1, w)，或<X, Y, Z>ÎN(a2, w)。（6）<X, Y, Z>ÎN(a1, w)ÈN(a2, w)。因此我們有N(a1Åa2, w)N(a1, w)ÈN(a2, w)。驗證(aw)。設<X, Y, Z>ÎN(a1Åa2, w)。則（1）存在AB· a1Åa2CÎw使得|A|X, |B|Y且|C|Z。再據公理AW，易得（2）存在AB·

37、; a1Äa2CÎw使得|A|X, |B|Y且|C|Z。所以<X, Y, Z>ÎN(a1Äa2, w)。驗證(aco1)。設<X, Y, Z>ÎN(a1;a2, w)且<X, Y, U>ÎN(a1, w)。則（1）存在A1B1· a1;a2C1Îw使得|A1|X, |B1|Y且|C1|Z，且（2）存在A2B2a1C2Îw使得|A2|X, |B2|Y且|C2|U。因為|A1|A2|且|B1|B2|，所以據（1）的A1B1· a1;a2C1Îw和RAE以及RBE，有A2B2· a1;a2C1Îw。再據（2）的A2B2a1C2Îw和公理ACO1，易得（3）存在A2·B2ÙC2· a2C1Îw使得|A2|X, |B2ÙC2|YÇU且|C1|Z。所以<X, YÇU, Z>ÎN(a2, w)。驗證(aco2)。設<X, Y, U>ÎN(a1, w)且<X, YÇU