1、第二章向量組的線性相關性§2-1 §2-2 維向量,線性相關與線性無關(一一、填空題1.設, 其中, 則. 則線性組合.3.設矩陣,設為矩陣的第個列向量, 則.二、試確定下列向量組的線性相關性 1.解:設則即 ,線性無關。 2.線性相關 三、設有向量組,問取何值時該向量組線性相關。解:設則即 所以, 線性相關; , 線性無關 四、設線性無關,線性相關,求向量用線性表示的表示式。解:因為線性相關,所以存在不全為零的, 使得即+b=.又 因為線性無關,所以+,于是, b=.五、已知向量組,令 ,求證向量組線性相關。解:因為,所以,向量組線性相關。§2-2線性相關與線性

2、無關(二一、設線性相關,線性相關,問是否一定線性相關?并舉例說明之。 解:取,. 線性相關。 取,. 線性無關。二、舉例說明下列各命題是錯誤的:1.若向量組是線性相關的,則可由線性表示。解:取.2.若有不全為0的數,使 成立,則是線性相關,是線性相關. 解:取,.3.若只有當全為0時,等式 才能成立,則是線性無關,是線性無關。 解:取,.4.若是線性相關,是線性相關,則 有不全為0的數,使 同時成立。 解:取,.三、設向量組線性相關,且,證明存在某個向量,使能由線性表示。證明:因為向量組線性相關,所以存在不全為零的, ,使得。設,中 最后一個不為零的數是,即,又 因為,所以,。即有,使得 ,于

3、是, ,命題得證。四、已知,證明:(1能由線性表示。(2不能由線性表示。 證明:(1因為,所以線性無關,由定 理1知也線性無關;又因為,所以, 線性相關,由定理3得能由線性表示。 (2反證法。假設能由線性表示。再利用(1的結果,可推出能由線性表示,由定理2得線性相關,與矛盾。所以,不能由線性表示。 五、設,且向量線性無關,證明向量組線性無關。 證明:設,則 而向量線性無關,所以, 所以,向量組線性無關。§2-3 極大無關組(一一、證明n階單位矩陣的秩為n.證明:n階單位矩陣的列向量組為 , 設, 則 所以,線性無關,秩為n,則n階單位矩陣的秩為n. 二、設矩陣其中 則.證明:設矩陣的

4、列向量組為 設, 則 所以,線性無關,秩為n,則.三、求下列向量組的秩 1.R=3 2. 解:A=(= 所以,R (=2, 為極大無關組。 四、設是一組維向量,已知維單位坐標向量 能由它們線性表示,證明線性無關。證明:因為維單位坐標向量能由線性表 示,所以,而 ,所以, 于是,線性無關。五、設是一組維向量,證明它們線性無關的充分 必要條件是:任一維向量都可由它們線性表示。證明:充分性:如果任一維向量都可由線性表示, 則維單位坐標向量能由線性表示,利用 上一題的結果,線性無關。必要性:如果線性無關,對于任一維向量. 如果,則,所以,向量能由 線性表示。 如果,則這n+1個n維向量線性相關,而線性

5、無關,由定理3得向量能由 線性表示。 (另證:如果線性無關,而的維數是n,所以 為的一組基,所以中的一維向量都可由它們線 性表示。§2-3 極大無關組(二一、設為同階矩陣,求證 。證明:設A的列向量組為,極大無關組為 ;B的列向量組為,極大無關組 為. 則A+B的列向量組為能由(A,B的列向量組線性表示, 所以,. 又(A,B的列向量組能由 線性表示,所以,. 二、設向量組能由向量組線性表示 其中為矩陣,且線性無關。證明線性無關的充分必要條件是矩陣的秩為.證明:必要性. 已知線性無關. 則, 設矩陣矩陣,則B=AK,所以,r=,得. 充分性. 已知,則K的列向量組線性無關。設 線性無

6、關。三、設證明:向量組與向量組等價。證明:因為所以,向量組可以由向量組線性表示。把各式相加后得 可得所以,向量組可以由向量組線性表示。由上,向量組與向量組等價。四、已知3階矩陣與3維列向量滿足,且向 量組線性無關,記,求3階矩陣使 . 解:設, A 由向量組線性無關得.§2-4§2-5 向量空間,內積與標準正交基一、設, , ,問是不是向量空間,為什么?答:是,不是,是 二、驗證:為的 一個基, 并把用這個基線性表示.解:(= 所以， . 三、 證明 中不存在 n+1 個線性無關的向量，從而 中不存 在 n+1 個兩兩正交的非零向量。 證明：因為 向量。 又因為兩兩正交的非零向量必是線性無關的，所以， 不存在 n+1 個兩兩正交的非零向量。 中 的維數是 n，所以 中不存在 n+1 個線性無關的 四、 把下列向量組規范正交化 解： ; ; ; 所以， . 六、證明下列各題 (1 為