1、分類討論思想在初中數學解題中的應用李煥煥（合肥市永和學校）摘 要：在解數學問題時，應用分類討論思想，通過正確分類，可以使復雜的問題 得到清晰，完整，嚴密的解答.關鍵詞：分類討論思想；初中數學；正確分類；解題；應用Abstract： In solutions mathematics problem Shi, application classification discussion thought, through correctly classification, can makes complex of problem get clear, full, closely of answers.

2、引言：數學思想方法是人們對數學理論和內容的本質認識，是數學的精髓和靈魂，因此 在數學教學中注重數學思想方法的滲透是極其重要的。初中數學中常見的思想方法 有函數與方程的思想方法，化歸轉化與化歸的思想方法，分類討論的思想方法，數 形結合的思想方法，整體的思想方法等。、分類討論思想1 .含義及意義在研究和解答某些數學問題時，會遇到許多種不同的情況，有些問題無法用同 一種形式解決，有些問題的結論不是唯一確定的。因此，我們需要把所要研究的問 題根據題目的特點和要求，選定一個標準，將其劃分成幾個能用不同形式解決的小 問題，然后再將這些小問題一一解決，最后綜合各類結果得到整個問題的答案。這 就是我們常說的分

3、類討論法，而運用這種方法的思想就是分類討論思想。分類討論思想，是一種重要的數學思想，也是一種邏輯方法，同時乂是一種重 要的解題策略.分類討論思想具有較高的邏輯性及很強的綜合性，有利于提高學生 對學習數學的興趣，培養學生思維的條理性，縝密性，科學性，所以在數學解題中 占有重要的位置.2 .分類討論的要求、原則及其意義分類討論的要求：正確應用分類討論思想，是完整解題的基礎.應用分類討論 思想解決問題，必須保證分類科學，統一，不重復，不遺漏，在此基礎上減少分類，簡化分類討論過程. 為了分類的正確性，分類討論必需遵循一定的原則進行，在 初中階段，我們經常用到的有以下四大原則：（1）同一性原則 分類應按

4、照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不 同的分類根據.（2）互斥性原則分類后的每個子項應當互不相容，即做到各個子項相互排 斥，分類后不能有些元素既屬于這個子項，又屬于另一個子項.（3）相稱性原則 分類應當相稱，即劃分后子項外延的總和（并集），應當與 母項的外延相等.（4）層次性原則分類有一次分類和多次分類之分，一次分類是對被討論對象 只分類一次；多次分類是把分類后的所有的子項作為母項，再次進行分類，直到滿 足需要為止.分類討論的意義：在解決數學問題時，對于因為存在一些不確定因素 無法解答或者結論不能給予統一表述的數學問題，我們往往將問題按某個標準劃分 為若干類或若干個局部問題來解決，通過

5、正確的分類，能夠克服思維的片面性，可 以使復雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答。3 .優勢及劣勢運用分類討論思想解題的優勢是可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，便 于解答；恰當的分類討論可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，養成周 密嚴謹的數學教養。運用分類討論思想解題的劣勢是容易將一些問題的解答變得繁瑣，耗費大量的 時間；容易形成一種思維定勢，不易于培養創新、有效的解題能力。二、運用分類討論思想解題正確運用分類討論思想，是完整解題的基礎。但運用分類討論思想解決問題， 必須遵循一定的原則，明確如何進行分類，知道引起分類討論的原因，明白解題的 一般步驟，才能保證解答的正確性。運用分類討論

6、思想解題的原則主要體現在如何進行分類上。在對分類對象進行 劃分時，我們應該遵循以下四個原則：劃分應是相稱的，劃分后子項的總和應與母 項相等；劃分標準統一，對分類的對象應按照統一標準進行劃分，不能同時用幾種 依據去劃分；劃分的子項必須相互排斥，進行分類后，有些元素不能既屬于這個子 頂，又屬于另一個子項；劃分不能越級，要按層次一級一級進行分類。運用分類討論思想解題，必須明白解題的一般步驟。首先，明確是否需要分類； 然后確定分類討論的對象；接著，進行合理的分類；逐步逐級分類討論，得到階段 性成果；最后，歸納總結，綜合得出結論。3分類討論思想在初中數學解題中的具體應用1 .分類討論思想在運用數學概念、

7、定義題中的應用有些數學定義、數學概念是分類給出的，如絕對值、圓錐曲線標準方程的概念 等。例1、若14 = 2016州=2,求+力的值。分析：這道題考查學生對絕對值定義的掌握、運用情況。由于絕對值的定義是 分類給出的，所以a, b分別有兩個值，這個時候，求a+b的值就需要進行分類討論。解：因為回= 2016州=2所以a = ±2016,。= ±2當a = 2016,b = 2時，+ = 2018：當 =2016,0 = _2 時，a+b = 2014.當 a = _2016,Z? = _2 時，t/+Z? = -2018.當 a = -2016,0 = 2 時，a+0 = 2

8、014.2 .分類討論思想在運算性質、運算要求限制下的應用在解題過程中，往往將式子變形或轉化為另外一個式子來進行解題和運算，很多變形和運算是受條件限制的。例2、已知甲數的絕對值是乙數絕對值的3倍，且在數軸上表示這兩數的點位于原點 的吧側，兩點之間的距離為8,求這兩個數；若數軸上表示這兩數的點位于原點同側 呢3分析：從題目中尋找關鍵的解題信息，”數軸上表示這兩數的點位于原點的兩側” 意味著甲乙兩數符號相反，即一正一負。那么究竟誰是正數誰是負數，我們應該用 分類討論的數學思想解決這一問題。解：設甲數為X,乙數為y由題意得：，(1)數軸上表示這兩數的點位于原點兩側：若x在原點左側,y在原點右側，即x

9、<0, y>0,則4y=8 ,所以y=2 ,x= -6若x在原點右側,y在原點左側,即 若0,若0,則-4y=8 ,所以y=2,x=6(2數軸上表示這兩數的點位于原點同側：若x、y在原點左側,即x<0, y<0,則-2y=8 ,所以y=-4, x=T2若x、y在原點右側，即x>0, y>0,則2y=8,所以y=4, x=123 .分類討論思想在數學定理、性質、公式限制下的應用有些定理或公式本身具有限制條件。如，有些函數的單調性具有增減兩種可能, 遇到時就要進行分類討論。例3.已知函救丫= （m-1） x2+ （m-2） x1 （m是實數）。如果函數的圖象和x

10、軸只 有一個交點，求m的值。分析：這里從函數分類的角度討論，分m-l=O和mlWO兩種情況來研究解 決問題。解：當m=l時函數就是一個一次函數y=-xl,它與x軸只有一個交點（-1, 0） O當mTWO時，函數就是一個二次函數丫= （m1） x2+ （m2） x1當X= （m2） 2+4 （m1） =0,得 m=0。拋物線y二-x2 2xl,的頂點（一 1, 0）在x軸上。4 .分類討論思想在參數不確定的題中的應用有時方程、不等式、函數式中所含參數取不同的值時，會導致結果不同，因此 需要進行分類討論。例4、解關丁入一的不等式：3? （ + l）x +1 v 0。分析：這是一個含參數a的不等式，

11、它不一定是一個二次不等式，故首先對二次 項系數a分類：（1） aWO, （2） a=0,對于（2）,不等式易解；對于（1） , 乂需 再次分類：a>0或a<0,因為在這兩種情形下，不等式的解集形式是不同的，不等式 的解集可能是在兩根之外，也可能是在兩根之間。當確定這一點后，乂會遇到1與-1 誰大誰小的問題，因而乂需作一次分類討論。故解題時，需要作三級分類。解.（1）當7=0時，原不等式化為7+1 <0：.X>綜上所述，得原不等式的解集為當a<0時，解集為或a J ； » = 0時，為Nx > 1； 當0 V 4 V 1時，解.集為< xi&l

12、t;x < >.為=1H寸,例5、已知關于”的函數y = 0-4）爐一（2祖-1）工+旭的圖像與X軸總有交點,求小的 取值范圍。分析：函數中最高項的系數是含字母的不確定代數式，所以它的取值有多種可 能性，這時我們就需要進行分類討論。題目說函數圖象與1軸總有交點，并沒有說 明有幾個交點，所以函數有可能是一次函數，有可能是二次函數。所以未知數最高 項的系數要分類討論。解：（1）當?-4 = °,即? = 4時，函數為一次函數，圖像與x軸有一個交點； （2）當?-4工°時，此時函數為二次函數，A = -(2/z?-1)- - 4(? - 4)？ > 0解得m &

13、gt; -12,所以當12-4W0且12時，函數圖像與x軸有交點.111 之一綜合(1) (2),當 12時、圖像與x軸總有交點。5 .分類討論思想在圖形不確定的題中的應用由于題目未明確給出圖形的所有元素，所以會導致圖形不確定，引起分類討論。 例6、如果三角形的兩邊長分別是23cm和10cm,第三邊的長與其中一邊的長度相等， 那么第三邊的長是多少分析：由于題中所求的第三邊與其中一邊相等，但是不明確具體是與哪條邊相 等，因此需分兩種情況討論。若不作兩種情況的分類討論，可能會出現漏解或錯解解：(1)當第三邊的長為23cm時，其三邊長分別為23cm、23cm、10cm,它們 滿足三角形三邊關系：兩邊

14、之和大于第三邊。因此，這三邊能構成三角形，所以第 三邊的長為23cm；(2)當第三邊的長為10cm時，其三邊長分別為10cm、10cm、23cm。因為 1O+1OV23,所以它不能構成三角形，故第三邊長不能為10cm。綜上所述，第三邊的長為23cm。例7.已知兩圓的半徑分別是5cm和4cm,公共弦長為6cm,則這兩圓的圓心距為分析：由圓的對稱性，兩圓的公共弦可在兩圓心之間，也可以在兩圓心同 旁。答案：4+根號7和4-根號76 .分類討論思想在排列組合問題中的應用分類討論思想在排列組合問題中的應用也比較常見，尤其是解含有約束條件的 排列組合問題時，運用分類討論的方法可以把復雜的問題簡單化。例8、

15、在正方體的8個頂點中，12條棱的中點，6個面的中心及正方體的中心共27個點 中，共線的三點組的個數是多少匐解：依題意，共線的三點組可以分為三類：8x7 .=2o(1)兩端點皆為頂點的共線三點組，共有2(個)；6x13（2）兩端點皆為面的中心的共線三點組，共有一（個）；生=18（3）兩端點皆為各棱中點的共線三點組，共有2（個）：所以總共有28+3+18 = 49 （個）。7 .分類討論思想在實際問題中的應用近幾年來，考試命題中出現了大量的實際應用題。這種應用題，往往需要運用 分類討論思想才能順利解決。例9、某超市春節期間舉行促銷優惠活動，方案一：憑50元錢購買會員卡，憑會員卡 購買超市內商品享受

16、八折優惠；方案二：若不購買會員，則購買超市內商品只能享 受九折優惠。（1）若按照方案一購買商品應付款額為力 （元），若按照方案二購買商品應付款額 為先 （元），購買商品的價格為x元，請用含有x的代數式表示力和以；（2）購買商品的價格在什么范圍內，如何選擇購買方案更劃算解：（1） y尸50+, 72=0（2）當力巫時，50+>,解得XV500；當y尸為時，50+=，解得x=500；當當y】V 以時，50+<,解得x>500；所以當購買商品的價格小于500元時，選擇方案二更劃算，當購買商品的價格等于500 元時，選擇兩種方案一樣劃算，當購買商品的價格大于500元時,選擇方案一更劃

17、算。 四、如何簡化分類討論分類討論是一種重要的解題策略，但他不是萬能的，不是唯一的，對于分類討論 的問題，在熟悉和掌握分類討論的同時，要注意克服盲目討論的思維定勢，要認真 審查題目的特點，充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡 化分類討論過程，從而提高分類討論的效果.五、總結通過以上的例子，可以發現分類討論思想在初中數學解題中的應用是非常廣泛 的。通過探討分類討論思想在初中數學中集合，函數，不等式，排列組合等中的應 用，我們應用正確的分類討論思想，對不同情況進行分類研究，使問題化整為零， 各個擊破，再積零為整，從而使復雜的問題得到清晰，完整，嚴密的解答.它能使 許多看似復雜的

18、問題簡單化，也能全面地解答一個問題。在使用分類討論思想解題 時，首先需要明白為何要進行分類討論，再者要遵循一定的原則，合理分類，對全 體對象的分類要按照同一標準，做到不重不漏。但是在解題過程中，不能盲目或機 械地進行分類討論。有的題目雖然含有分類因素，但對問題作深入研究，會發現題 目中各定量或變量存在一定的關系。因此，對于需要分類討論的問題，在熟悉和掌 握分類討論思想的同時，要注意克服盲目討論的思維定勢，認真審查題目的特點， 充分挖掘題中潛在的特殊性和簡單性，盡可能避免分類討論，簡化分類討論過程， 使解題更簡單、更輕松。參考文獻：1皇甫月紅.淺談初中數學思想方法的教學教.課程教育研究,2012(33).2陳新娟.分類討論思想在解