1、編輯ppt2第四節第四節 多元復合函數的求導法則多元復合函數的求導法則一元復合函數)(),(xuufy求導法則xdududydxdyd推廣（1）多元復合函數求導的鏈式法則（2）多元復合函數的全微分dxxufduufdy)()()(微分法則編輯ppt3一一. 復合函數求導的鏈式法則復合函數求導的鏈式法則定理定理 如果函數 都在點 可導,函數)(, )(tvtut),(vufz 在點 處可微, ),(vu)(),(ttfz在點ttdvdvztduduztdzdvuz則復合函數tt證證: 設 t 取增量, tvu ,vvzuuzz)()(22vutvvztuuztzto)()(o則相應中間變量有增量

2、可導, 且有鏈式法則編輯ppt4令 ,則有0 t,0,0vuto)(tdvdvztduduztdzd( 全導數公式全導數公式 )tvvztuuztzto)(0t（vuztt)()(22vu )(o )()(22tvtu0時,根式前加“”號)tdvdtvtdudtu,編輯ppt5推廣推廣:1）中間變量多于兩個的情形。例如)(, )(, )(,),(twtvtuwvufz則在它們都可微的條件下在它們都可微的條件下tdzd321fff2）中間變量是多元函數的情形。例如),(, ),(,),(yxvyxuvufz則在它們都可微的條件下在它們都可微的條件下xz1211ff2221ffyzzzwvuvuy

3、xyxttttduduztdvdvztdwdwzxuuzxvvzyuuzyvvz編輯ppt6又如),(, ),(yxvvxfz當它們 都具有可微條件時，則有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導xf表示固定 v 對 x 求導口訣口訣 : 分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導xfxvvfyvvf與不同v編輯ppt7例例1. 設設yxvyxuvezu,sin求 . yzxz,解：解：xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveuc

4、osy1 x1 zvuyxyx編輯ppt8例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyx求yuxu,解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2編輯ppt9例例 3. 設 ,sintvuz.tdzdztvutttdzdtevtttetcos)sin(costduduztdvdvztz求全導數,teu tvcos解解:tusintcos編輯ppt10 例例 4 4 設設),(xyzz

5、yxfw ，f具具有有二二階階 連連續續偏偏導導數數，求求xw 和和zxw 2. . 解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf ),(vufw wvuzyxzyx編輯ppt11 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 21ff,vuzyxzy

6、x編輯ppt12.,),(yxzfxyxyfxz225求求具有二階連續偏導具有二階連續偏導其中其中設設例例:解解,xyvxyu令令),(vufxz2fvuxyxyxzxf22xxvvfxuufyfxxyfxxf 22212)(2編輯ppt132212f yxf yxfyxz2)()()(2221f yyxf yyfyx)(21ffuvxyxyyvvfyuufx 2111yvvfyuufyf22222yvvfyuufyxfx223112213f yxfxyfxf 編輯ppt14課堂練習,)v ,u(f,)yx(,xyfz具有二階連續偏導數其中設22212222yzxz求xfyfxzvu解yfxf

7、yzvuvvvvuuvuufxxfyfyxfyfxz)()(22vvvvuuvuufyyfxfxyfxfyz)()(22)(222222vvuuffyxyzxz編輯ppt15二二. 復合函數的全微分復合函數的全微分設函數),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為ydyzxdxzzdxdxvvzxuuz)(ydyvvzyuuz)(uzvzuz這說明,無論 u , v 是自變量還是中間變量, 其全微分表達式一樣, 這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性 . )(ydyuxdxu)(ydyvxdxv則復合函數) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 編輯ppt16例例 6.解解:) (dzdudveusin )cos( )sin(yxyxeyxdxyxyxyeyx)cos()sin()cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvdveucos )cos( )sin(yxyxeyx)( yxd)(yxdydyxyxxeyx )cos()sin()(ydxdxy)(ydxd.,sinyzxzyxvxyuvezu求求編輯ppt17內容小結內容小結一. 復合函數求導的鏈式法則“分段用乘 ,分叉用加, 單路全導, 叉路偏導”例如, ),(, )