1、高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個(gè)特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的山元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y 元素的無(wú)序性：女口： a,b,c和a,c,b是表示同一個(gè)集合3集合的表示：女如： 我校的籃球隊(duì)員, 太平洋，大西洋, 印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N正整數(shù)集N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R1) 列舉法：a,b,c2) 描述法：將集合中

2、的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。xR| x-3>2 ,x| x-3>23) 語(yǔ)言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4) Venn 圖：4、集合的分類：(1) 有限集含有有限個(gè)元素的集合(2) 無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合 空集不含任何元素的集合例：x|x 2= 5、集合間的基本關(guān)系1“包含”關(guān)系一子集注意：A B有兩種可能(1) A是B的一部分，；(2) A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合 B,或集合B不包含集合A,記作A B或B = A第2頁(yè)共13頁(yè)2. “相等”關(guān)系:A=B （5為，且5哥，則5=5）實(shí)例：設(shè) A=x|x 2-1=0 B=-1,1&

3、quot;元素相同則兩集合相等”即:任何一個(gè)集合是它本身的子集。A A 真子集：如果A B,且A= B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,UD記作AB（或B A） 如果A二B, B二C ,那么A二C 如果A二B 同時(shí)B二A那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個(gè)元素的集合，含有 2n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集疋由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設(shè)S是一個(gè)集合，A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個(gè)子集，由S中的集合，叫做A,B的組成的集合，叫做A,B所有不屬于 A的元素交集.記作A 口 B

4、的并集.記作：aUb組成的集合，叫做S中（讀作A交B',即（讀作A并B',即子集A的補(bǔ)集（或余A 口 B= x|x 乏 A ,A J B =x|x 乏 A，或集）且B.x 壬 B).記作CSA，即CsA= X|X芒 S,且(芒 A韋恩圖1圖2圖示性A n A=AaUa=a(CuA)門(CuB)A 口 Q=aU q=a=Cu (A U B)a n b=b n aaUb=b U A(CuA) U (CuB)A n BGAAUB ： A=Cu(aPi b)質(zhì)A n B匸 BAUB ：BaU (C uA)=UA (C uA)=.例題：1.下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）A某班所有高個(gè)子

5、的學(xué)生B著名的藝術(shù)家 C 一切很大的書 D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合a，b，c 的真子集共有 個(gè)3. 若集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x %，貝U M 與 N 的關(guān)系是.40人，化4. 設(shè)集合A= lx 1 ：x ：2 /， b= !x x < a /，若A J B，則a的取值范圍是 5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有 31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有 4人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有 人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M= 7.已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x 2-5x+6=

6、0, C=x| x 2-mx+m 2-19=0,若 B PC 工，APC=，求 m 的值二、函數(shù)的有關(guān)概念1 函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì) 應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一 確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f: AT 為從集合 A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作： y=f(x) , x3 .其中，x叫做自變量，x的取 值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值， 函數(shù)值的集合f(x)| x 3 叫做函數(shù)的值域.1 定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于

7、零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān));定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)2. 值域：先考慮其定義域(1) 觀察法(2) 配方法(3) 代換法3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x 3)中的x為橫

8、坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x 3)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x, y)均滿足函數(shù)關(guān)系 y=f(x)，反 過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x, y), 均在C上.(2) 畫法A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對(duì)稱變換4. 區(qū)間的概念(1) 區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2 )無(wú)窮區(qū)間(3) 區(qū)間的數(shù)軸表示.5. 映射一般地，設(shè) A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的 對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素 x,在集合B中都有 唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么

9、就稱對(duì)應(yīng)f: Ar B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“ f (對(duì)應(yīng)關(guān)系)：A (原象)> B像)” 對(duì)于映射f: AT 來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿足：(1) 集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3) 不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合 A中都有原象。6. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況.(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集.補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x 3),則 y=fg(x)=F(x)(x 3)

10、稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 X1, X2,當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(X1)<f(X2)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值 Xi, X2 ,當(dāng)Xl<X2時(shí)， 都有f(X)>f(x 2)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)區(qū)間D稱 為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)

11、y=f(x)在這一區(qū)間上具有 儼格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的 圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的 .函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：(Q任取 X1 , X2 D，且 X1<X2 ；(0作差 f(xi) - f(X2)；®變形(通常是因式分解和配方);0定號(hào)(即判斷差f(Xi) - f(X2)的正負(fù))；0下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間 D上的單調(diào)性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x), y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其

12、定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集&函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1) 偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) X ,都有f( x)=f(x), 那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2) .奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X，都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：a首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2確定f( X)與f(x)的關(guān)系；©作出相應(yīng)結(jié)論：若 f( x) = f(x)或 f( x)

13、 f(x) = 0，貝U f(x) 是偶函數(shù)；若f( x) = f(x)或f( x) + f(x) = 0 ,則f(x)是奇函數(shù).注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條 件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是 非奇非偶函數(shù)若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)由f(-x) ±(x)=0或 f(x)/f(-x)= ±1來(lái)判定；(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定9、函數(shù)的解析表達(dá)式(1) .函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間 的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函 數(shù)的定義域.(2) 求函數(shù)的解析式的主要方法有：

14、1) 湊配法2) 待定系數(shù)法3) 換元法4) 消參法10 .函數(shù)最大(小)值(定義見(jiàn)課本 p36頁(yè))2利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值2利用圖象求函數(shù)的最大(小)值2利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, C上單調(diào)遞 減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞 增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題：y =1. 求下列函數(shù)的定義域:x2 -2x -15x 3 -32. 設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?, 1，則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)開3

15、.若函數(shù)f(x 1)的定義域?yàn)開2, 3，則函數(shù)f(2x_1)的定義域是 k +2(x D° 函數(shù) f(x)二 x2(_1：x ：2)，若 f(x) =3，則 x=2x(x _2)5.求下列函數(shù)的值域: y =x2 2x -3 (x 二 R) y =x2 2x_3 x 1,2(3) y =x - 1 2x(4) y _x2 亠 4x 亠5第12頁(yè)共13頁(yè)第#頁(yè)共13頁(yè)6已知函數(shù)f(x _1) =x2 -4x，求函數(shù)f(R， f(2x 1)的解析式7. 已知函數(shù) f(x)滿足 2f(x) f(-x)4，則 f (x) =。8. 設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0, ：)時(shí)，f (x) =x(1

16、 - 3 x)，則當(dāng)(-：,0)時(shí) f(x> =f (x)在R上的解析式為9. 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間: y=x2+2x+3 y=p'-x2+2x+3 y=x2-6x-110. 判斷函數(shù)y = -x3 1的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11.設(shè)函數(shù)f(x)二1 x21 x2判斷它的奇偶性并且求證:1 f() - -f(x).x第章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算1.根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根， 其中n >1，且n N *.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是 0,記作n 0。Ija (a0)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，2an =a，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，尋an =

17、|a|=、-a (acO)第#頁(yè)共13頁(yè)2 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定：ma n = ： am (a 0, m, n N , n 1)-巴 11*am(a 0, m, n N , n 1)aa0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于 0, 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義3實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)r rr -sa a 二 a(1)(2)/ r 、 srs(a ) -a(ab)r 二 aras(3)(二)1、指數(shù)函數(shù)的概念:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)般地，函數(shù)指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)閥 = ax(a 0,且a廠1)叫做R (a0,r,sR);(a0,r,sR)；(a0,r,sR)第13頁(yè)共13頁(yè)第#頁(yè)共13頁(yè)

18、注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1*"21 ,1 s-_ _定義域R定義域R值域y > 0值域y > 0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0, 1)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0, 1)注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：(1 )在a, b上, f(x) =ax(a 0且a =1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a);(2 )若x=o，則f(x)=1 ; f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)R ;(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù) f(x)=ax(a . 0且a -1)，總有 f(1) =a ；二、對(duì)數(shù)函數(shù)(一)對(duì)數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果 ax =N (a .0,a=1)，那么數(shù)x 叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：x = log a N ( a 底數(shù)，N 真數(shù)，log a N 對(duì)數(shù)式)說(shuō)明：O注意底數(shù)的限制a 0，且a = 1 ;loga NO a x = N = log a N = x ；O注意對(duì)數(shù)的書寫格式.兩