1、的通項公式;n 1,n(1)= d 1,n同一個數列的通項公式的形式不一定唯例如,an1.414 ,一、數列的概念(1)數列定義：按一定次序排列的一列數叫做數列；數列中的每個數都叫這個數列的項.記作an ,在數列第一個位置的項叫第1項(或首項),在第二個位置的叫第 2項,序號為 n的項叫 第n項(也叫通項)記作 an;數列的一般形式：a1, a2, a3,an,簡記作an例：判斷以下各組元素能否構成數列(1) a,-3,-1,1, b, 5, 7, 9；(2)2021年各省參加高考的考生人數.(2)通項公式的定義：如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的

2、通項公式. 例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,_1111：1 一,一,一,2 3 4 5數列的通項公式是 an = n ( n 7, n N ),1 一數列的通項公式是 an = - ( n N).n說明：an表示數列,an表示數列中的第 n項,an= f n表示數列2k 1 (k Z)；2k不是每個數列都有通項公式.例如,1, 1.4, 1.41 , (3)數列的函數特征與圖象表示:序號：1 2 3 4 5 6上面每一項序號與這一項的對應關系可看成是一個序號集合到另一 個數集的映射.從函數觀點看,數列實質上是定義域為正整數集N (或它的有限子集)的函數f(n)當自變量n從1開始依次取

3、值時對應的一系列函數值f(1),f(2), f(3),f(n),.通常用an來代替f n ,其圖象是一 群孤立點.例：畫出數列an 2n 1的圖像.(4)數列分類：按數列項數是有限還是無限分：有窮數列和無窮數列；按數列項與項之間的大小關系分：單調數列(遞增數列、遞減數列)、常數列和擺動數列.例：以下的數列,哪些是遞增數列、遞減數列、常數列、擺動數列(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7,6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5 )數列 an 的前n項和Sn與通項an的關系：S1(n 1)anS Sm(n2)例：數列an

4、的前n項和sn 2n2 3 ,求數列 an的通項公式二、等差數列題型一、等差數列定義：一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,那么這個數列就叫等差數列,這個常數叫做等 差數列的公差,公差通常用字母d表示.用遞推公式表示為 an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1).例：等差數列an2n 1 , an an 1 題型二、等差數列的通項公式：an a1 (n 1)d ；說明：等差數列(通常可稱為 A P數列)的單調性：d 0為遞增數列,d 0 為常數列,d 0為遞減數列.例：1.等差數列 an中,a7 a9 16, a41,那么a12等于()A. 1

5、5 B . 30 C . 31 D . 642. an是首項ai 1 ,公差d3的等差數列,如果 an 2005,那么序號n等于48,那么它的首項是()A. 1B.2C.4D.8題型四、等差數列的性質：(1)在等差數列(A) 667(B) 668(C) 669(D) 6703.等差數列an 2n 1,bn2n 1 ,那么an為 bn為(填“遞增數列或“遞減數列)題型三、等差中項的概念：定義：如果a, A, b成等差數列,那么 A叫做a與b的等差中項.其中(2)在等差數列(3)在等差數列an am /d(m(4)在等差數列a, A, b成等差數列即：2an ianan 2am an a p aq

6、(2anan m an m例：1. (06全國I)設an是公差為正數的等差數列,假設 ai a2 a3 15 ,A. 120 B . 105C .90D. 752.設數列an是單調遞增的等差數列,前三項的和為 12,前三項的積為an中,從第2項起,每一項為哪一項它相鄰二項的等差中項;an中,相隔等距離的項組成的數列是等差數列；anan題型五、等差數列的前(Sn35a6中,對任意 m , n N , % am (n中,假設 m,n, p , q N 且mn pn和的求和公式:n(aan)11.2n(n 1)d2(a1 -) no2An2 Ba向aJAB的常數)那么遞推公式：oSn ann(a a

7、n)na12a2例：1.如果等差數列(A) 142. (2021湖南卷文)11 ,那么S7等于()an(aman 中,a3(B)21是等差數列)an (m 1)na4a512 ,那么倒 a2(C) 28設Sn是等差數列an的前n項和,a7(D)A. 13A.B.C.D.3. 2021全國卷I理 設等差數列an的前n項和為Sn,假設0 72,4. 2021重慶文2在等差數列an中,a a9 10,那么a5的值(A) 5(B) 6(C) 8(D) 105.假設一個等差數列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的10 . 2021陜西卷文設等差數列 an的前n項和為,假設a6 s3 12那

8、么an11 . 00全國設 a為等差數列,S為數列 an的前n項和,已Sn知S=7, Sl5= 75 , Tn為數列 的前n項和,求Tn.n12 .等差數列an的前n項和記為Sn ,a10 30, a20 50和為390,那么這個數列有A.13 項B.12 項C.11 項其公差d等于D.2602.一個等差數列前 n項的和為48,前2 n項的和為60,那么前3n項的和D.10 項6 .等差數列 an 的前n項和為 Sn , 假設S1221,貝a2 a5 a8 an 7 . 2021全國卷n理設等差數列an的前n項和為Sn,假設a5 5a3那么S9-S58 . 98全國數列 bn是等差數列,b-1

9、, b1+b2+ - +b10=100.I 求數列 bn的通項bn；9 .an數列是等差數列,a10 10 ,其前10項的和S10 70,那么求通項an；假設Sn=242,求n13.在等差數列an中,1S8 48,S12 168,求a1和d ； 已 知 a6 10, S5 5,求a8和 Sg ; 3 a3 a15 40,求S17 題型六.對于一個等差數列：SUa1假設項數為偶數,設共有2n項,那么S偶S奇 nd；旦 -a ；S 禺an 12假設項數為奇數,設共有2n 1項,那么 S奇 S偶 an a中；且S偶n 1題型七.對與一個等差數列,Sn , S2nSn , S3n S2n仍成等差數列.

10、例：1.等差數列an的前m項和為30,前2m項和為100,那么它的前3m項和 為A.130B.170C.210為.3 .等差數列 an的前10項和為100,前100項和為10,那么前110項和為4 .設Sn為等差數列an的前n項和,S414,S10S730,那么S9 =D.無法判斷2.數列an的通項為an 2n5,貝U數歹U an為5. 06全國II 設&是等差數列an的前n項和,甘&1桃?右一=-,那么S63 sl2A.等差數列D.無法判斷3 .一個數列A.等差數列D.無法判斷4 .一個數列A.等差數列D.無法判斷B. 等比數列 C.an的前n項和SnB.等比數列C.an的前n項和SnB.等

11、比數列C.既不是等差數列也不是等比數列2n2 4 ,那么數列an為既不是等差數列也不是等比數列一 2 一 一.2n ,那么數列口口為既不是等差數列也不是等比數列A.105 .一個數列A.等差數列an滿足 an 2B. 等比數列2an 1an 0,那么數列信口為C.既不是等差數列也不是等比數列D.題型八.判斷或證實一個數列是等差數列的方法:D.無法判斷6 .數列 an 滿足 a1=8, a42,且 an 2 2an 1an 0 ( n N )定義法:an 1 an d常數nN an是等差數列中項法：2an 1 an an 2 n N an是等差數列通項公式法：an kn bk,b為常數 an是等

12、差數列前n項和公式法：Sn An2 Bn A, B為常數 an是等差數列例：1.數列an滿足an an 1 2 ,那么數列an為A.等差數列 B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列求數列 an的通項公式；7. 01天津理,2設&是數歹U an的前n項和,且s=n2,貝12口是A.等比數列,但不是等差數列B.等差數列,但不是等比數列C.等差數列,而且也是等比數列D.既非等比數列又非等差數列 題型九.數列最值（1） a1 0, d 0時,Sn有最大值；為 0, d 0時,Sn有最小值；2.（2） Sn最值的求法：假設Sn, Sn的最值可求二次函數 Sn an bn的 最值；可用二次函數最值

13、的求法nN；或者求出 an中的正、負分界項,即:S100 ,求數列an前n項和的最大值.40八假設an ,那么Sn最值時n的值(n N )可如下確定或an 10an 0oan 10例：1.等差數列an中,ai 0, S9 S12,那么前 項的和最大.2 .設等差數列an的前n項和為Sn ,求出公差d的范圍,指出S1, S2, S12中哪一個值最大,并說明理由.3 . (02上海)設 an (nC N)是等差數列, S是其前n項的和,且 &vS,那么以下結論錯誤.的是()A.dS5D.S6 與 S7 均為 Sn 的最大值n 、984 .數列an的通項n 98 ( nn - 99最大項和最小項分別

14、是N ),那么數列an的前30項中5 .an是等差數列,其中a1 31,公差d 8.(1)數列an從哪一項開始小于 0?(2)求數列an前n項和的最大值,并求出對應 n的值.6 .an是各項不為零的等差數列,其中a17 .在等差數列an中,a1 25, S17 S9,求Sn的最大值.tSi(n 1)題型十.利用an1求通項.Sn Sn 1 (n 2)2 11 .數列2門的刖n項和Sn n1.(1)試寫出數列的刖5項；(2)數列an是等差數列嗎 ( 3)你能寫出數列an的通項公式嗎2 .數列 an的前n項和Sn n2 4n 1,那么23 .設數列an的前n項和為Sn=2n ,求數列an的通項公式

15、；14 .數列 an 中,a1 3,前 n和 Sn -(n 1)(an 1) 12求證：數列 an是等差數列求數列an的通項公式25 . (2021安徽又)設數列an的前n項和Sn n ,那么a8的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比數列等比數列定義一般地,如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的比等于同一 個常數,那么這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比；公比通常用字母q表示(q 0),即：a-： an q(q 0).一、遞推關系與通項公式1 .在等比數列 an中,ai 4,q 2,那么an 2 .在等比數列 an中,a7 12,q 32,那么a19

16、 .3 . (07重慶文)在等比數列an中,a2=8, ai=64,那么公比0為()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 84 .在等比數列 an中,a22 , a5 54 ,貝U a8=5 .在各項都為正數的等比數列 an中,首項a1 3,前三項和為 21,那么n m an2 q ,anan m an m (n N )am(3) an為等比數列,那么下標成等差數列的對應項成等比數列.(4) an既是等差數列又是等比數列an是各項不為零的常數列.例：1 .在等比數列 an中,a1和aw是方程2x2 5x 1 0的兩個根那么 a4 a7()2-n 3nC. 一 一2D. n na5 a2n 51

17、. (1)假設 m np q,那么 am an ap aq (其中 m, n, p,q N )a3 a4 a5()A 33 B 72 C 84 D 189二、等比中項：假設三個數a,b,c成等比數列,那么稱 b為a與c的等比中項,且為b . ac,注：b2 ac是成等比數列的必要而不充分條件例：1. 2 J3和2 J3的等比中項為()2. (2021重慶卷文)設 an是公差不為 0的等差數列,a12且a1,a3,a6成等比數列,那么 an的前n項和Sn=()2 r2_“ n 7nn 5nA. B - 一三、等比數列的根本性質,2 .在等比數列an ,a1 5, a9al0 100 ,那么a18

18、 =3 .在等比數列 an 中,a1 a6 33, a3a4 32, an an 1求an假設 Tn lg a lga2lgan,求Tn4 .等比數列an的各項為正數,且 a5 a6 a4a7 18,貝 Ulog3a1 log3 a2 log3 a10 ()A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+log355 . (2021廣東卷理)等比數列an滿足an 0,n 1,2HI,且22n(n 3),那么當 n 1 時,log2a1 log2a3 log2a2n 1_2_A, 1)b. (n 1)C, n2D.(n 1)2四、等比數列的前 n項和,例：1,等比數列an的首相ai5 ,公比

19、q 2 ,那么其前n項和Sn12,等比數列an的首相a15 ,公比q ,當項數n趨近與無2窮大時,其前n項和Sn 3,設等比數列an的前n項和為Sn,已a2 6, 6 ala3 30,求an和Sn4. (2006 年北京卷)設 f(n) 2 24 2721| 23n10(nN),那么f(n)等于()A. 2(8n 1) B, 2(8n 1 1)C. -(8n3 1)777D. 2(8n 4 1) 75 . (1996全國文,21)設等比數列 an的前n項和為8,假設&+$ = 24,求數列的公比q；6 .設等比數列an的公比為q,前n項和為S1,假設Sn+1,Sn, Sn+2成等差數列,那么q

20、的值為 ,五,等比數列的前n項和的性質假設數列an是等比數列,Sn是其前n項的和,k N*,那么Sk , S2k Sk , S3k S2k成等比數列,S6例：1, (2021遼寧卷理)設等比數列 an的前n項和為Sn,假設 S3 =3 ,S9S那么S6 =78A. 2 B, 3 C, 3d,32 .一個等比數列前 n項的和為48,前2 n項的和為60,那么前3n項的 和為()A 83 B . 108 C . 75 D . 633 .數列an是等比數列,且 Sm 10, S2m 30,那么S3m 4,等比數列的判定法a(1) 7E乂法：q (常數)an為等比數列；an2(2)中項法：an 1 a

21、n an 2 (an 0) an為等比數列；(3)通項公式法：ank qn (k,q為常數)an為等比數列；(4)前n項和法：Sn k(1 qn) (k,q為常數) an為等比數列.Sn k kqn (k,q為常數)an為等比數列.例：1,數列an的通項為an 2n,那么數列an為()A,等差數列B, 等比數列C,既不是等差數列也不是等比數列D,無法判斷22 .數列an滿足an 1an an 2 (an 0),那么數列an為()A.等差數列B.等比數列 C.既不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷n 13 .一個數列an的前n項和Sn2 2 ,那么數列20為()A.等差數列B.等比數列 C.既

22、不是等差數列也不是等比數列D.無法判斷5.利用aS1 (n D求通項.n& & i (n 2)例：1. (2005北京卷)數列an的前n項和為S,且ai=1, an 1 -Sn, 3n=1, 2, 3,求a2, a3, a4的值及數列an的通項公式.2 . (2005山東卷)數列an的首項a1 5,前n項和為Sn ,且_ 一 一, . Sn 1 Sn n 5(n N ),證實數列 an 1是等比數列.四、求數列通項公式方法(1) .公式法(定義法)根據等差數列、等比數列的定義求通項例：1等差數列an滿足：a3 7,a5 a7 26,求an ；2.數列an滿足a1 2,an an 1 1( n

23、1),求數列an的通項公式；3 . 數列 an 滿足 a1 =8, a4 2,且 an 2 2an 1 an 0( n N),2_4 .等比數列an的各項均為正數,且 2a1 3a2 1, a39a2a6,求數列an的通項公式5 .數列an滿足a1 2,an 3an 1(n 1),求數列an的通項公 式；26 .數列an滿足 a1 2, a2 4 且 an 2 anan 1( n N ),求數列an的通項公式；7 .數歹U 烝滿足a1 2,且an1 5n 1 2(烝 5n) ( n N ),求 數列an的通項公式；8 .數列an滿足a12,且 am 52n1 2 30 52n2)(n N),求

24、數列 an的通項公式；112 .數列數列 an滿足a1 - ,an 4an 1 1(n 1).那么數列 an的2通項公式=(2)累加法1、累加法適用于：an 1 an f (n)求數列an的通項公式;假設an i an f(n) (n 2),那么a? ai f(1)a3 a2f (2)Hl Hlan 1 anf(n)兩邊分別相乘得,an 1aa1f(k)k 1例：1.數列an滿足an 12(n1)5n a.,a13,求數列an的通項n兩邊分別相加得 an 1 aif (n)k 1公式.1例：1.數列an滿足a1,2通項公式.1an 1 an 2,求數列J an的4n 12.數列,a n2滿足

25、a1 一,an 1n*an,求 an.3n 13.a13,3n 1.an 1an (n1),求 an.3n 2(4)待定系數法2.數列an滿足an 1an 2n 1, a1 1,求數列an的通項公適用于 an 1 qan f (n)解題根本步驟：3 .數列an滿足an1an2 3n1,a13,求數列an的通項公式.4 .設數列an滿足a12 , an 1 a0 3 22n 1 ,求數列an的通項公式(3)累乘法適用于： an 1f (n)an1、確定f (n)2、設等比數列an1f (n),公比為3、列出關系式 an 11 f (n 1)2an2f(n)4、比較系數求1,2假設手叱那么(1),

26、最f和喧f (n)5、解得數列 an1f(n)的通項公式6、解得數列 an的通項公式4. 數列an的各項均為正數,且前n項和Sn滿足例：1.數列an中,a1 1,an 2an 1 1(n 2),求數列 an的通項 公式.2. (2006,重慶,文,14)在數列 an 中,假設 ai 1,ani 2an 3(n 1),那么該數列的通項an 3. ( 2006.福建.理22.本小題總分值14分)數列 an滿足 * a1 1,an 1 2an 1(n N ).求數列an的通項公式；(5)遞推公式中既有 Sn. 一.S1,n 1分析：把關系通過 an轉化為數列 an或Sn的遞推n S S.1,n 2n

27、關系,然后采用相應的方法求解.1, (2005北京卷)數列an的前n項和為3,且ai=1, an 1 -Sn , n=1,32, 3, ,求a2, a3, a4的值及數列an的通項公式.2. ( 2005山東卷)數列an的首項a1 5,前n項和為Sn ,且_ _ Sn 1 Sn n 5(n N ),證實數列 an 1是等比數列.-1 , 一Sn-(an1)(an2),且a2,a4,a成等比數列,求數列an的通項公式.6五、數列求和1.直接用等差、等比數列的求和公式求和.na(q 1)c n(&an)n(n 1)：、Sn 2 na fd Sn .(1 q )公比含1 q B )字母時一定要討論(理)無窮遞縮等比數列時,S 一生1 q例：1.等差數列an滿足a1 1, a2 3,求前