1、2.3 等差數列的前n項和第1課時 等差數列的前n項和1.1.通過教學使學生理解等差數列的前通過教學使學生理解等差數列的前n n項和公式的推導過項和公式的推導過程，并能用公式解決簡單的問題；程，并能用公式解決簡單的問題；( (重點）重點）2.2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的再從一般到特殊的思想方法，通過公式的運用體會方程的思想思想（難點）（難點）等差數列：等差數列： 公公 差：差： 通項公式：通項公式： 等差中項：等差中項： 重要性質重要性質: : 注意：注意：這里這里m,n,

2、p,qm,n,p,q N N* *. .a an+1n+1-a-an n=d=d（常數）（常數）d da an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d(1)(1)a an n= =a am m+(n-m)d+(n-m)d; ;(2)(2)當當m+nm+n= =p+qp+q時時, ,a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q. .abA2高斯高斯(17771855(17771855） 德國著名數學家德國著名數學家1+2+3+98+99+100=1+2+3+98+99+100=？ 高斯高斯1010歲時曾很快算出這一結果，歲時曾很快算出這一結果，如何算的呢？如何算的呢？我們先看

3、下面的問題我們先看下面的問題. 怎樣才能快速計算出怎樣才能快速計算出一堆鋼管有多少根呢？一堆鋼管有多少根呢？一一二二4+10=14三三5+9=146+8=14四四7+7=14五五8+6=14六六9+5=14 七七10+4=14(1)(1)先算出各層的根數，先算出各層的根數，每層都是每層都是1414根；根；(2)(2)再算出鋼管的層數，共再算出鋼管的層數，共7 7層層. . 所以鋼管總根數是：所以鋼管總根數是：根根1(410) 749()21+2+3+100=?下面再來看下面再來看1+2+3+98+99+1001+2+3+98+99+100的高斯算法的高斯算法. .設設S S100100=1 +

4、 2 + 3 +98+99+100=1 + 2 + 3 +98+99+100 反序反序S S100100=100+99+98+ 3+ 2 + 1=100+99+98+ 3+ 2 + 1+ + + + + + +作作加加法法+ + + + + + +作作加加法法多少個多少個101 ?101 ?100100個個1011012S100=101+101+101+101+101+101/ / / / / + + + + + + +作作加加法法所以所以S S100100= =(1+100)(1+100)100100？首首項項尾尾項項？總總和和？項項數數這就是等差這就是等差數列前數列前n n項項和的公式！和

5、的公式！=5 050=5 050121()2nnn aaS ）1(2 + +得：得：2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a2 2+a+an-1n-1)+(a)+(a3 3+a+an-2n-2)+)+(+(a an n+a+a1 1). ). 以下證明以下證明aan n 是等差數列，是等差數列，S Sn n是其前是其前n n項和，則項和，則證：證：S Sn n= a= a1 1+ a+ a2 2 + a+ a3 3 + + +a +an-2n-2+a+an-1n-1+a+an n, ,即即S Sn n= =a a1 1, ,an+ a+ a2 2 + +a+an-1n-1

6、+ +a a3 3a an-2n-2+ + +. .1()2nnn aaS 2S2Sn n=(a=(a1 1+a+an n)+(a)+(a1 1+a+an n)+ )+ +(a+(a1 1+a+an n) ) 多少個(a1+an) ?共有共有n n個個(a1+an) 由等差數列的性質：由等差數列的性質：當當m+nm+n= =p+qp+q時，時，a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q 知：知：a a1 1+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= = =a an n+a+a1 1，所以所以式可化為：式可化為：= n n(a(a1 1+

7、a+an n).).這種求和的方這種求和的方法叫倒序相加法叫倒序相加法！法！因此，因此，. .1()2nnn aaS 等差數列的前等差數列的前n n項和公式的其他形式項和公式的其他形式（1)2nnn aaS 1(1)naand （11)2nn nSnad 1,22ddAB a2nSAnBn例例1 20001 2000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關于在中小學實施關于在中小學實施“校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市據此提出了實施某市據此提出了實施“校校通校校通”工程的總目標：從工程的總目標：從20012001年起用年起用1010年的時間，在全市中小學年的時間，在全

8、市中小學建成不同標準的校園網建成不同標準的校園網. .據測算，據測算，20012001年該市用于年該市用于“校校校校通通”工程的經費為工程的經費為500500萬元萬元. .為了保證工程的順利實施，計為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加劃每年投入的資金都比上一年增加5050萬元萬元. .那么從那么從20012001年年起的未來起的未來1010年內，該市在年內，該市在“校校通校校通”工程中的總投入是多工程中的總投入是多少？少？解：解：根據題意，從根據題意，從2001200120102010年，該市每年投入年，該市每年投入“校校通校校通”工程的經費都比上一年增加工程的經費都比上一

9、年增加5050萬元萬元. .所以，可以建立一個所以，可以建立一個等差數列等差數列aan n ，表示從，表示從20012001年起各年投入的資金，其中，年起各年投入的資金，其中， 1500,50.ad那那么么，到到年年（），投投入入的的資資金金總總額額為為（）（萬萬元元）. .10201010 1010110 500507 2502nS 從從2001201020012010年年，該該市市在在“校校校校通通”工工程程中中的的總總投投入入是是7 27 2答答：5050萬萬元元. .本題的設計意圖：本題的設計意圖： 培養(yǎng)學生的閱讀能力，引導學生從中提取有效信息培養(yǎng)學生的閱讀能力，引導學生從中提取有效信

10、息. .通過對生活實際問題的解決，讓學生體會到數學源于生通過對生活實際問題的解決，讓學生體會到數學源于生活，又服務于生活，提高他們學習數學的興趣，同時又活，又服務于生活，提高他們學習數學的興趣，同時又提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，促進了理提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，促進了理論與實踐的結合，對新知進行鞏固，使教師及時收到教論與實踐的結合，對新知進行鞏固，使教師及時收到教學反饋學反饋. .例例2 2 已知一個等差數列已知一個等差數列 前前1010項的和是項的和是310310，前，前2020項項的和是的和是1 220.1 220.由這些條件能確定這個等差數列的前由這些條件能確定

11、這個等差數列的前n n項和項和的公式嗎？的公式嗎？ na分析：分析：將已知條件代入等差數列前將已知條件代入等差數列前n n項和的公式后，可得項和的公式后，可得到兩個關于到兩個關于 與與d d的二元一次方程，由此可以求得的二元一次方程，由此可以求得 與與d d，從而得到所求前，從而得到所求前n n項和的公式項和的公式. .1a1a10201113101220,1 21045310201901220.nSSn nSnadadad 由由題題意意知知，（）將將它它們們代代入入公公式式，得得解解：到到解解這這個個關關于于 與與 的的方方程程組組，得得到到4 4，, , （）所所以以112 61 463.

12、2nadadn nSnnn 技巧方法：技巧方法：此例題的目的是建立等差數列前此例題的目的是建立等差數列前n n項和與項和與方程組之間的聯系方程組之間的聯系. .已知幾個量，通過解已知幾個量，通過解方程組，得出其余的未知量方程組，得出其余的未知量. .讓我們歸讓我們歸納一下！納一下！ 例例 已已知知數數列列的的前前 項項和和為為，求求這這個個數數列列的的通通項項公公式式 這這個個數數列列是是等等差差數數列列嗎嗎？如如果果是是，它它的的首首項項與與公公差差分分別別是是什什么么？2132.nnanSnn1211121nnnnnSaaaaSaaa 根根據據與與解解：（n1n1），可可知知，當當時時，（

13、）（）. .122111111 2222nnnnaSSnnnnn 當當時時， ，也也滿滿足足上上式式. .所所以以數數列列的的通通項項公公式式為為由由此此可可知知，數數列列是是一一個個首首項項為為，公公差差為為 的的等等差差數數列列. .211113112212.23 22nnnnaSaana 這這個個例例題題給給出出了了等等差差數數列列通通項項公公式式的的另另一一個個求求法法（n=1n=1） , ,已已知知前前 項項和和，可可求求出出通通項項（n2n2）這這種種用用數數列列的的公公式式來來確確定定的的方方法法對對于于任任何何數數列列都都是是可可行行的的，而而且且還還要要注注意意 不不一一定定

14、滿滿足足由由求求出出的的通通項項表表達達式式，所所以以最最后后要要驗驗證證首首項項 是是否否滿滿足足已已求求出出巧巧的的技技方方法法：11111. .nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa 根根據據下下列列條條件件，求求相相應應的的等等差差數數列列的的前前n n項項和和11.(1)5,95,10;nnnaSaan1010 (595)500.2S解解：1(2)100,2,50;adn 5050501)50 100( 2)2550.2S 解解：（1(3)14.5,0.7,32.nada3214.5126,0.7n 解解：2626 (14.532)604.5.2S 求求正正整整數數數數列列中中前前 個個數數的的和和2. (1)n.(1)(1).22nnnn nS解解：求求正正整整數數列列中中前前 個個偶偶數數的的和和(2)n.(22 )(1).2nnnSn n解解：等等差差數數列列前前多多少少項項和和是是-30-30？3.5,