1、第三節(jié)第三節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù). )( 0) ,f( 隱隱函函數(shù)數(shù)稱稱為為所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)由由方方程程xyyyx .)(顯顯函函數(shù)數(shù)形形式式的的函函數(shù)數(shù)稱稱為為xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的隱函數(shù)的顯化顯化問(wèn)題問(wèn)題：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)：隱函數(shù)不易顯化或不能顯化時(shí)如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 視視 y=y(

2、x) , 應(yīng)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法直接直接對(duì)對(duì)方程方程 f(x, y)=0 兩邊求導(dǎo)，然后解出兩邊求導(dǎo)，然后解出 y 即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例例1 1. , )( 0 0 xyxdxdydxdyxyyeexy的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù)求求由由方方程程解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)視視 , ),( xxyy y解得解得,yxexyedxdy , 0 , 0 yx時(shí)時(shí)由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 dxdyx xe ye 0 dxdy例例2 2.)23,23( ,3 33的的切切線線方方程程及及法法線線方方程程上上點(diǎn)點(diǎn)求

3、求過(guò)過(guò)的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線cxyyxc 解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)視視 , , )( xxyy ,333322yxyyyx )23,23(22)23,23(xyxyy . 1 于是，所求切線方程為于是，所求切線方程為, )23(23 xy. 03 yx即即, 2323 xy法法線線方方程程為為. xy 即即注注 本例中的方程形為本例中的方程形為 f(x, y)=g(x, y), 其確定的其確定的y=y(x) 的求導(dǎo)方法仍然是的求導(dǎo)方法仍然是.。二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法。對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法： 先先對(duì)對(duì)

4、y=f(x)（0）兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)(或加絕對(duì)值后或加絕對(duì)值后兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: :, )( )1()( xvxu函函數(shù)數(shù)冪冪指指型型方方、開(kāi)開(kāi)方方運(yùn)運(yùn)算算的的函函數(shù)數(shù)。含含有有較較多多的的乘乘、除除、乘乘 )2(例例3 3解解. , )0( sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)等式兩邊取對(duì)數(shù), 得得, lnsinlnxxy 得得求求導(dǎo)導(dǎo)上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) , x, 1sinlncos1xxxxyy )1sinln(cos xxxxyy . )sinln(cossinxxxxxx ? sin）（

5、求求出出能能否否用用問(wèn)問(wèn)： xx顯顯式式求求導(dǎo)導(dǎo)法法例例4 4解解. )142)1(3111()4(1)1( 23 xxxexxxyx, |4|ln2|1|ln31|1|ln|lnxxxxy 得得求導(dǎo)求導(dǎo)上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) , x, 142)1(3111 xxxyy. , )4(1)1( 23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)，得等式兩邊取絕對(duì)值再取對(duì)數(shù)，得.) ) , 1()1 , 4()4 ,( , ), 4()4,( 函函數(shù)數(shù)不不恒恒正正；上上導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在在在 d三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)., )()( 參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定

6、定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此函函數(shù)數(shù)為為由由此此間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與可可確確定定若若xytytx 例如例如 ,22tytx2xt , )2( , 22xty 此此參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定的的函函數(shù)數(shù)得得.4)( 2xxyy 即即消去參數(shù)消去參數(shù) t問(wèn)題問(wèn)題: : 消參數(shù)困難或無(wú)法消去參數(shù)時(shí)如何求導(dǎo)消參數(shù)困難或無(wú)法消去參數(shù)時(shí)如何求導(dǎo)?);(i )( )( i )( 1xtttxxtxtxxxt 上上有有可可導(dǎo)導(dǎo)的的反反函函數(shù)數(shù)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的恒恒不不為為零零單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)且且在在上上若若, i )( 上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在又又若若ttyy dxdtdtdydxdyxy )(dtdxdtdy1 ,

7、)()(txty )()(txtydtdxdtdydxdy ,i )()( t ttyytxx 對(duì)對(duì)且且上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , i )( )()( 1xxyxtytyy : )( )()( 的求導(dǎo)法的求導(dǎo)法確定確定xyytxxtyy 例例5 5解解)()( txtydxdy , cos1sintt taatacossin 2cos12sin 2 tdxdy. 1 時(shí)時(shí)的的切切線線方方程程。在在求求擺擺線線 2 )cos1()sin( ttayttax, ),12( , 2 ayaxt 時(shí)時(shí)又又當(dāng)當(dāng)?shù)玫?所求切線方程為所求切線方程為, )12( axay. )22( axy即即例例6 6解解.)(

8、;)(,sin,cos,的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻求求其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計(jì)計(jì)空空氣氣的的阻阻力力 2 1 21 002000ttgttvytvxv xyovxvyv0v. , , )1( 00可可由由切切線線的的斜斜率率來(lái)來(lái)反反映映切切線線方方向向時(shí)時(shí)刻刻的的即即軌軌跡跡在在時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向在在tt)cos()21sin()()( 020 tvgttvtxtydxdy, cossin00 vgtv . cossin 0000 vgtvdxdytt 軸方向的分速度分別為軸方向的分速度分別為、刻沿刻沿炮彈