1、數值分析課程輔導要點第一章 緒論一、基本要求1. 掌握誤差的基本概念與數值運算中誤差分析的原則和方法。2. 了解誤差的來源。二、重點誤差分析的原則和方法。第二章 插值法一、基本要求1. 掌握多項式插值公式的存在唯一性條件及其余項表達式的推導。2. 熟練掌握拉格朗日插值多項式及其基函數的性質。3. 牛頓插值多項式的構造方法，掌握差商的計算過程及有關性質。4. 掌握構造埃爾米特插值多項式的基函數法。5. 了解逐次線性插值與分段低次插值。6. 理解三次樣條函數及三次樣條插值函數的定義及其構造方法。二、重點拉格朗日插值公式，插值余項；均差，牛頓插值公式；埃爾米特插值。第三章 函數逼近與計算一、基本要求

2、1. 理解最佳一致逼近與最佳平方逼近的概念。2. 會用切比雪夫定理構造最佳逼近函數。3. 能正確應用法方程組，獲得最佳平方逼近函數。4. 掌握曲線擬合的最小二乘方法，并能用該方法解決一些實際問題，如曲線擬合，解矛盾方程等。5. 熟知正交多項式的有關性質，能用正交多項式獲得最佳平方逼近多項式及最佳一致逼近多項式。二、重點最佳平方逼近多項式；勒讓德多項式；切比雪夫多項式；一般的最小二乘逼近。第四章 數值積分與數值微分一、基本要求1. 掌握數值積分的基本思想，各類求積公式的構造方法。2. 理解代數精度的概念及插值型求積公式的概念。3. 掌握牛頓柯特斯公式，了解其與高斯公式的異同。4. 會利用外推原理

3、提高計算精度。5. 會利用待定系數法、正交多項式構造高斯公式。6. 會利用插值法構造數值微分公式。二、重點柯特斯系數；龍貝格算法；高斯勒讓德多項式；高斯切比雪夫多項式。第五章 常微分方程數值解法一、基本要求1了解常微分方程數值解法的研究內容，掌握構成方法的基本思想及其各方法的異同點。2掌握尤拉法、改進的尤拉法、隱式尤拉法和梯形方法的基本公式和構造。3掌握龍格-庫塔方法的基本思想，會進行二階龍格-庫塔方法的推導，能用四階經典龍格-庫塔公式求解微分方程。4會求單步法的局部截斷誤差及方法的階。5了解單步法的收斂性與穩定性。6了解線性多步法構造方法。二、重點尤拉公式；后退的尤拉公式；梯形公式；改進的尤

4、拉公式；泰勒級數法；龍格-庫塔方法的基本思想；二階龍格-庫塔方法；基于泰勒展開的構造方法。第六章 方程求根一、基本要求1. 掌握用迭代法求方程近似根的基本思想；理解迭代過程的全局、局部收斂性定理并會判斷迭代過程的收斂階。2. 二分法是求方程實根的一種大范圍收斂的方法。若給定近似解的誤差和二分區間，能預估二分次數。3. 理解牛頓迭代公式是如何推導的，會用牛頓法求方程的近似根。4. 了解弦截法與拋物線法。二、重點二分法；迭代過程的收斂性；牛頓公式。第七章 解線性方程組的直接方法一、基本要求1. 對每一個方法，應弄清楚它的基本思想，適用范圍，計算公式以及對于誤差的估計。2. 掌握高斯消去法及高斯列主

5、元消去法，能用這兩種方法求解方程組及計算矩陣的行列式。3. 掌握杜利特爾分解法的唯一可分的充分條件，分解形式，計算次序和算法的穩定性。4. 掌握對稱正定矩陣的三角分解的分解形式，計算次序和算法的穩定性。5. 會應用改進的平方根法與追趕法。6. 掌握向量、矩陣范數和矩陣的條件數的定義，了解它們的性質，能利用條件數判別方程組是否病態以及對方程組的直接方法的誤差進行估計。二、重點高斯消去法；高斯列主元消去法；杜利特爾分解；向量范數；矩陣范數；條件數。第八章 解線性方程組的迭代法一、基本要求1. 掌握雅可比迭代法和高斯-塞德爾迭代法的計算分量形式、矩陣形式和它們的迭代矩陣表示式。2. 會應用超松弛迭代法解線性方程組。3. 理解迭代法收斂的充要條件，會用迭代陣的譜半徑判明迭代法的收斂性。4. 能用迭代陣的范數判別迭代法的收斂性。5. 會根據方程組系數矩陣的嚴格對角優勢性，判明雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代對任意初始向量的收斂性。6. 掌握方程組的系數矩陣是對稱正定陣時， 高斯-塞德爾迭代法及松弛因子滿足必要條件的超松弛迭代法對任意初始向量均收斂的結論。二、重點雅可比迭代法；高斯-塞德爾迭代法；迭代法的收斂條件；