1、第五章導數的應用上一章我們學習了導數的定義及運算法則，本章將利用函數的導數這一工具來研究函數的某些性質，主要有洛必達法則求函數極限.函數的單調性與極值.曲線的凹凸性與拐點，并利用極值與最值知識解決幾何和經濟領域中的應用問題.本章主要內容： Ø 洛必達法則 Ø 函數的單調性Ø 函數的凹凸性與拐點Ø 函數的極值與最值Ø 導數在經濟中的應用本章重點：Ø 洛必達法則Ø 函數的單調性Ø 函數的極值與最值Ø 函數的凹凸性及拐點本章難點：Ø 洛必達法則Ø 函數的極值與最值Ø 函數的凹凸性及

2、拐點Ø 導數在經濟中的應用 Ø 洛必達法則 Ø 函數的極值與最值 Ø 函數的凹凸性及拐點Ø 洛必達法則 Ø 函數的極值與最值 Ø 函數的凹凸性及拐點學習要求：掌握：Ø 會用洛必達法則求極限Ø 會求函數的單調區間與極值Ø 會求曲線的凹凸區間了解：Ø 導數在經濟中的應用第一節 洛必達法則如果函數當時，其分子.分母都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在，通常把這種類型的極限稱為未定型，并分別簡記為或.除此以外，未定式還包含型極限問題，這些問題的求解都要借助，型問題的求解.本節

3、我們將介紹一種應用范圍更廣的求極限的方法洛必達（LHospital）法則，該法適用于，型極限的求解.一.型不定式定理1 若函數和滿足下列條件：（1）；（2）在點的某鄰域內（除外）與都存在，且；（3）存在（或為無窮大）， 則 =例1. 求.解 這是型不定式,而且滿足定理1的其他條件，應用洛必達法則有. 例2. .解 這是型不定式,應用洛必達法則有:=.例3. .解 .例4. .解 .定理2 若和滿足下列條件：(1) (2) 當足夠大時, 與存在，且；(3) 存在（或為無窮大）,則 =.例5. 求.解 這是型不定式，并且滿足定理2的條件，可應用洛必達法則有：=.例6. 求.解 這是型不定式，可應用

4、洛必達法則有：.注意，當極限不是型不定式時，不能使用洛必達法則，否則會導致錯誤的結果.如果利用洛必達法則之后所得到的導數之比的極限仍是未定式，且滿足洛必達法則條件，那么可重復使用洛必法則，如例3，例4.二.型不定式定理3 若和滿足下列條件：（1）；（2）在的某鄰域內（除外）與存在，且；（3）存在（或為無窮大），則 =.定理4 若和滿足下列條件：(1) ；(2) 當足夠大時, 與存在，且；(3) 存在（或為無窮大），則 =.例7. 求.解 這是型不定式，并且滿足定理4的條件，可使用洛必達法則.例8. 求.解 這是型不定式，可使用洛必達法則.例9. 求.解 .三.其他類型未定式 其他類型未定式包含

5、，等極限，這些類型的極限可以通過代數的方法恒等變形化為型或型的不定式，再用洛必達法則進行運算.1.型 若, ，則 或 前者化為型，后者化為型，至于將型是化為型還是化為型，要看哪種形式便于計算來決定.例10. 求.解 這是型不定式，可將其化為型求解， .2.型 若, ,則稱型，對于此種不定式，常見的求解方法是將函數進行通分，化為型或型，再應用洛必達法則求解.例11. 求.解 這是型，先將所給極限通分，變形為型，.3.型，型，型這三種不定式都是冪指函數的極限問題，求解方法如下：（1）取對數，令，（2）函數的極限為型，借助以上方法若求得，則.例12. 求.解 這是型不定式，令取對數則有， ，故 .例

6、13. 求.解 這是型，令，取對數有,則 ，故 .習題5.11.用洛必達法則求下列極限.（1）（2）（3）（4）（5） （6） (7) （8）（9） （10） （11） （12） （13） （14） 2.求下列極限.（1） （2） （3） （4） （5） （6） 第2節 函數的單調性與曲線的凹凸性 為了確定函數的圖形，我們需要知道曲線是上升的還是下降的以及曲線是怎樣彎曲的，從這一節我們將會看到，曲線的這些特征與函數的一階及二階導數有著密切的關系.這一節，我們將利用導數來研究函數在區間上的變化性質.一.函數的單調性如果函數在上單調增加（單調減少），那么它的圖形是一條沿軸正向上升（下降）的曲線,如

7、圖5.1.這時曲線各點處的切線斜率是非負的（是非正的），即（或). 圖5.1(a)圖形上升時切線斜率非負 圖5.1(b)圖形下降時切線斜率非正定理5 設函數在上連續，在內可導，則有:(1) 如果在內,，那么一函數在a.b上嚴格單調增加；(2) 如果在內，那么，函數在a.b上嚴格單調減少.其中，單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數，a,b 稱為單調區間.例1. 討論函數的單調性.解 函數的定義域為,且， 令得 在區間內，所以函數在內單調增加；又在區間內，所以函數在內單調減少.例2. 討論函數的單調性.解 所給函數的定義域為(,)，列表如下（）（1,+）+-+由此可知，在內及內函數單調增加；在內

8、函數單調減少. 例3. 討論函數的單調性.解 函數的定義域是,故函數在其定義域內是單調增加的.說明：確定函數如的單調步驟是：(1)確定函數定義域，求出及不存在的點(2)用導數為零的點及不可導點分割的定義域(3)討論每個分割區間上符號，根據的符號確定的單調性.二. 曲線的凹凸性與拐點定義1 設函數=在上連續，若對于任意有（1）曲線弧=過點的切線總位于曲線弧=的下方，則稱曲線弧=在上為凹的；（2）曲線弧=過點的切線總位于曲線弧=的上方，則曲線弧=在上為凸的.c圖5.2如圖5.2所示，曲線=在上為凹的，在上為凸的.如果=在內二階可導，則可以利用二階導數的符號來判定曲線弧的凹凸性.定理6（曲線凹凸性的

9、判定） 設函數=在上連續，在內二階可導，（1）若在內，則曲線弧=在上為凹的；（2）若在內，則曲線弧=在上為凸的.定義2 如果連續曲線=上一點是凹弧與凸弧的分界點，則這點稱為曲線的拐點. 例4. 判定曲線的凹凸性.解 函數的定義域為（）且，,顯然：當時，此時曲線為凹的； 當時，此時曲線為凸的； 點是曲線的拐點.注意：求曲線的凹凸性的一般步驟是：(1) 確定函數定義域，求出及不存在的點；(2) 用二階導為零的點及不可導點分割的定義域；(3) 討論每個分割區間上的符號，根據的符號確定曲線的凹凸性及拐點.例5. 求曲線的凹凸區間及拐點.解 函數的定義域是（）且，,令，得.故當時，此時曲線為凹的；當時，

10、此時曲線為凸的；點是曲線的拐點. 例6. 求曲線的凹凸區間及拐點.解 函數的定義域是（）且，令，得，列表分析如下+-+凹的拐點凸的拐點凹的因此，曲線在區間和上是凹的，在區間上是凸的，拐點是和.例7. 判斷曲線的凹凸區間及拐點.解 函數的定義域是,且，,可得函數的不可導點是，顯然，當時，此時曲線為凹的；當時，此時曲線為凸的；但在處函數值不存在，故沒有拐點.習題5.21.求下列函數的單調區間. (1) （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2. 求下列曲線的凹凸性及拐點.（1） （2） （3） （4） （5） （6） 3. 若點為曲線的拐點，求的值.第三節 函數的極值與最值在應用

11、問題中，常常要計算某種量的最優值，在數學上可以把這類問題歸結為求某一個函數在一定范圍內的最大值.最小值問題，最大值.最小值問題統稱為最值問題，函數的最值有著廣泛的應用場合，如“用料最省”.“產值最高”.“質量最好”.“耗時最少”等問題，都是最值問題.為了研究最值問題，我們先討論函數的極值問題.一.函數的極值定義1 設函數在的某鄰域內有定義，若對該鄰域內任一點恒有：（1）,則稱是函數的極大值，并稱為的極大值點；（2）,則稱是函數的極小值，并稱為的極小值點.函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，極大值點和極小值點統稱為極值點.圖5.3關于極值的概念，還需注意如下幾點：（1）函數在同一區間上可能有幾

12、個極小值，如圖5.3所示，均是的極小值，均是的極大值.（2）函數的極大值未必比極小值大，如圖5.3,的極小值大于極大值.（3）函數的極值一定出現在區間內部，在區間端點不能取得極值.觀察圖5.3，我們可以發現，可導函數在取得極值處的切線是水平的，即極值點處必有，于是得出如下定理：定理7（極值的必要條件） 設在點處可導，且在點處取得極值，則必有.使導數等于零的點叫做函數的駐點.定理7可以簡記為:可導的極值點必是駐點.關于定理7，需要注意幾點：（1） 駐點不一定是的極值點.如是函數的駐點，但不是極小值點；（2） 函數的極值點未必是駐點.如是函數的極小值點，但不存在.定理8（極值的第一充分條件） 設在

13、點連續,在點的某一鄰域內可導，且（或不存在)，如果在該鄰域內（1）當時，;當時，則為的極大值點；（2）當時，;當時，,則為的極小值點.如果在的兩側保持相同符合，則不是的極值點.如圖5.4. 圖5.4例1. 求的極值與極值點.解 函數的定義域為（）,令得函數的駐點，在（）內存在.列表分析：（）01（1,+）0+0+極小值非極值為所給函數的極小值點，極小值.例2. 求的極值與極值點.解 函數的定義域為（），且,得到不可導點,列表分析：（）0（）不存在+極小值所以為函數的極小值點，極小值.定理9（判定極值的第二充分條件） 設函數在點處是有二階導數，且，則（1） 當時，為的極大值點；（2）當時, 為的

14、極小值點.例3. 求函數=的極值.解 的定義域為（),= ，=,令=0得駐點，因, 故 為極大值；又因 故為極小值.例4. 求函數=的極值.解 的定義域為（） ，,令 得駐點, 所以 為極小值.二.函數的最值 求函數的最值問題也就是求函數在一定范圍內的最大值或最小值問題.在生產實踐中，為了提高經濟效益，必須考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費用最低，收益最大等問題，這類問題都歸結為最值問題.定義1 設函數=在閉區間上連續，若存在,使對任意,均有（）成立，則稱為函數在區間上的最大（小）值，點稱為在區間上的最大（?。┲迭c，最大值和最小值統稱為最值.前面我們已經知道：閉區間上的連續函數一定存在

15、著最大值和最小值，顯然連續函數在閉區間上的最大值和最小值是能在區間內的極值點和區間端點處達到，因此可直接求一切可能的極值點，（包括駐點和不可導點）和端點處的函數值，比較這些函數值的大小，即可得出函數的最大值和最小值. 例5. 求函數=在上的最大值和最小值.解 因為=在上連續，所以在上存在著最大值和最小值，又因為 =,令得駐點,由于比較各值可得函數的最大值為，最小值為.例6. 在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，如圖，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱子的容積最大，最大容積是多少？解 設箱底邊長為cm，則箱高cm，箱子的容積，令得駐點（舍去），并

16、求得，由題意可知，當時，箱子容積最大，最大容積是16000cm3. 例7.（利潤問題） 某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣10件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大？解 設每件漲價元，利潤為元，則，令駐點是,所以時，利潤取得極大值，即最大值，即定價定為65元時，利潤最大.習題5.31. 填空題.（1）若函數在點處取極大值2，則 ， .（2）曲線共有_個極值.（3）函數的極大值為_.（4）函數在區間上的最大值為 ，最小值為 .（5）函數的最大值為 ，最小值為 .2. 選擇題.（1）下列函數中沒有極值點的是（ ） A. B. C

17、. D.（2）函數在點處取極大值，則必有（ ） A. B. C. D.或不存在（3）函數的極大值為m,極小值為n, 則m+n為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3（4）下列說法正確的是（ ） A. 連續函數的極值一定是最值 B. 連續函數的最值一定是極值 C. 可導函數的極值點一定是駐點 D. 極大值一定比極小值大3. 求下列函數的極值. (1) (2) (3) (4) 4. 求下列函數在給定區間上的最大值和最小值. （1）（2） （3）,5. 某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么半個月內可以售出400件根據銷售經驗，提高單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元

18、，銷售量相應減少20件如何提高售價，才能在半個月內獲得最大利潤？第四節導數的經濟應用一.邊際邊際概念是經濟學中的一個重要概念，通常指經濟變量的變化率，即經濟函數的導數稱為邊際. 而利用導數研究經濟變量的邊際變化的方法，就是邊際分析方法.1.總成本.平均成本.邊際成本總成本是生產一定量的產品所需要的成本總額，通常由固定成本和可變成本兩部分構成.用c(x)表示，其中x表示產品的產量，c(x)表示當產量為x時的總成本.不生產時，這時，就是固定成本.平均成本是平均每個單位產品的成本，若產量由x0變化到，則：稱為c(x)在內的平均成本，它表示總成本函數c(x)在內的平均變化率.而稱為平均成本函數，表示在

19、產量為x時平均每單位產品的成本.例1. 設有某種商品的成本函數為：其中x表示產量（單位：噸），c(x)表示產量為x噸時的總成本（單位：元），當產量為400噸時的總成本及平均成本分別為：如果產量由400噸增加到450噸，即產量增加=50噸時，相應地總成本增加量為：這表示產量由400噸增加到450噸時，總成本的平均變化率，即產量由400噸增加到450噸時，平均每噸增加成本13.728元.在經濟學中，邊際成本定義為產量增加或減少一個單位產品時所增加或減少的總成本.即有如下定義： 定義1 設總成本函數為一可導函數，其中C為總成本,Q為產量，則稱總成本對產量的導數為邊際成本，記作MC，即邊際成本函數為.

20、其經濟意義是： 產量為時，若再增加（減少）一個單位產品，總成本近似地增加（減少）個單位.例2. 設某商品的總成本函數=,求Q=4時的邊際成本并解釋其經濟意義.解 由=得邊際成本函數 =當Q=4時，邊際成本，這表明當產量為4時，若再增加（減少）一個單位產品，總成本將近似地增加（減少）28個單位.二.彈性1.需求價格彈性需求指在一定價格條件下，消費者愿意購買并且有支付能力購買的商品量.消費者對某種商品的需求受多種因素影響，如價格.個人收入.預測價格.消費嗜好等，而價格是主要因素.因此在這里我們假設除價格以外的因素不變，討論需求對價格的彈性.設某商品的市場需求量為Q，價格為P，需求函數Q=Q(P)可

21、導，則稱為該商品的需求價格彈性，簡稱為需求彈性，通常記為.一般情況，需求彈性表示商品需求量Q對價格P變動的反應強度. 由于需求量與價格P反方向變動，即需求函數為價格的減函數，故需求彈性為負值，即0.在點的需求價格彈性，記作即=.設商品的價格為P時，需求量為Q，需求價格彈性的經濟意義是：在價格為P時，如果價格提高或降低1%，需求量將由Q起減少或增加（近似地）%，所以需求價格彈性反映了當價格變動時需求量變動時價格變動的靈敏程度.例3. 已知某商品需求函數為，求價格P=10，25時的需求價格彈性，說明它的經濟意義.解 由于, 則=當P=10時，=-0.25 ,此時Q=80,這說明在價格P=10時，若

22、價格提高或降低1%需求量Q將由80起減少或增加0.25%；當p=25時，= ,此時Q=50,這說明在價格p=25時，若價格提高或降1%，需求量Q將由50起減少或增加1%.2.供給價格彈性 設某商品供給函數可導，（其中P表示價格，Q表示供給量）則稱：為該商品的供給價格彈性，簡稱供給彈性，通常用表示.一般因假設供給數是單調增加的，即，又P0，,所以供給價格彈性取正值.設商品的價格為P時，供給量為Q，供給價格彈性的經濟意義是：在價格為P時，如果價格提高或降低1%，供給量將由Q起增加或減少%.例4. 已知某種產品的供給函數為,求價格為P=5時給的價格彈性，并說明它的經濟意義.解 由于， 則=當時, =, 此時上述結果表明：當價格為5時，若價格提高或降低1%，則供給將由8起增加或減少1.25%.習題5.41.填空題.（1）設某產品的產量為千克時的總成本函數為（元），則產量為100千克時的總成本是元；邊際成本是元，這時的邊際成本表明，當產量為100千克時，若再增產1千克，其成本將增加元.（2）某商品的需求函數為，則其需求價格彈性為，當 =2時的需求彈性為 ,若價格提高或