1、 容斥問題（一）容斥問題涉及到一個(gè)重要的原理包含與排除原理，也稱為容斥原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)地計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。這一講我們先介紹容斥原理1對(duì)n個(gè)事物，如果采用兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖1），那么，具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=Na+Nb-Nab。例1一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有12人，訂閱今日少年報(bào)的有9人，兩種報(bào)紙都訂閱的有5人。（1）訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)有多少？（2）兩種報(bào)紙都沒訂閱的有多少人？例2一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語的有24人，會(huì)俄語的有18人，兩樣都不會(huì)的有4人，兩樣都會(huì)的有多少人？例3在1到100的全

2、部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？例4藝術(shù)節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展了了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品，其中有23幅畫不是五年級(jí)的，有21幅畫不是六年級(jí)的，五、六年級(jí)參展的畫共有8幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅？練習(xí)與思考1.將邊長(zhǎng)分別為4厘米和5厘米的正方形紙片部分重疊，蓋在桌面上（如圖6），已知重疊的部分為9平方厘米，兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米？ 2二（2）班有50名學(xué)生，下課后每人都至少做完了一門作業(yè)，其中做完語文作業(yè)的有35人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人，兩種作業(yè)都做完的有多少人？3有62名學(xué)生，其中會(huì)彈鋼琴的有11名，會(huì)吹豎笛的有56名，兩樣都不會(huì)的有4名，兩樣

3、都會(huì)的有多少名？4某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人，數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人，有3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)的，兩項(xiàng)比賽都沒獲獎(jiǎng)的有多少人？5四（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中有25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加航模水組，有19人兩個(gè)小組都參加了，那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？6在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對(duì)第1題的有35人，答對(duì)第2題的有28人，這兩題都答對(duì)的有20人，沒有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)？7一個(gè)俱樂部里，會(huì)下中國象棋的有69人，會(huì)下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人，都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂部里有多少人？8某

4、班上體育課，全班排成4行（每行的人數(shù)相等），小芳排的位置是：從前面數(shù)第6個(gè)，從后面數(shù)第7個(gè)。這個(gè)班共有多少名學(xué)生？9在1到200的全部自然數(shù)中，既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？10科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品，其中有114件不是一年級(jí)的，有96件不是二年級(jí)的，一、二年級(jí)參展的作品共32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件？ 容斥問題（二）這一講介紹容斥原理2 n個(gè)事物，如何采用三種不同的分類標(biāo)準(zhǔn)：按性質(zhì)a 分類、性質(zhì)b分類與性質(zhì)c分類（如圖1），那么，具有性質(zhì)a或b或c的事物的個(gè)數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。例1五（1）班的全體

5、學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目和人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球17人18人15人6人6人6人2人求全班人數(shù)。例2某班有學(xué)生50人，參加無線電小組，航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人，其中既參加無線電小組又參加航模小組的有4人，既參加航模小組又參加生物小組的有5人，既參加生物小組又參加無線電小組的有3人。已知全班每人都至少參加了以上三個(gè)小組中的某一個(gè)，那么，三個(gè)小組參加的學(xué)生有多少人？例3一個(gè)體育鍛煉小組有35名男生，規(guī)定他們至少參

6、加籃球、排球、足球三個(gè)球隊(duì)中的一個(gè)。結(jié)果參加籃球隊(duì)的有16人，參加排球隊(duì)的有11人，參加足球隊(duì)的有20人，其中有4人既參加了排球隊(duì)又參加了籃球隊(duì)，有3人既參加了排球隊(duì)又參加了足球隊(duì)，沒有人三個(gè)球隊(duì)都參加。既參加籃球隊(duì)又參加足球隊(duì)的有多少人？例4.松山小學(xué)45名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競(jìng)賽。有21人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，15人參加作文競(jìng)賽，其中7人既參加作文競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，3人既參加作文競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽，但沒有一人既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽。（1）只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有多少人？（2）只參加作文競(jìng)賽的有多少人？（3）只參加美術(shù)競(jìng)賽的有多少人？練習(xí)與思考1有30名運(yùn)動(dòng)員、其中18人會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)，16人會(huì)撐

7、桿跳高，10人三級(jí)跳遠(yuǎn)、撐桿跳高都不會(huì)。既會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)又會(huì)撐桿跳高的運(yùn)動(dòng)員有多少名？2操場(chǎng)上的學(xué)生排成10路縱隊(duì)做操，每路縱隊(duì)的人數(shù)同樣多，小明站在第4路縱隊(duì)，從排頭數(shù)他是第13人，從后往前數(shù)他是第8人。操場(chǎng)上有多少人在做操？3一個(gè)年級(jí)有120人愛好數(shù)學(xué)，100人愛好語文，85人愛好美術(shù)，30人既愛好數(shù)學(xué)又愛好語文，20人既愛好語文又愛好美術(shù)，35人既愛好美術(shù)又愛好數(shù)學(xué)，有18人三個(gè)學(xué)科都愛好。請(qǐng)問：這個(gè)年級(jí)中數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個(gè)學(xué)科至少愛好一個(gè)學(xué)科的學(xué)生有多少人？4某班全體學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)、語文、英語三個(gè)科目的測(cè)試，有8名學(xué)生在這三個(gè)科目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)科目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)

8、生達(dá)到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表：數(shù)學(xué)語文英語數(shù)學(xué)、語文語文、英語英語、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、語文、英語2016164 453全班一共有多少名學(xué)生？5第三小隊(duì)的學(xué)生有20人，手中分別拿有紅、黃藍(lán)三種顏色的球，已知手中有紅球、黃球、藍(lán)球折學(xué)生人數(shù)分別為10人、10人、6人，其中手中既有紅球又有黃球的有3人，既有黃球又有藍(lán)球的有2人，既有藍(lán)球又有紅球的有4人。已知全隊(duì)每人手里都至少有一種顏色的球，那么，手中三種顏色的球都有多少人？6某班50名同學(xué)全部參加數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個(gè)課外興趣小組，參加數(shù)學(xué)小組的有29人，參加語文小組的有21人，參加美術(shù)小組的有25人，有17人既參加數(shù)學(xué)小組又參加美術(shù)小組，有15人既參加數(shù)學(xué)

9、小組又參加語文小組，有10人既參加語文小組又參加美術(shù)小組。三個(gè)小組都參加的有多少人？7有學(xué)生30名，他們中有部分學(xué)生參加了乒乓球，羽毛球、排球三個(gè)訓(xùn)練小組，各組人數(shù)分別為14人、12人、10人，其中既參加羽毛球小組又參加排球小組的有4人，既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有6人，既參加乒乓球小組又參加排球小組的有5人，三個(gè)小組都參加的有1人。這些學(xué)生中這三個(gè)小組都沒有參加的有幾人？8某外語學(xué)習(xí)班有40名學(xué)員，規(guī)定他們至少學(xué)習(xí)英語、日語、德語中的一咱。結(jié)果學(xué)習(xí)英語的有20人，學(xué)習(xí)日語的有12人，學(xué)習(xí)德語的有18人，其中有5人既學(xué)習(xí)了英語又學(xué)習(xí)了日語，有2人既學(xué)習(xí)了日語又學(xué)習(xí)了德語，沒有人同時(shí)學(xué)習(xí)

10、三咱語言。既學(xué)習(xí)英語又學(xué)習(xí)德語的有多少人？9四（1）班有55名學(xué)生參加音樂、美術(shù)、體育興趣組。有22人參加美術(shù)組，有21人參加音樂組，其中15人既參加音樂組又參加美術(shù)組，3人既參加音樂組又參加體育組，但沒有一人既參加美術(shù)組又參加優(yōu)育組。（1）只參加美術(shù)組的有多少人？（2）只參加音樂組的有多少人？（3）只參加音樂組的有多少人？能力測(cè)試（三）（滿分100分，90分鐘完成）一、填空題（每空6分，共54分）。1小英有2分、5分的硬幣共35枚，一共是1元1角5分，2分硬幣有（ ）枚，5分硬幣有（ ）枚。2從舊舊歷中知道，1988年元旦昌星期五，那么，2000年元旦是星期（ ）。3買5元1千克的糖和8元1

11、千克的糖共10千克，用去71元。5元1千克的糖有（ ）千克，8元1千克的糖有（ ）千克。4圖中共有（ ）個(gè)正方形。圖中菜有（ ）個(gè)三角形。5新華小學(xué)四年級(jí)共40個(gè)學(xué)生采集標(biāo)本，采集昆蟲標(biāo)本的有27人，采集植物標(biāo)本的有21人，兩種標(biāo)本都采集的有（ ）人。6某班學(xué)生去圖書館借書，每人都借了語文或數(shù)學(xué)課外書，統(tǒng)計(jì)結(jié)果是：借語文書的39人，借數(shù)學(xué)書的32人，語文、數(shù)學(xué)兩種書都借的有26人，全班學(xué)生共（ ）人。二、應(yīng)用題（第1題10分，其余每題9分，共46分）。1英文字母A，B，C，D，按規(guī)則排列為ABAACCDABAACCD共250個(gè)字母，最后一個(gè)字母是什么？A，B，C，D各有多少個(gè)？2四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)比賽，規(guī)定算對(duì)一題得5分，錯(cuò)一題扣2分。試卷上共有20道題，李華得了86分，他算對(duì)了多少道題？3一個(gè)停車場(chǎng)上共停汽車、三輪摩托車25輛，其中汽車有4個(gè)輪子，三輪摩托車有3個(gè)輪子。這些車共有90個(gè)輪子