1、第46卷第4期2003年7月 地球物理學報CHINESEJOURNALOFGEOPHYSICS Vol.46,No.4 July,2003廣義S變換與薄互層地震響應分析高靜懷 陳文超 李幼銘 田 芳2中國科學院地質與地球物理研究所,北京 1000293大慶油田公司勘探開發研究院方法室,大慶 16371211231西安交通大學電子與信息工程學院波動與信息研究所,西安 710049摘 要 Stockwell等人提出的S變換雖然與Fourier譜能保持直接聯系,然而,由于S變換中的基本小波不適用于地震資料處理.為此本文采用兩個步驟對S變換加以推廣,得到兩種新變換(統稱為廣義S變換).首先,用帶有4個

2、待定參數的調幅簡諧波來代替S變換中的基本小波,定義廣義S變換1,給出對應的逆變換;然后,以第一步中的基本小波的線性組合為新的基本小波,定義廣義S變換2,并構造其逆變換公式.最后,分別使用S變換及廣義S變換對幾種典型的薄互層模型進行分析計算.結果表明,后者比前者有更強的探測能力,后者可準確地確定厚度為1P8波長的薄互層中波阻抗界面位置,但前者卻不能.文中還用實際資料處理的結果,證明了廣義S變換方法的有效性.關鍵詞 S變換 廣義S變換 小波變換 薄互層探測 地震響應分析文章編號 0001-5733(2003)04-0526-07 中圖分類號 P631 收稿日期 2002-03-08,2003-03

3、-07收修定稿GENERALIZEDSTRANSFORMANDSEISMICRESPONSEANALYSISOFTHININTERBEDSGAOJINGHUAI1 CHENWENCHAO1 LIYOUMING2 TIANFANG31 InstituteofWaveandInformation,SchoolofElectronicandInformationEngineering,Xi.anJiaotongUniversity,Beijing710049,China2 InstituteofGeologyandGeophysics,ChineseAcademyofScience,Beijing1

4、00029,China3 InstituteofExplorationandExploitationforOil,DaqingOilFieldLimitedCompany,Daqing163712,ChinaAbstract Stransform(ST)proposedbyStockwelletal.istheuniquetransformthatprovidesfrequency-dependentresolutionwhilemaintainingadirectrelationshipwiththeFourierspectrum.Thisfeatureisveryimportantfora

5、pplications.However,theSTcan.tworkwellforseismicdataanalysissinceitsbasicwaveletisnotappropriate.Inthispaper,theSTisgeneralizedwithtwosteps,andtwokindsofnewtransformsareobtained,whicharecalledgeneralizedStransform(GST).First,thebasicwaveletinSTisreplacedbyamodulatedharmonicwavewithfourundeterminedco

6、efficients,andthenanewtransformanditsinversearegiven,calledGST1.Second,takingalinearcombinationofthebasicwaveletsinstep1asanewbasicwavelet,calledGST2,anditsinverseisconstructed.TocompareSTandGST,theSTandGSTmethodsareusedtoanalyzeseveraltypicalmodelsofthinbeds,respectively.TheresultsshowthatGSThasabe

7、tterresolutionthanST.TheGSTmethodscandeteminethelocationofinterfacesofacousticimpedanceinthinbedsofthicknessbeingonlyaneighthwavelength,whileSTmethodcan.t.Inthisstudy,theeffectivenessofGSTmethodisalsoverifiedbyrealdata.Keywords Stransform,GeneralizedStransform,Wavelettransform,Detectionofthinbeds,Se

8、ismicresponseanalysis.基金項目 國家自然科學基金項目(40174032),科技部和國家自然科學基金重大項目(49894190).作者簡介 高靜懷,男,1960年生,1997年于西安交通大學獲博士學位,教授,博士生導師.主要從事復雜介質中地震波傳播與成4期 高靜懷等:廣義S變換與薄互層地震響應分析527定義1 引 言Stockwell等提出的S變換是以Morlet小波為基本小波的連續小波變換的延伸.在S變換中,基本小波是由簡諧波與Gaussian函數的乘積構成的,基本小波中的簡諧波在時間域僅作伸縮變換,而Gaussian函數則進行伸縮和平移。這一點與連續小波變換不同.在連續

9、小波變換中,簡諧波與Gaussian函數進行同樣的伸縮和平移.與連續小波變換、短時Fourier變換等時間-頻率域分析方法相比,S變換有其獨特的優點,譬如:信號的S變換的時-頻譜的分辨率與頻率(即尺度)有關,且與其Fourier譜保持直接的聯系,基本小波不必滿足容許性條件等等.眾所周知,信號的時間-頻率域分布特性既與信號本身有關,也與所選用的基本小波有關.因此,根據對信號做時間-頻率域分析的目的,恰當地選擇或構造基本小波是十分重要的25,81wf(t)=exp(-tfP2-i2Pft)2P(3a)22=gf(t)exp(-i2Pft).其中,fexp(-tfP2),(3b)2P式中,wf(t)

10、為廣義S變換中的小波函數(或稱為核gf(t)=函數),gf(t)為其模,h(t)為待分析的信號(或函數),f、t和S均為實數.則(1)式可寫為S(S,f)=Qh(t)g(t-fS)exp-i2Pdt.(4)h(t)的S變換譜與其Fourier變換譜有如下關系QS(S,f)dS=-h(f),這里,h(f)表示h(t)的Fourier變換.S變換的逆變換為h(t)=2P-.然而,S變換中基本小波是固定的,這使其在應用中受到限制,在有些情況下不適用.例如,在地震資料處理中,準確地確定反射界面的位置(即確定反射系數的位置)是十分重要的,用S變換進行薄層分析,效果不能令人滿意(參見本文第4部分),因此,

11、有必要對S變換加以發展.本文將對S變換進行推廣以得到廣義S變換.構造一大類可用作廣義S變換中基本小波的函數,給出相應的反變換公式;把S變換及廣義S變換用于薄互層分析,通過算例對兩種方法進行比較,文中還給出廣義S變換方法用于實際資料處理實例,以檢驗其有效性.S(S,f)dexp(i2Pft)df.-(5)3 廣義S變換針對地震信號的特點把基本小波推廣為(t-B)-i2Pf0,w(t)=Aexp-A(6)式中,A為基本小波的幅度,A為能量衰減率(A>0)(在后面的數值算例中,取A=2R,R>0),B為能量延遲時間,f0為基本小波的視頻率.定義wf(t)=Afexp-A(ft-B)-i2

12、Pf0f,=gf(t)exp(-i2Pf0ft),(7a)2 S變換Stockwell的S變換表述如下:設函數h(t)IL(R) (L(R)表示能量有限函數空間),h(t)的S變換定義為S(S,f)=1其中,gf(t)=Afexp-A(ft-B).(7b)廣義S變換1:設函數h(t)IL(R),w(t)由(6)式給出,h(t)相對于w(t)的廣義S變換定義為Qh(t)-(t-S)fP2-P(1)S(f,S)=Qg(t-ff0fdt,S)h(t)exp-i2P(8)i2Pftdt.在S變換中,基本小波函數為w(t)則廣義S變換的反變換公式為=f0IFT(9)y(f)(t),f0Ay(h528地球

13、物理學報(ChineseJ.Geophys.) 46卷y(f)=Q-S(S,f)dS=A(ff0).(10)則,反變換為h其中y(f)=f0=f0IFT(y(f)(t),A(13)當wf(t)由(3a)及(3b)式定義時,(8)式歸結到(1)式,廣義S變換回到S變換.上述結論的證明見附錄A.對第1種形式的廣義S變換中的基本小波加以推廣,有如下結果.廣義S變換2:2設函數h(t)IL(R),取基本小波為w(t)=EAkkkh(ff0),k.k(14)A=EAkEAk-Ak(t-Bk)-i2Pf0t2k上述結論的證明見附錄B.(11)=g(t)exp-i2Pf0,這里Ak、Bk與Ak均為待定參數,

14、g(t)=4S變換及廣義S變換用于薄互層地震響應分析4.1 模型Ricker子波在地震資料分析中是很常用的子波,為了比較S變換及廣義S變換的薄層分辨率,從考察單個Ricker子波在兩種變換下的能量分布開始.EAk-Ak(t-Bk)kf2,函數h(t)相對于w(t)的廣義S變換定義為S(S,f)=Qg(t-S)h(t)exp-i2Pf0dt,(12)圖1 Ricker子波在S變換及廣義S變換下的分布(a)細實線表示信號S(t)為Ricker子波,散點表示逆S變換的結果Sc(t);(b)S變換的結果;(c)s(t)-sc(t),重構信號的平均絕對誤差為8.6810-4;(d)對應圖b中頻率為355

15、Hz分量;(e)對應圖b中頻率為475Hz的分量;(f)廣義S變換的結果;(g)對應圖(f)中頻率為355Hz分量;(h)對應圖(f)中頻率為475Hz的分量.Fig.1 Thetime-frequencyenergydistributions(TFED)ofRickerwavelet4期 高靜懷等:廣義S變換與薄互層地震響應分析529圖2 雙反射界面模型的合成地震記錄的S變換及廣義S變換(a)反射系數序列,兩個反射系數之間的間隔為5ms;(b)合成記錄,地震子波為50Hz的Ricker子波;(c)圖b的S變換;(d)圖b的廣義S變換;(e)圖c中f=475Hz的頻率分量;(f)圖d中f=47

16、5Hz的頻率分量.Fig.2 TFEDofsyntheticseismicdataoftworeflectioncoefficientsviaSTandGST圖3 衰減余弦子波的廣義S變換(a)50Hz衰減余弦子波w(t)=exp-f2c(t-LP2)cos(2Pfc(t-LP2),fc=50,L=1024ms;(b)廣義S變換得到的能量分布;(c)對應圖b中f=440Hz的頻率分量.Fig.3 TFEDofattenuationcosinewaveletviaGST圖1為Ricker子波在兩種變換下的結果.由圖可見,兩種變換的逆變換精度都較高.為了對比分辨率,同時給出了S變換及廣義S變換中頻

17、率分別為355Hz及475Hz時的相應分量.對比相應分量可見,當頻率較高時,S變換的能量分布曲線發生畸變,而廣義S變換的能量分布曲線有很好的局部化特性.因此,廣義S變換較S變換有更好的分辨率.為了進一步比較二者對薄層的分辨能力,制作了雙反射界面,S變換方法無法確定反射系數的位置,而利用廣義S變換方法可精確定位,說明廣義S變換有更高的分辨率.前面的算例中,使用的地震子波均為Ricker子波,使用本文的方法可以準確地確定厚度為KP8(K為地震波的波長)的薄層中反射界面位置.Ricker子波的波峰及波谷較少,且主極大幅度值與次極大幅度值差別較9大,而實際記錄中子波震蕩周期數較多,主極大與次530地球

18、物理學報(ChineseJ.Geophys.) 46卷圖4 衰減余弦子波合成地震記錄的廣義S變換(a)合成地震記錄,其中地震子波同圖3,兩反射系數均為0.5,相距8ms,第一個反射系數位于500ms處;(b)用廣義S變換得到的能量分布;(c)對應圖(b)中f=350Hz頻率分量;(d)圖c中突變點附近部分的放大顯示.(e)在廣義S變換域定義新的測度而得到的圖a的時-頻域分布;(f)圖e中對應頻率為400Hz分量的放大顯示.Fig.4 TFEDofsyntheticseismicdataviaGSTusingattenuationcosinewavelet(以下稱為衰減余弦子波).圖3示出了這類

19、子波在廣義S變換下的能量分布特征,與Ricker子波相比,衰減余弦子波在時-頻域支集寬,分辨率較Ricker子波低.圖4(bd)示出了廣義S變換對這類子波合成地震記錄的處理結果.由圖可見,當兩個余弦子波相距8ms時,廣義S變換方法能識別出兩個反射波,但確定出的反射界面的位置誤差較大(大于4ms).為了提高精度,可以在廣義S變換域中定義新的度量參數.圖4(e,f)為在廣義S變換域定義一種新的參數得到的結果,該參數能細致地刻畫不同尺度間信號的變化(關于這種新參數的定義及性質將專文討論).由圖4f可見,這種方法能精確地確定出反射界面的位置.圖5是一個薄互層模型的例子,關于模型的詳細說明見該圖注.圖中

20、箭頭處薄層的厚度為3ms,圖5 薄互層模型的廣義S變換(a)反射系數序列,反射系數大小均為0.5,正負相間,反射系數間的時間間隔從上到下依次為:1、2、3、4、5、6、7、8、9ms等;(b)合成記錄,其中地震子波采用主頻為50Hz的Ricker子波;(c)廣義S變換得到的能量分布;(d)檢測出的反射系數的時間位置.即1P6視周期(KP12).由圖可見,利用廣義S變換方法可以把厚度大于KP12的層的相應的反射系數的位置精確地檢測出來.4.2 實際資料圖6是一個實際資料處理例子.圖6a是某油田的一條水平疊加剖面的一部分,圖6b是用廣義S變換方法處理后的結果.對比處理前后兩剖面上D(Fig.5 T

21、FEDofthininterbedsviaGST)tt22104期 高靜懷等:廣義S變換與薄互層地震響應分析531處)、地層的透鏡狀結構(B處)、透鏡狀結構加地層尖滅(C處)及地層間斷(D處)非常清晰,但在原始剖面上,不能準確地定位及解釋.圖6 實測地震記錄的廣義S變換分析(a)地震記錄;(b)經廣義S變換方法處理后的結果.Fig.6 TherealseismicdatageologicalstructuredetectingvisGST心感謝.5 結 論附錄A 廣義S變換1的證明本文對S變換作了推廣,給出的基本小波中含有四類待定參數(振幅、能量衰減率、能量延遲時間及視頻率等).根據所處理問題

22、的需要,通過選擇這些待定參數,可望構造出適合該問題的基本小波.文中的典型算例表明,恰當地選擇基本小波,廣義S變換可望成為地震資料處理中薄層(特別是薄互層)分析的有力工具.本文算例中地震子波采用零相位子波,在基本小波中取B=0,對非零相位子波或更復雜的子波,需恰當的選擇A及B等參數,甚至需要用廣義S變換2來解決問題.這方面的研究正在進行中.本文中舉例只是為了說明廣義S變換的有效性,沒有討論在廣義S變換域如何得到更高的分辨率問題,也沒有討論廣義S變換的性質及其與短時Fourier變換、小波變換的比較等問題,關于上述問題,將專文討論.感謝大慶油田研究院陳樹民總工程師、張爾華、單延明等對該項研究工作的

23、支持與合作.李世雄教y(f)=即注意到可得注意到8先考察QS(S,f)dS.事實上,QS(S,f)dS=AQh(t)fexp-i2PfQ-Af(t-S)-dt2dS,(A1)Q-Af(t-S)-2dS=22,(A2)QQh(t)-S(S,f)dS=Afexp-i2Pff0dt=Ah(ff0).h(ff0). (A3)Q-S(S,f)dS=AS(S,f)dS=A532則有h(f0f)=兩邊做Fourier逆變換,得IFT(h(f0f)(t)=IFT1A1Ay(f).地球物理學報(ChineseJ.Geophys.) 46卷參考文獻(A4)1 StockwellRG,MansinhaL,LoweR

24、P.Localizationofthecomplexspectrum:theStransform.IEEETran.OnSignalProcessing,1996,17:99810012 FargeM.Wavelettransformsandtheirapplicationstoturbulence.Ann.Rev.FluidMech.,1992,24:3954573 GrossmannA,MartinentRK,MorletJ.ReadingandunderstandingcontinuouswaveletTransforms.2204 高靜懷,汪文秉,朱光明等.地震資料處理中小波函數的選取

25、.地球物理學報,1996,39(3):392400GAOJinghuai,WANGWenbing,ZHUGuangming,etal.Onthechoiceofwaveletfunctionsforseismicdataprocessing,ChineseJ.Geophys.,1996,39(3):3924005 GAOJinghuai,LIYouming,CHENWenchao.Ontheinstantaneousattributesanalysisofseismicdataviawavelettransform.ExpandedAbstractsoftheTechnicalProgram,SEG68thAnnualMeeting,1998,10841087In:Wavelets,Time-frequencyMethodandPhaseSpace.1stInt.WaveletsConf.,Marseille,1989,y(f)(t),y(f)(t).(A5)根據Fourier變換的性質,由(A5)式可得h證畢.tf0