1、10.2.1 平面簡諧波的波動(dòng)方程平面簡諧波的波動(dòng)方程10.2 平面簡諧波平面簡諧波10.2.2 波的能量波的能量10.2.3 例題分析例題分析10.2.1 平面簡諧波的波動(dòng)方程平面簡諧波的波動(dòng)方程平面簡諧波平面簡諧波: : 波陣面是平面，且波所到之處，媒質(zhì)波陣面是平面，且波所到之處，媒質(zhì)中各質(zhì)元均作同頻率、同振幅的簡諧振動(dòng)，中各質(zhì)元均作同頻率、同振幅的簡諧振動(dòng)，這樣的波叫這樣的波叫1. 波動(dòng)方程的推導(dǎo)波動(dòng)方程的推導(dǎo)一平面簡諧波波速為一平面簡諧波波速為u，沿沿x 軸正方軸正方向傳播向傳播, ,起始時(shí)刻，原點(diǎn)起始時(shí)刻，原點(diǎn)o 處質(zhì)元的振動(dòng)方處質(zhì)元的振動(dòng)方程為程為 taycos0 振動(dòng)狀態(tài)從振動(dòng)狀

2、態(tài)從o 點(diǎn)傳播到點(diǎn)傳播到p 點(diǎn)所用時(shí)間為點(diǎn)所用時(shí)間為x/ /u , 即即p 點(diǎn)在時(shí)刻點(diǎn)在時(shí)刻t 的狀態(tài)應(yīng)等于的狀態(tài)應(yīng)等于o o 點(diǎn)在點(diǎn)在t - -( (x/ /u) )時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)刻的狀態(tài). . 所以所以p 點(diǎn)處質(zhì)元的振點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程為動(dòng)方程為pxxoyu uxtaycos uxtaycos uxtaycos綜合以上兩種情況綜合以上兩種情況, 平面簡諧波的波動(dòng)方程為平面簡諧波的波動(dòng)方程為 若平面波沿若平面波沿x 軸負(fù)方向傳播，則軸負(fù)方向傳播，則p 點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為 xttay2cos,22 t因?yàn)橐驗(yàn)閡t 所以所以 xtay2cos uxtay cos xttay2cos xt

3、ay2cos 選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)時(shí)起點(diǎn)，使上式中的選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)時(shí)起點(diǎn)，使上式中的 等等于于0 ，于是有，于是有2. 波動(dòng)方程的意義波動(dòng)方程的意義 uxtatxy cos),( 如果如果x 給定，則給定，則y 是是t 的函數(shù)，這時(shí)波的函數(shù)，這時(shí)波動(dòng)方程表示距原點(diǎn)為動(dòng)方程表示距原點(diǎn)為x 處的質(zhì)元在處的質(zhì)元在y-t 曲線稱之為位移時(shí)間曲線曲線稱之為位移時(shí)間曲線. .otyt 如果如果t 給定，則給定，則y 只是只是x 的函數(shù)的函數(shù), , 這時(shí)這時(shí)波動(dòng)方程表示在給定時(shí)刻波射線上各振動(dòng)波動(dòng)方程表示在給定時(shí)刻波射線上各振動(dòng)質(zhì)元的位移，即給定時(shí)刻的質(zhì)元的位移，即給定時(shí)刻的. . xoy 如果如果x 和和t 都變化

4、，則波動(dòng)方程表示波都變化，則波動(dòng)方程表示波射線上各振動(dòng)質(zhì)元在不同時(shí)刻的位移，即射線上各振動(dòng)質(zhì)元在不同時(shí)刻的位移，即時(shí)刻的波形時(shí)刻的波形t1 1時(shí)刻的波形時(shí)刻的波形tt 1tux uo1xyx 由圖可見由圖可見t1 1時(shí)刻時(shí)刻x1 1處的振動(dòng)狀態(tài)與處的振動(dòng)狀態(tài)與t1 1+ + t 時(shí)刻時(shí)刻x1 1+ + x 處的振動(dòng)狀態(tài)完全相同，即相位處的振動(dòng)狀態(tài)完全相同，即相位相同相同. . uxxttuxt1111 txu t1 1時(shí)刻時(shí)刻x1 1處質(zhì)元的振動(dòng)相位在處質(zhì)元的振動(dòng)相位在t1 1+ + t 時(shí)刻時(shí)刻傳至傳至x1 1+ + x 處，相位的傳播速度為處，相位的傳播速度為u u xtt 2一個(gè)有用的公

5、式一個(gè)有用的公式文字條件文字條件已知某時(shí)刻的已知某時(shí)刻的波形曲線波形曲線已知某質(zhì)點(diǎn)的已知某質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線振動(dòng)曲線寫出某一寫出某一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的 振動(dòng)方程振動(dòng)方程根據(jù)波的傳根據(jù)波的傳播方向?qū)懗霾シ较驅(qū)懗霾▌?dòng)方程波動(dòng)方程求任何一點(diǎn)的振動(dòng)方程求任何一點(diǎn)的振動(dòng)方程和任一時(shí)刻的波形方程和任一時(shí)刻的波形方程10.2.2 波的能量波的能量1. 波的能量波的能量行波行波: 有能量傳播的波叫行波有能量傳播的波叫行波. 媒質(zhì)中所有質(zhì)元的動(dòng)能和勢能之和稱媒質(zhì)中所有質(zhì)元的動(dòng)能和勢能之和稱之為波的能量之為波的能量. 設(shè)平面簡諧波在密度為設(shè)平面簡諧波在密度為 的均勻媒質(zhì)中的均勻媒質(zhì)中傳播其波動(dòng)方程為傳播其波動(dòng)方程為 uxt

6、ay cos 在在x 處取一體積為處取一體積為dv 的小質(zhì)元，該質(zhì)元的小質(zhì)元，該質(zhì)元在任意時(shí)刻的速度為在任意時(shí)刻的速度為 uxtatyv sin uxtadvvdmdek 2222sin)(21)(21質(zhì)元因變形而具有的勢能等于動(dòng)能質(zhì)元因變形而具有的勢能等于動(dòng)能kpdede 即即質(zhì)元的總能量為質(zhì)元的總能量為kpdedede uxtadv 222sin)(2. 能量密度能量密度單位體積內(nèi)的能量稱為能量密度單位體積內(nèi)的能量稱為能量密度.dvdew 為定量的反映能量在媒質(zhì)中的分布和為定量的反映能量在媒質(zhì)中的分布和隨時(shí)間的變化情況隨時(shí)間的變化情況, 引入能量密度的概念引入能量密度的概念.平面簡諧波的能

7、量密度為平面簡諧波的能量密度為 uxtaw 222sindtuxtatwt 2022sin12221 a 平均能量密度平均能量密度: : 能量密度在一個(gè)周期內(nèi)能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值的平均值. . 3. 能流密度能流密度 為了描述波動(dòng)過程中能量的傳播情況，為了描述波動(dòng)過程中能量的傳播情況，引入能流密度的概念引入能流密度的概念. 單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波動(dòng)傳播方向上單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波動(dòng)傳播方向上單位面積的平均能量，叫做波的單位面積的平均能量，叫做波的, ,也稱之為也稱之為uuts平均能流密度為平均能流密度為tsutswi uw ua2221 設(shè)在均勻媒質(zhì)中，垂直于波速的方向的設(shè)在均勻媒質(zhì)中

8、，垂直于波速的方向的面積為面積為s ，已知平均能量密度為，已知平均能量密度為 , ,則則w4. 波的吸收波的吸收 波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分波在媒質(zhì)中傳播時(shí)，媒質(zhì)總要吸收一部分能量，因而波的強(qiáng)度將逐漸減弱，這種現(xiàn)象叫能量，因而波的強(qiáng)度將逐漸減弱，這種現(xiàn)象叫做做 實(shí)驗(yàn)指出當(dāng)波通過厚度為實(shí)驗(yàn)指出當(dāng)波通過厚度為dx 的一簿層媒的一簿層媒質(zhì)時(shí)質(zhì)時(shí), ,若波的強(qiáng)度增量為若波的強(qiáng)度增量為di (di 0) 則則di正比于入正比于入射波的強(qiáng)度射波的強(qiáng)度i ，也正比于媒質(zhì)層的厚度，也正比于媒質(zhì)層的厚度dx idxdi xiidxidi00 axeii 0axii 0ln0ioxdxixo0ii10.

9、2.3 例題分析例題分析 m1 . 025cos02. 0 xty 求：求： （1）波的振幅、波長、周期及波速波的振幅、波長、周期及波速; ;（2）質(zhì)元振動(dòng)的最大速度質(zhì)元振動(dòng)的最大速度; ;（3）畫出畫出t = =1 s 時(shí)的波形圖時(shí)的波形圖. . 1.一平面簡諧波沿一平面簡諧波沿x 軸的正向傳播已知波軸的正向傳播已知波動(dòng)方程為動(dòng)方程為二式比較得二式比較得 xty21 . 02252cos02. 0 xttay2cosm02. 0 as08. 0252 tm101 . 02 1sm250 tu 解解（）將題給的波動(dòng)方程改寫成將題給的波動(dòng)方程改寫成而波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為而波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2

10、）質(zhì)元的振動(dòng)速度為質(zhì)元的振動(dòng)速度為其最大值為其最大值為（3）將將t =1s代入波動(dòng)方程得代入波動(dòng)方程得 1sm1 . 025sin2502. 0 xttyv 1maxsm57. 12502. 0 v m1 . 025cos02. 0 xy ox0.02y 2. 如圖所示，一平面簡諧波以如圖所示，一平面簡諧波以400 ms-1-1的波速在均勻媒質(zhì)中沿的波速在均勻媒質(zhì)中沿x 軸正向傳播軸正向傳播. .已知波已知波源在源在o 點(diǎn)，波源的振動(dòng)周期為點(diǎn)，波源的振動(dòng)周期為0.01s 、振幅為、振幅為0.01m. 設(shè)以波源振動(dòng)經(jīng)過平衡位置且向設(shè)以波源振動(dòng)經(jīng)過平衡位置且向y 軸軸正向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求：正向

11、運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求：（1）b 和和a 兩兩點(diǎn)之間的振動(dòng)相位差；點(diǎn)之間的振動(dòng)相位差；（2）以以b 為坐標(biāo)原點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波動(dòng)方程寫出波動(dòng)方程.yoxabm2m1解解 根據(jù)題意設(shè)波源的振動(dòng)方程為根據(jù)題意設(shè)波源的振動(dòng)方程為 0000vy 0400200cos01. 0 xty 0sin20cos01. 000 即即20 2400200cos01. 0 xty故故（1）b 和和a 兩點(diǎn)之間的振動(dòng)相位差為兩點(diǎn)之間的振動(dòng)相位差為22400120024002200 tt（2）以以b 為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)有為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)有 24002200cos01. 0 tyb 23200cos01. 0 t因此以因此以b 為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程為為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程為 23400200cos01. 0 xty 3. 有一沿有一沿x 軸正向傳播的平面簡諧波，在軸正向傳播的平面簡諧波，在t = =0時(shí)的波形圖如圖中實(shí)線所示時(shí)的波形圖如圖中實(shí)線所示. . 問：問：（1）原點(diǎn)原點(diǎn)o o 的振動(dòng)相位