1、)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程對(duì)應(yīng)齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu), yyy 常見(jiàn)類(lèi)型常見(jiàn)類(lèi)型),(xpm,)(xmexp ,cos)(xexpxm ,sin)(xexpxm 難點(diǎn)難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.)()(xpexfmx 一、 型設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為xexqy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xqxqm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(

2、, 02 qp , 02 p ),()(xxqxqm 可設(shè)可設(shè);)(xmexqy ;)(xmexxqy 是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xqxxqm 可可設(shè)設(shè)綜上討論綜上討論, )(xqexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.)(2xmexqxy 特別地特別地xaeqyypy 是特征方程的重根是特征方程的重根是特征方程的單根是特征方程的單根不是特征方程的根不是特征方程的根 xxxexax

3、epaeqpay222,2,.232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy 是單根，是單根，2 ,)(2xebaxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xabax 22,121 baxexxy2)121( 于是于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxececy 例例1 1型型二、二、sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx sincos)(xpxpexfnlx 22ieepeepexixinxixilx xinlxinleippeipp)()()22(

4、)22( ,)()()()(xixiexpexp ,)()(xiexpqyypy 設(shè)設(shè),)(1ximkeqxy 利用歐拉公式利用歐拉公式,)()(xiexpqyypy 設(shè)設(shè),)(2ximkeqxy ximximxkeqeqexy ,sin)(cos)()2()1(xxrxxrexmmxk 次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是單根是單根不是根不是根 iik注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21x

5、cxcy 作輔助方程作輔助方程,4ixeyy ,是單根是單根i ,*ixaxey 故故代入上式代入上式, 42 ai,2ia ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,cos2xxy 原方程通解為原方程通解為.cos2sincos21xxxcxcy （取虛部）（取虛部）例例2 2.2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xcxcy 作輔助方程作輔助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixebaxy 設(shè)設(shè)代入輔助方程代入輔助方程 13034abai,9431iba

6、，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為,2sin942cos31xxxy 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取實(shí)部）（取實(shí)部）注意注意xaexaexx sin,cos.)(的實(shí)部和虛部的實(shí)部和虛部分別是分別是xiae .tan的通解的通解求方程求方程xyy 解解對(duì)應(yīng)齊方通解對(duì)應(yīng)齊方通解,sincos21xcxcy 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(2

7、1xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 cxxccxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxcxcy 例例4 4三、小結(jié)三、小結(jié)可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xpexfmx );(xqexymxk ,sin)(cos)()()2(xxpxxpexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項(xiàng)解法只含上式一項(xiàng)解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實(shí)部或虛部特解的實(shí)部或虛部, 得原非齊方程特解得原非齊方程特解.思考題思考題

8、寫(xiě)出微分方程寫(xiě)出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考題解答思考題解答設(shè)設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rcbxaxy 2*1xedxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy cbxax 2.22xedx 一、一、 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二、二、 求下列各微分方程滿(mǎn)足已給初始條件

9、的特解求下列各微分方程滿(mǎn)足已給初始條件的特解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .練練 習(xí)習(xí) 題題三、三、 含源含源在在clr,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動(dòng)電動(dòng)e勢(shì)為勢(shì)為的電源對(duì)的電源對(duì)電電充電充電容器容器 c. .已已20 e知知伏伏, ,微法微法2 . 0 c, ,亨亨1 . 0 l, ,歐歐1000 r, ,試求合上開(kāi)試求合上開(kāi)后后關(guān)關(guān) k的電的電及及流流)(ti)(tuc電電壓壓 . .四、四、 設(shè)設(shè))(x 函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù), ,且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、2211sincosaeaxcaxcyx ； 2 2、)323(2221xxeececyxxx ； 3 3、xxxxcxcysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121 xececyxx. .二、二、1 1、xeyx45)511(1614 ； 2 2、xxxexexexeey26)