1、第十章積分學 定積分二重積分三重積分積分域 區間域 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線域曲線域曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分 第十章 ab一、對弧長的曲線積分的概念與性質一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為ab , 其線密度為),(zyx“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” kkkks),(可得nk 10l

2、imm為計算此構件的質量,ks1kmkm),(kkk1.1.引例引例: 曲線形構件的質量采用設 是空間中一條有限長的光滑曲線,義在 上的一個有界函數, kkkksf),(都存在,),(zyxf上對弧長的曲線積分,記作szyxfd),(若通過對 的任意分割局部的任意取點, 2. .定義定義是定),(zyxf下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被積函數， 稱為積分弧段 .曲線形構件的質量szyxmd),(nk 10limks1kmkm),(kkk和對如果 l 是 xoy 面上的曲線弧 ,kknkksf),(lim10lsyxfd),(如果 l 是閉曲線 ,

3、 則記為.d),(lsyxf則定義對弧長的曲線積分為思考思考:(1) 若在 l 上 f (x, y)1, ?d 表示什么問ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負.3. 性質性質szyxfd ),() 1 (szyxfkd),()2(（k 為常數)szyxfd),()3( 由 組成) 21, sd)4( l 為曲線弧 的長度),(zyxgszyxfd),(szyxgd),(szyxfkd),(l21d),(d),(szyxfszyxftttttfsdyxfld)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法

4、二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉 化定理定理:),(yxf設且)()(tty上的連續函數,證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txl,d),(存在lsyxf求曲線積分根據定義 kknkksf),(lim10lsyxfd),(, ,1kkktt點),(kktttskkttkd)()(122,)()(22kkktnk 10limlsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf連續注意)()(22tt設各分點對應參數為), 1 ,0(nktk對應參數為 則,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkfxdydsdxyolsyxfd),

5、(tttttfd)()()(),(22說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于“換元法”. 因此如果曲線 l 的方程為),()(bxaxy則有lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrl則syxfld),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設空間曲線弧的參數方程為)()(, )(),(:ttztytx則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf例例1. 計算,dlsx其中 l 是拋物

6、線2xy 與點 b (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyllsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點 o (0,0)1lxy2xy o) 1 , 1 (b例例2. 計算半徑為 r ,中心角為2的圓弧 l 對于它的對稱軸的轉動慣量i (設線密度 = 1). 解解: 建立坐標系如圖,r xyolsyild2d)cos()sin(sin2222rrrdsin23 r0342sin22 r)cossin(3 r則 )(sincos:ryrxl例例3. 計算,dsxil其中l為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在

7、極坐標系下它在第一象限部分為)40(2cos:1 arl利用對稱性 , 得sxild414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arlyox例例4. 計算曲線積分 ,d)(222szyx其中為螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax線例例5. 計算,d2sx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知sx d2

8、szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2思考思考: 例5中 改為0)1()1(2222zyxazyx計算?d2sx解解: 令 11zzyyxx0 :2222zyxazyx, 則sx d2sxd) 1(2sxd2332a)131(22aasx d2sda2圓的形心在原點, 故0xax22, 如何d d s例例6. 計算,d)(222szyxi其中為球面22yx 解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920id2cos221z. 1的交線與平面 zx292 z化為參數方程 21cos2x

9、 sin2y則例例7. 有一半圓弧cosrx ),0(其線密度 ,2解解:cosdd2rskfxdcos2rksindd2rskfydsin2rkrroxy0dcos2rkfx0dsin2rkfy0cossin2rkrk40sincos2rkrk2故所求引力為),(yx,sinry 求它對原點處單位質量質點的引力. rkrkf2,4內容小結內容小結1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性質性質kknkksf),(lim10lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組成由l

10、s d)3( l 曲線弧 的長度)lszyxfd),(),(為常數szyxgld),(3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxllsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyllsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrllsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf思考與練習思考與練習1. 已知橢圓134:22yxl周長為a , 求syxxyld)432(22提示提示:0d2sxyl原式 =syxld)34(1222sld12a12o22yx3利用對稱性sx

11、yld2sxyld2上sxyld2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:2. 設均勻螺旋形彈簧l的方程為,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它關于 z 軸的轉動慣量;zi(2) 求它的質心 .解解: 設其密度為 (常數).syxilzd)(22202atkad222222kaa(2) l的質量smld222ka 而sxld22kaa20dcostt0(1)syld22kaa20dsintt0szld22kak20dtt2222kak故重心坐標為),0,0(kxyo備用題備用題1. 設 c 是由極坐標系下曲線, ar 0及4所圍區域的邊界, 求seicyxd222)24(aeaa4xy 0yar 提示提