1、2020-2021九年級(jí)備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)解答題壓軸題提高專題練習(xí)及詳細(xì) 答案一、銳角三角函數(shù)1.如圖，某無(wú)人機(jī)于空中 A處探測(cè)到目標(biāo)B、D的俯角分別是30 >60，此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛 行高度AC為60m ,隨后無(wú)人機(jī)從 A處繼續(xù)水平飛行30 J3 m到達(dá)A 處.(1)求A、B之間的距離(2)求從無(wú)人機(jī) A'上看目標(biāo)口的俯角的正切值【答案】(1) 120米；(2) 23 .5【解析】 【分析】E,連接A'D ,于是得到 A'E AC 60, DC=Y3AC=20j3 ,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義(1)解直角三角形即可得到結(jié)論；(2)過(guò)A'作A'E B

2、C交BC的延長(zhǎng)線于CE AA' 30向，在R9ABC中，求得即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1)由題意得： /ABD=30, /ADC=60,在 RtABC 中，AC=60m,60AB= 1 =120 (m)sin30 2(2)過(guò)A'作A'E BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接A'D ,則 A' E AC 60, CE AA' 30 石 在 RtA ABC 中，AC=60m, / ADC=60 ,DC= 3 AC=20.3DE=503tan/AA'D= tan/ A'DC=A'E 602=-=DE 50.3 5 . 2 j-答：從無(wú)

3、人機(jī) A'上看目標(biāo)D的俯角的正切值是 一J3 5【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵2.如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,/AEF=90； AE=EF過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂足為 H,連接AC.(1)試判斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：/ACF=90°；連接AF,過(guò)A, E, F三點(diǎn)作圓，如圖 2.若EC=4, ZCEF=15°,求瑞的長(zhǎng).圖1圖2【答案】(1) BE="FH"理由見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析費(fèi)=2兀【解析】試題分析：(1)由ABEEHF (S

4、AS即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而B(niǎo)C=AB, FH=EB從而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH為45°,而/ ACB也為45°,從而可證明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直徑，設(shè)圓心為 O,連接EQ過(guò)點(diǎn)E作ENL AC于點(diǎn)N, 則可得4ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得 AE的長(zhǎng)，得到半徑，得到常所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長(zhǎng) 試題解析：(1) BE=FH理由如下： 四邊形ABCD是正方形/ B=90 ； . FHXBC / FHE=90 °又/ AEF=90 / AEB+/ HEF="90"

5、;且 / BAE+/ AEB=90/ HEF=Z BAE/ AEB=Z EFH 又AE=EF .ABEAEHF (SAS .BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,°/ FCM=45 °.AC是正方形對(duì)角線，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °(3) AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圓的圓心在斜邊 AF的中點(diǎn)上.設(shè)該中點(diǎn)為 O.連結(jié)EO得/AOE=90。過(guò)E作EN± AC于點(diǎn)NRtA EN

6、C 中，EC=4, Z ECA=45°, . . EN=NC=#RtA ENA 中，EN =2 0又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧對(duì)等角）/ EAC=30 °.AE=；RtA AFE 中，AE=40 = EF,，AF=8AE所在的圓O半徑為4,其所對(duì)的圓心角為 /AOE=90° 定=2 兀- 490 - 36。° =2 ?？键c(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理;4、三角函數(shù)3.如圖，等腰 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=36°, BC=1,點(diǎn) D 在邊 AC 上且 BD 平分/ABC, 設(shè) CD=

7、x.(1)求證：ABJBCD;(2)求x的值；(3)求 cos36 -cos72 的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）1 石；（3） 7而 8 .216試題分析：（1）由等腰三角形 ABC中，頂角的度數(shù)求出兩底角度數(shù)，再由 BD為角平分線 求出/DBC的度數(shù)，得到Z DBC=Z A,再由/C為公共角，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得 到三角形ABC與三角形BCD相似；（2）根據(jù)（1）結(jié)論得到AD=BD=BQ根據(jù)AD+DC表示出AC,由（1）兩三角形相似得比 例求出x的值即可；（3）過(guò)B作BE垂直于AC,交AC于點(diǎn)E,在直角三角形 ABE和直角三角形BCE中，利用 銳角三角函數(shù)定義求出cos36&

8、#176;與COS72。的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.試題解析：（1） .等腰 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=36 ,Z ABC=Z C=72 , BD 平分 Z ABC,Z ABD=Z CBD=36 , Z CBD=Z A=36 , Z C=Z C, .ABB BCD;（2） Z A=ZABD=36 ,.AD=BD,BD=BC,.AD=BD=CD=1,設(shè) CD=x,則有 AB=AC=x+1,ABCD,AB BC x 11 一 一,即BD CD 1 x整理得：x2+x-1=0,解得：X1= 1X2= 1近（負(fù)值，舍去），22.E 為 CD 中點(diǎn)，即 DE=CE=4. AE在 RtA

9、BE 中，cosA=cos36 =AB1 、,5.5 14在 RtBCE 中，cosC=cos72= ECBC21 .541則 cos36 -cos72 = 器 1 - -1 收=1. 442【考點(diǎn)】1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.黃金分割；4.解直角三角形.k-4.如圖，反比例函數(shù) y k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象相交于 xA(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA / y軸， ABC 90 .(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ； (2)2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐

10、標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn) A在反比例函數(shù)ky - k 0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn) A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可x求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作BH，AC于H,設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,根據(jù) ABC 90 , BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得 AOD ABH ,從而得 C AOD ,求出tanC即可.【詳解】(1) ,一點(diǎn)A(1, a)在y 2x上， a=2,A(1, 2),把A(1, 2)代入y k得k 2, xk;反比例函數(shù)y - k 0的圖象與正比例函數(shù) y 2x的圖象交于 a，B兩點(diǎn), xB兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D

11、,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 軸，BH / x軸，AOD ABH , . . C AOD ,AD 2-1 tanC tan AOD2 .OD 1【點(diǎn)睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、中心對(duì)稱、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，（2）小題求出/C=/AOD是關(guān)鍵.5.如圖13,矩形ABCD的對(duì)角線AC , BD相交于點(diǎn)。，1C0D關(guān)于CQ的對(duì)稱圖形 為ACED.（1）求證：四邊形0c即是菱形；（2）連接 AE ,若T2? =6cm ,=.求出的值；若點(diǎn)p為線段HE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)T重合），連接。尸，一動(dòng)點(diǎn)2從點(diǎn)。出發(fā)，以

12、 的速度沿線段8F勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P ,再以1.5cm占的速度沿線段衛(wèi)zi勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尺,到達(dá)點(diǎn)3后停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) 。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 3所需要的時(shí)間最短時(shí)，求 的 長(zhǎng)和點(diǎn)Q走完全程所需的時(shí)間.23【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）sin乙£必二三，"二二和0走完全程所需時(shí)間為32【解析】試題分析：（1）利用四邊相等的四邊形是菱形；（2）構(gòu)造直角三角形求Tn /血汗力： 先確定點(diǎn)。沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) M所需要的時(shí)間最短時(shí)的位置，再計(jì)算運(yùn)到的時(shí)間.試題解析：解：（1）證明：:四邊形45UD是矩形.-.AC = BD與刀般交于點(diǎn)o,且ac£D關(guān)于cd對(duì)稱/. DO = CO

13、=DO = DE: OC = ECDO = OC = EC = ED-四邊形OCED是菱形.（2）連接OE，直線OE分別交AS于點(diǎn)F，交DC于點(diǎn)G3C0D關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為ACEDOE ± DC:- DC J .必二 OF L俎 EF AD;在矩形ASCD中，G為DC的中點(diǎn)，且o為AC的中點(diǎn)報(bào), OG 為ncn；）的中位線 OGGE- -2同理可得：F為.13的中點(diǎn)，OF=妗、AF = 37一一二出 a盧+加=,、（¥了=tY Z£AD=ZAEFsin£EAD = 5tlZAEF = i-=過(guò)點(diǎn)P作FM - AH交AS于點(diǎn)M二0由。運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間為

14、3s2-由可得，M3=APJ二點(diǎn)o以L5的5的速度從P到A所需的時(shí)間等于以9 3】sr 5從M運(yùn)動(dòng)到Arr , . OP、IA即：- ，。由O運(yùn)動(dòng)到P所需的時(shí)間就是 OP+MA和最小.;如下圖，當(dāng)p運(yùn)動(dòng)到嚀，即4。二一二時(shí)，所用時(shí)間最短/. I - OP 4-JZ4 - 3'''在中,設(shè)AV=2工.塢=3,.比】=+ 月"：C3x）:=（2x:）3-K £ ）2解得：,> ，：.AP二三和O走完全程所需時(shí)間為 -5A it +r /a考點(diǎn)：菱形的判定方法；構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值；確定極值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的特殊位置6.（本題滿分14分，第（1）小題滿分

15、4分，第（2）小題滿分5分，第（3）小題滿分5 分）已知：如圖， AB是半圓。的直徑，弦CD/AB,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段OC、CD上，且DQ OP , AP的延長(zhǎng)線與射線 OQ相交于點(diǎn)E、與弦CD相交于點(diǎn)F （點(diǎn)F與（1）求證：AP OQ ;（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它的定義域；（3）當(dāng) ope是直角三角形時(shí)，求線段 op的長(zhǎng).C 2【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） y 3x-60x 300（50 x 10）; （3） OP 8 x 13【解析】OP DQ ,聯(lián)結(jié)【分析】（1）證明線段相等的方法之一是證明三角形全等，通過(guò)分析已知條件，OD后還有OA DO ,再結(jié)合要證明的結(jié)論 AP

16、OQ ,則可肯定需證明三角形全等，尋 找已知對(duì)應(yīng)邊的夾角，即POA QDO即可；(2)根據(jù) PFCs PAO ,將面積轉(zhuǎn)化為相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比的平方來(lái)求；(3)分4成二種情況討論，充分利用已知條件 cos AOC 、以及(1)(2)中已證的結(jié)論，注5 意要對(duì)不符合(2)中定義域的答案舍去.【詳解】(1)聯(lián)結(jié) OD，: OC OD ,OCD ODC , CD/AB ,OCD COA, POA QDO . 在AOP和ODQ中，OP DQ POA QDO , OA DOAOP 且 ODQ , AP OQ ；作PH OA,交OA于H , 4 . cos AOC 一,5-"43OH -OP

17、-x, PH -x, 5551 S AOP AO PH 3x . 2 CD/AB ,PFC s PAO , y,cp、2 ,io x、2- (-)() ，S AOP OPx3x2 60x 300y ,當(dāng)F與點(diǎn)D重合時(shí),“4. CD 2OC cos OCD 2 10 - 16, 510 x3x2 y ,解得x1660x 300501350(石x 10)；(3)當(dāng) OPE 90o時(shí),OPA 900, OP4OA cos AOC 108； 5OC一 一 oi CQ 當(dāng) POE 90° 時(shí)，cos QCO25OP DQ CD CQ CD 一 1621010 25cos AOC 42，5257

18、22 '5013OPOP 7 （舍去）； 2當(dāng) PEO 90° 時(shí)，CD/AB,AOQ DQO ,AOPODQ ,DQO APO ,AOQ APO,AEO AOP 90o,此時(shí)弦CD不存在，故這種情況不符合題意，舍去;綜上，線段OP的長(zhǎng)為8.7.如圖，矩形 OABC中，A(6, 0)、C(0, 2，3)、D(0, 373),射線l過(guò)點(diǎn)D且與x軸平 行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，滿足 /PQO= 600.為o當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x, 4OPQ與矩形OABC重疊部分的面積為 S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系 式和相應(yīng)的自變量 x的取值范圍.【

19、答案】(1) (6, 273)30. (3, 373) (2)g 4/3 0 x 333 2 13 33 qX X 3S 23223x 12 3 5 x 954-x 9 X【解析】解：(1) (6, 273). 30.( (2)當(dāng) 0WxW附，如圖1, 一 o TvQ_Ar圖iOI=x, IQ=PI?tan60 °,=OQ=OI+IQ 由題意可知直線l / BC/ OA, 可得空二里型豆1OQ PO DO 3 3 3' 此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：1 ，c 、. E= (3+x),3S S梯形efqo (EF OQ) OC4x 4,3 x 32 = 324.34.3(3 x

20、) x 4v3331 -AH AQ2-3 2 13、. 33x x 。232當(dāng)5vxW9時(shí)，如圖3,1 .、 一，2 、S (BE OA) OC <3(12 -x)2 3=2-x 12.3°3綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：43x 4.3 0 x 333 3x52x 93 2x213 .3 x32 3 x354 3 x12.3 5x(1) 由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)：四邊形 OABC是矩形，.AB=OQ OA=BQ.A (6, 0)、C (0, 2 J3),，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為：(6, 2 J3). 由正切函數(shù)，即可求得 /CAO的度數(shù)： tan

21、CAO °C = 23= , ，/ CAO=30 . OA 63由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn) Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PEL OA 于 E, / PQO=60 ； D(0, 373)， 1- PE=3Q - AL PEAEotan600，OE=OA- AE=6- 3=3, .點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（3, 3/3）.（2）分別從當(dāng)0WxW時(shí)，當(dāng)3vxW5時(shí)，當(dāng)5vxW9時(shí)，當(dāng)x>9時(shí)去分析求解即可求得答 案.8.水庫(kù)大壩截面的迎水坡坡比（ DE與AE的長(zhǎng)度之比）為1: 0.6,背水坡坡比為1:2, 大壩高DE=30米，壩頂寬CD=10米，求大壩的截面的周長(zhǎng)和面積.【

22、答案】故大壩的截面的周長(zhǎng)是（6J34+30而+98）米，面積是1470平方米.【解析】試題分析：先根據(jù)兩個(gè)坡比求出AE和BF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大壩的截面的周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC梯形的面積公式可得出答案.試題解析：二.迎水坡坡比（DE與AE的長(zhǎng)度之比）為1: 0.6, DE=30m,.AE=18 米，在 RTA ADE 中，AD=J de2 AE2=6734 米背水坡坡比為1： 2,.BF=60 米，在 RTA BCF中，BC=7cf"=3。75 米，. .周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+30 石+88= (6 V34+

23、30 痣+98)米, 面積=(10+18+10+60) X30+2=1470平方米).故大壩的截面的周長(zhǎng)是(6 庖+30而+98)米，面積是1470平方米.9.如圖，已知，在 e O中，弦 AB與弦CD相交于點(diǎn)E ,且Ac Bd .（1）求證：AB CD;(2)如圖，若直徑FG經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,求證:EO平分 AED;(3)如圖，在(2)的條件下，點(diǎn)P在CG上，連接FP交AB于點(diǎn)M ,連接MG ,若AB CD , MG 平分 PMB , MG2 , FMG的面積為2,求e O的半徑的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)e O的半徑的長(zhǎng)為J10.(1)利用相等的弧所對(duì)的弦相等進(jìn)行證明；(2)連

24、接AO、DO ,過(guò)點(diǎn)。作OJAB于點(diǎn)J , OQ CD于點(diǎn)Q ,證明AOJ(3)如圖,DOQ得出OJ OQ ,根據(jù)角平分線的判定定理可得結(jié)論；延長(zhǎng) GM交e O于點(diǎn)H ,連接HF ,求出FH 2 ,在HG上取點(diǎn)L ,使HLFHLKKG,延長(zhǎng)FL交e O于點(diǎn)K ,連接KG ,求出n , FK FL LK 272 n ,22FL 272，設(shè) HM再證明KFGEMG HMF ,從而得到 tan KFGtanLK和FK的值可得n=4,再求得FG的長(zhǎng)，最后得到圓的半徑為 【詳解】KG HMF ,FK樂(lè).-HF ,再代入HM解：(1)證明： Ac Bd， Ac Cb ?d Cb， ，如 Cd ,AB CD

25、.CD于點(diǎn)Q ,(2)證明：如圖，連接 AO、DO ,過(guò)點(diǎn)。作OJ AB于點(diǎn)J , OQADi 11_AJODQO 90 , AJ AB CD DQ ,22又. AO DO,AOJ DOQ ,OJ OQ ,又 OJ AB, OQ CD ,，EO 平分 AED .(3)解： CD AB, . AED 90 ,_1_由(2)知， AEF AED 45 , 2如圖，延長(zhǎng)GM交e O于點(diǎn)H ,連接HF ,1 , FG 為直徑， H 90 , S mfg - MG FH 2, 2 MG 2, FH 2,在HG上取點(diǎn)L ,使HL FH ,延長(zhǎng)FL交e O于點(diǎn)K ,連接KG ,HFL HLF 45 , KL

26、G HLF 45 , FG 為直徑，K 90 ,KGL 90 KLG 45 KLG , LK KG ,在 Rt FHL 中，F(xiàn)L2 FH2 HL2，F(xiàn)L 2/2，設(shè) HM n, HL MG 2,GLLM MG HL LM HM n ,在RtLG" LG22_ 2_LK KG , LK KGFKFLLK 2.2GMPPMG HMF ， HMFGMB ，AEFMGFEMGMEFMGFKFGHLF 45 ,KFGEMGHMF ，tanKFGtanKGFKHFHMHMF ,/2n22,2 三2 nHGHMMG 6,在 Rt HFG 中，F(xiàn)G2 FH 2 HG2,FG 2.10, FO.10

27、.1AED2即e O的半徑的長(zhǎng)為J10.【點(diǎn)睛】10.如圖1,以點(diǎn)M ( 1, 0)為圓心的圓與 y軸、x軸分別交于點(diǎn) A、B、C、D,直線y 0 M _ 考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應(yīng)用，適當(dāng)?shù)奶?加輔助線是解題的關(guān)鍵.X x-'與。M相切于點(diǎn)H,交x軸于點(diǎn)E,交y軸于點(diǎn)F.(1)(2)(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出 OE、OM的半徑r、CH的長(zhǎng)；如圖2,弦HQ交x軸于點(diǎn)巳且DP:PH= 3:2,求cos/ QHC的值；如圖3,點(diǎn)K為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)(不與 E、C重合)，連接BK交。M于點(diǎn)T,弦AT交x軸于點(diǎn)N.是否存在一個(gè)常數(shù) a,始終滿足 MIN- MK=a

28、,如果存在，請(qǐng)求出 a的值；如 果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1圖2圖J【答案】(1) OE=5, r=2, CH=23*,* cosQHC =-(2)(3) a=4【解析】【分析】(1)在直線y= 3 x'中，令y=0,可求得E的坐標(biāo)，即可得到 OE的長(zhǎng)為5;連接 MH,根據(jù)4EMH與EFO相似即可求得半徑為 2;再由EC=MC=2 / EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上白中線等于斜邊的一半即可得出CH的長(zhǎng)；(2)連接DQ、CQ.根據(jù)相似三角形的判定得到 CH/QPD,從而求得 DQ的長(zhǎng)，在直 角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即為 cos/

29、 QHC的值；(3)連接AK, AM,延長(zhǎng)AM,與圓交于點(diǎn) G,連接TG,由圓周角定理可知， /GTA=90,° Z3=Z4,故 / AKC=Z MAN,再由AMKsNMA 即可得出結(jié)論. 【詳解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如圖 1,連接 QC、QD,則/CQD =90°, / QHC =/ QDC,DP易知CH/DQP,故 PHDQOH,得dQ=3,由于CD=4,*，二 coszQDC =QD 3CD 4(3)如圖2,連接AK, AM,延長(zhǎng)AM, 與圓交于點(diǎn) G,連接TG,則圖2=2 + "=900 ,N = T/Z + £3 = W

30、由于E/7R。十上口- 90",故，乙R,'。-乙？；而乙”八。一乙2,故"一上2在MM*和卬M%, ±1 一2； "MKjNM月故 AMKsNMAMN AM； ;即：:二* 二二一I -故存在常數(shù)W,始終滿足ar a次=o常數(shù)a="4"解法二：連結(jié)BM,證明AAST sXlKB得二, *二丁， 一-二11.如圖，公路AB為東西走向，在點(diǎn) A北偏東36.5方向上，距離5千米處是村莊 M , 在點(diǎn)A北偏東53.5方向上，距離10千米處是村莊 N ;要在公路 AB旁修建一個(gè)土特產(chǎn) 收購(gòu)站P （取點(diǎn)P在AB上），使得M , N兩村莊

31、到P站的距離之和最短，請(qǐng)?jiān)趫D中作出 P的位置（不寫(xiě)作法）并計(jì)算：（1） M , N兩村莊之間的距離；（2） P 到 M、N 距離之和的最小值.（參考數(shù)據(jù)：sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 = 0.75計(jì)算結(jié)果保留根號(hào).）【答案】（1） M , N兩村莊之間的距離為 729千米；（2）村莊M、N到P站的最短距離和是5 5千米.【解析】【分析】（1）作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'與AB交于E,連結(jié)MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站 的位置.求出 DN, DM,利用勾股定理即可解決問(wèn)題.（2）由題意可知，M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是 MN的長(zhǎng).【

32、詳解】 解：作N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'與AB交于E,連結(jié)MN與AB交于P,則P為土特產(chǎn)收購(gòu)站的位置.(1)在 RtANE 中，AN=10, Z NAB=36.5，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5, ° =6AE=AN?cos/ NAB=10?cos36.5 ° , =8過(guò)M作MCAB于點(diǎn)C,在 RtMAC 中，AM=5, /MAB=53.5 .AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5 ,° =3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5 ° =4過(guò)點(diǎn)M作MD，NE于點(diǎn)D,在 RtA MND 中，MD=AE-AC=5,N

33、D=NE-MC=2,mn=1y522=729,即M , N兩村莊之間的距離為 J29千米.（2）由題意可知，M、N到AB上點(diǎn)P的距離之和最短長(zhǎng)度就是 MN'的長(zhǎng).DN' =10MD=5,在 RtMDN中，由勾股定理，得MN'q5 102 =5點(diǎn)（千米）村莊M、N到P站的最短距離和是 5，5千米.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，軸對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)添加 常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題.12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形 ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)（-6, 0）,點(diǎn)3C在y軸正半軸上，且cosB=3,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒一個(gè)單

34、位長(zhǎng)度的速度向D點(diǎn)5移動(dòng)（P點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），移動(dòng)時(shí)間為 t秒，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與菱形的其它邊交于點(diǎn) Q.（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）求4OPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值；t的值；若3在直線l移動(dòng)過(guò)程中，是否存在t值，使S=而SABCD?右存在，求出不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10, 8） . （2） S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為 S=4t(0趣 4)(3) 3 或 5+ J7 .2 2 20，S的最大值為鈍' .t t(4 t, 10)333【解析】【分析】（1）在RtBOC中，求BCQC,據(jù)菱形性質(zhì)再求 D的坐標(biāo)；（2）分兩種情況分析：

35、當(dāng)04W4時(shí)和 當(dāng)4vtwi0寸，根據(jù)面積公式列出解析式，再求函數(shù)的最值；（3）分兩2 o 20種情況分析：當(dāng) 04W4時(shí)，4t=12,;當(dāng)4vtW10寸，-t2 t 1233【詳解】解：(1)在 RtBOC中，/BOC= 90°, OB= 6, cosB =BCOBcosB10OC JbC2OB2 8 : 四邊形 ABCD為菱形，CD/ x 軸, .點(diǎn)D的坐標(biāo)為（10, 8）.（2） AB=BC= 10,點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（6, 0）,，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4, 0）.分兩種情況考慮，如圖 1所示.當(dāng) 04W4時(shí),PQ= OC= 8, OQ= t,-1. S= PQ?OQ= 4t,2. 4

36、>0,當(dāng)t=4時(shí)，S取得最大值，最大值為 16； 當(dāng)4vtw10寸，設(shè)直線 AD的解析式為y= kx+b （kQ , 將 A （4, 0） , D （10, 8）代入 y=kx+b,得：4k b10k b416直線AD的解析式為y x -.33163，4當(dāng) x= t 時(shí)，y t 3-4164PQ 8-t(10 t)3331S -PQ OP2503(t5)25032 0.當(dāng)t = 5時(shí)，S取得取大值，取大值為34t(0別 4)綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為 S=2 220-t 1(433t, 10)S的最大值為503(3) S菱形ABCD=AB?OC= 80.當(dāng) 0qw4時(shí)，4t=12,

37、解得：t=3；當(dāng) 4<tW10B寸，2t2 3t=12,33解得：t1= 5- J7 (舍去)，t2=5+ J7 .3 .t值，使S= S菱形ABCD , t的值為3或5+J7 .20'綜上所述：在直線l移動(dòng)過(guò)程中，存在【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合，分類討論是關(guān)鍵13 .如圖，AB為。的直徑，P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， CG是。的弦/ PCA= / ABC,CG±AB,垂足為D(2)求證:PAPCADCD '過(guò)點(diǎn)A作AE/ PC交。于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,連接BE,a ,3右 sin/ P=,5CF= 5,求 BE的長(zhǎng).(1)求證：PC是

38、。的切線;【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) BE=12.【解析】【分析】(1)連接 OC,由PC切O O于點(diǎn)C,得到OC, PC,于是得到 / PCA+Z OCA=90，由AB為。的直徑，得到/ABC+/ OAC=90 ,°由于OC=OA證得/ OCA=/ OAC,于是得到結(jié)論；(2)由AE/ PC,得到/PCA=/ CAF根據(jù)垂徑定理得到弧 AC=< AG,于是得到/ACF=/ ABC,由于/PCA=/ ABC,推出Z ACF=Z CAF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3CF=AF 在 RAFD 中，AF=5, sinZ FAD=-,求得 FD=3, AD=4, CD=8,在 ROCD 中，5設(shè)OC=r,根據(jù)勾股定理得到方程r2= (r-4) 2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB為3 BE3OO的直徑，得到 / AEB=90 ,在RtABE中，由sin/ EAD=,得到 =,于是求得5 AB5結(jié)論.【詳解】(1)證明：連接OC,PC切。O于點(diǎn)C,OCX PC,/ PCO=90 ,°Z PCA+Z OCA=90 ；.AB為。的直徑，/ ACB=90 ；Z ABC+Z OAC=90 ；