1、專(zhuān)題2.函數(shù)的零點(diǎn)高考解讀求方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題以及由零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在，利 用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)；備考時(shí)應(yīng)理解函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根和函數(shù)的 圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的等價(jià)性；掌握零點(diǎn)存在性定理.增強(qiáng)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù) 學(xué)模型的意識(shí)，提高綜合分析、解決問(wèn)題的能力.知識(shí)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x),我們把使f(x) =0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)=f(x) g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的根，即函數(shù)y=f(x)的圖象與 函數(shù)y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(3)零點(diǎn)存在性

2、定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線， 且有f(a) f(b)<0, 那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 cC(a, b)使得f(c) =0,這個(gè)c 也就是方程f(x)=0的根.注意以下兩點(diǎn)：滿(mǎn)足條件的零點(diǎn)可能不唯一；不滿(mǎn)足條 件時(shí)，也可能有零點(diǎn).(4)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法求方程的近似解.2.在求方程解的個(gè)數(shù)或者根據(jù)解的個(gè)數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問(wèn)題時(shí)，數(shù) 形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個(gè)等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函 數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f(x) , g(x),即把方程寫(xiě)成f (x) = g(x)的

3、形式，這時(shí)方程根的個(gè)數(shù)就是兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢(shì)找到方程中字母參數(shù)所滿(mǎn)足的各種關(guān)系.高頻考點(diǎn)突破考點(diǎn)一函數(shù)的零點(diǎn)判斷例1、2017課標(biāo)3,理11已知函數(shù)f(x) x2 2x a(ex 1 ex1)有唯一零點(diǎn)，則a=A.1B. 1C. 1D. 1232【變式探究】(1)函數(shù)f (x) =ex+2x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(),1、1A. (0,-) B. (-,1) C . (1,2) D . (2,3) 22(2)已知偶函數(shù) y=f(x), xCR 滿(mǎn)足：f(x) = x2 3x(x > 0),若函數(shù) g(x)=log 2x, x>0,1則y=f(x) g(x)

4、的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()x<0, xA. 1 B . 3 C . 2D. 4【方法技巧】函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間a, b上是連續(xù)不斷的曲線，且 f(a)f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) (如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少 個(gè)零點(diǎn).(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其 有幾個(gè)交點(diǎn)，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).【變式探究】設(shè)f(x) = ln x + x2,則函數(shù)f (x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. (0,1) B . (1,2) C . (2,

5、3) D . (3,4)考點(diǎn)二、二次函數(shù)的零點(diǎn)例 2、已知函數(shù) f (x) =x2 + ax+2, aC R(1)若不等式f(x) <0的解集為1,2,求不等式f(x) >1 x2的解集；(2)若函數(shù)g(x) =f (x)+x2+1在區(qū)間(1,2)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值 范圍.【方法技巧】解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次 方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.【變式探究】已知f(x)=x2+(a21)x + (a 2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)

6、用例3、2017課標(biāo)1,理21已知函數(shù)f (x) ae2x (a 2)ex x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.、，.2lx|，x&2，_【變式探先】已知函數(shù) f(x) =2函數(shù)g(x) =bf (2 x),其x-2, x>2,中bC R若函數(shù)y=f(x) g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則b的取值范圍是()A. (7,) B. (,7) C. (0,7) D. (7,2)4444【方法規(guī)律】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍，若方程可解，通過(guò)解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用兩個(gè)函數(shù) 圖象的關(guān)系

7、求解，這樣會(huì)使得問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【變式探究】m2+2mn-1 me n ,對(duì)于實(shí)數(shù) m n定義運(yùn)算""：mn® n=2設(shè)f (x) = (2x-1)(x 1),且關(guān)于x的方程f (x) =a恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根 xi, x2, x3,則xi + x2+x3的取值范圍是.考點(diǎn)四、分段函數(shù)的模型x 1, x 01例4、2017課標(biāo)3,理15設(shè)函數(shù)f (x)則滿(mǎn)足f(x) f(x -) 1的2x, x 0,2x的取值范圍是.【變式探究】已知一家公司生產(chǎn)某品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)共

8、生產(chǎn)該品牌服裝 x千件并全部銷(xiāo)售完，每千件10.8 -71x2 0<x< 1030的銷(xiāo)售收入為 Rx)萬(wàn)元，且Rx) =108 1 000x>10 3x(1)寫(xiě)出年利潤(rùn) W萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大？(注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入一年總成本 )【方法技巧】(1)很多實(shí)際問(wèn)題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段 函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本(均值)不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.在求 分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.【變式探究】國(guó)慶

9、期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在 30人或30人以下，飛機(jī)票 每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元， 直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元.(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？高考鏈接1.12017北京，理14】三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖 所示，其中點(diǎn)A的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn) B的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)， i=1, 2, 3.記Q為第i名工人在這一天中加工

10、的零件總數(shù)，則Q,Q,Q中最大的是.記p為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則 Pl 6, P3中最大的 是.A零件購(gòu)(件)工作時(shí)向小骯I2.12016高考山東理數(shù)】已知函數(shù)八。=，I x L< tnr , 作其中切>0,若存在x- 2m 4m, v > m實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f (x) =b有三個(gè)不同的根，則 m的取值范圍是3.12016高考上海理數(shù)】已知aeR ,函數(shù)/。)= 1。2式工十 口).(1)當(dāng)。=5時(shí)，解不等式/(k)0；（2）若關(guān)于*的方程1_05（口一4次+ 2a-5 = 0的解集中恰好有一個(gè)元素,求a的取值范圍；（3）設(shè)A 0 ,若對(duì)任意,

11、信,| ,函數(shù)“工）在區(qū)間f+/ + 上的最大值與最小值 的差不超過(guò)1,求4的取值范圍.4.【2015高考浙江，理71存在函數(shù)/口）滿(mǎn)足，對(duì)任意工£尺都有（）A. ； II 二門(mén) rn. B. 1、in 2口 .；C. /（r+1） = |I+1| D. /（/+2*）=,+1|'xjc«白心小一心5 .【2015高考湖南，理15】已知f（x） = :，若存在實(shí)數(shù) b ,使函數(shù)廣，工> ag（x）=/仆）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是 .F6 .【2015高考江蘇，13】已知函數(shù)回=|1工|,= 1,則方| 廣-4| -2.a > 1程/+|= I實(shí)根

12、的個(gè)數(shù)為 /（0=7.12015高考天津，理8】已知函數(shù)v<函數(shù)*"）二方-27）,其中也若函數(shù)尸恰有4個(gè)零點(diǎn)，則力的 取值范圍是（）（7、,7、,7、f 7 、-f+8-so?-031? 2（A） G ）（B） 4J（C）1 4；（D）14 ）2x + 3,x> I工）=，x8.【2015高考浙江，理10】已知函數(shù) Ug（ +1），工"，則八八一3） =, 人力的最小值是.9.12015高考四川，理13】某食品的保鮮時(shí)間y （單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度 x （單 位："'）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系"八（e = 2,718A為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k、b為

13、常數(shù)）。若OjT 1Cy 1該食品在0 I的保鮮時(shí)間設(shè)計(jì)192小時(shí)，在22 c的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在33亡的保鮮時(shí)間是 小時(shí)。10.12015高考上海，理101設(shè)"為"ft則的最大值為12. 【2015高考浙江，理18】已知函數(shù) L 二辦+ M5方之R),記M(口力是 L/*)l在區(qū)間TJ上的最大值.(1)證明：當(dāng) I。1*2 時(shí),Mia.h) > 2 .(2)當(dāng)。，占滿(mǎn)足M(h/)£2 ,求|曰| + |內(nèi)|的最大值.13. (2014 湖南卷)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)

14、率為()A. p2-q B.(p+1)2q+1)- 1 C.M D. (p+1) (q + 1) - 112 X214. (2014 湖南卷)已知函數(shù) f (x) =x+e 2(x<0)與 g(x) =x+ln( x+a)的圖像 上存在關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值范圍是()A. ( 00, =) B . ( 00, *Je)C. 一 e , fe D. - yfe, 15. (2014 天津卷)已知函數(shù) f (x) =|x2+3x| , xC R.若方程 f (x) a|x 1| =0 恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .16. (2014 浙江卷)已知函數(shù) f (x) =x3+ax2+bx+ c,且 0<f( 1) = f ( 2) = f ( 3尸3,則()A.C.c<3 B , 3<c<66Vg 9 D . c>9，一. 一一一 ，一、 支 式一，一，,一，17. (2014 全國(guó)卷)右函數(shù) f (x) = cos 2 x+ asin x在區(qū)間 ,廠 是減函數(shù)，則 62a的取值范圍是.CD18. (2014 江西卷)已知函數(shù) f(x)=51x1, g(x) =ax2-x(a R).若 fg(1) =1,則 a=()A. 1 B , 2 C , 3