1、1.3.1 函數的單調性與導數學習目標1.結合實例，直觀探索并掌握函數的單調性與導數的關系.2.能利用導數研究函數的單調性，并能夠利用單調性證明一些簡單的不等式.3.會求函數的單調區間(其中多項式函數的最高次數一般不超過三次 ).L知識梳理自主學習知識點一函數的單調性與其導數的關系在區間(a, b)內函數的導數與單調性有如下關系：導數函數的單調性f' (x)>0單調遞祖f' (x)<0單調遞也f' (x)=0常函數思考 以前，我們用定義來判斷函數的單調性，在假設XiX2的前提下，比較f(Xl)與f(X2)的大小，在函數y=f(x)比較復雜的情況下， 比較f(

2、xi)與f(x2)的大小并不很容易， 如何利用導 數來判斷函數的單調性？答案 根據導數的幾何意義， 可以用曲線切線的斜率來解釋導數與單調性的關系，如果切線的斜率大于零，則其傾斜角是銳角，函數曲線呈上升的狀態，即函數單調遞增；如果切線的斜率小于零，則其傾斜角是鈍角，函數曲線呈下降的狀態，即函數單調遞減 知識點二利用導數求函數的單調區間利用導數確定函數的單調區間的步驟：(1)確定函數f(x)的定義域.(2)求出函數的導數f' (x).(3)解不等式f' (x)>0,得函數的單調遞增區間；解不等式f (x)<0,得函數的單調遞減區間.知識點三導數絕對值的大小與函數圖象的關

3、系一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化較快，這時，函數的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數的圖象就“平緩” 一些 .也就是說導數絕對值的大小反映了函數在某個區間或某點附近變化的快慢程度重點突翦如圖，函數y=f（x）在（a,0）和（0, b）內的圖象“陡峭”，在（一巴 a）和（b,十8）內的圖象“平尹題型探究題型一利用導數確定函數的單調區間 例1求下列函數的單調區間.(1)f(x)=3x2 2ln x; (2)f(x)=x2 - ex；,1f(x) = x+1.x解函數的定義域為 D=(0, +8)；T(x)=6x2,令 f' (x) =

4、0,得 xi = W3, x2=x3（舍去），用xi分割定義域D,得下表:x0，3近 3+ OO3，f' (x)一0十f(x)函數f(x)的單調遞減區間為0,專,單調遞增區間為乎，十°° .(2)函數的定義域為D = ( 8, +oo).-.-f/ (x)=(x2)' e x+x2(e x)' = 2xe x-x2e x= e x(2x x2),令 f' (x)=0,由于 e x>0,xi = 0,x2=2,用xi,x2分割定義域D,得下表：x(一 00 , 0)0(0,2)2(2, +8)f (x)一0十0一f' (x).f(

5、x)的單調遞減區間為(一8, 0)和(2, +8),單調遞增區間為(0,2).(3)函數的定義域為D = ( 8, 0)U(0, +8).f' (x)=112,令 f' (x) = 0,得 xi=- 1, x2=1,用 xi, x2分割定義域 D,得下表: xx(一 00 , 一 1)1(-1,0)(0,1)1(1 , + 8)f (x)十0一一0十f(x)函數f(x)的單調遞減區間為(一1,0)和(0,1),單調遞增區間為(8, 1)和(1, +8).反思與感悟 首先確定函數定義域， 然后解導數不等式， 最后寫成區間的形式， 注意連接同 類單調區間不能用“U” .跟蹤訓練1

6、求函數f(x)=x33x的單調區間.解 f' (x)=3x2-3=3(x2-1).當 f' (x)>0時，x< 1 或 x> 1,此時函數f(x)單調遞增；當f' (x)V0時，-1vxv 1,此時函數f(x)單調遞減.，函數f(x)的遞增區間是(一8, 1), (1,+8),遞減區間是(一1,1).題型二利用導數確定函數的大致圖象例2 畫出函數f(x) = 2x3 3x2 36x+16的大致圖象.解 f' (x) = 6x2-6x- 36= 6(x2- x- 6)= 6(x- 3)(x+ 2).由 f' (x)>0 得 xv2

7、或 x>3,，函數f(x)的遞增區間是(一00, 2)和(3, + 8).由 f' (x)< 0得一2vxv3,，函數f(x)的遞減區間是(-2,3).由已知得 f(-2)=60, f(3)=- 65, f(0)=16.，結合函數單調性及以上關鍵點畫出函數f(x)大致圖象如圖所示(答案不唯一).反思與感悟利用導數可以判定函數的單調性，而函數的單調性決定了函數圖象的大致走向當函數的單調區間確定以后，再通過描出一些特殊點，就可以畫出一個函數的大致圖象跟蹤訓練2已知導函數f' (x)的下列信息：當 2vxv3 時，f' (x)<0;當 x>3 或 xv

8、2 時，f' (x)>0;當 x= 3 或 x= 2 時，f' (x)=0;試畫出函數f(x)圖象的大致形狀.解 當2vxv 3時，f' (x)<0,可知函數在此區間上單調遞減；當x>3或xv2時，f' (x)>0,可知函數在這兩個區間上單調遞增；當*=3或*= 2時，f (x)=0,在這兩點處的兩側，函數單調性發生改變 綜上可畫出函數f(x)圖象的大致形狀，如圖所示(答案不唯一).例3 已知函數f(x)=2ax x3, xC (0,1, a>0,若函數f(x)在(0,1上是增函數，求實數 a的 取值范圍.解 f' (x)

9、= 2a3x2,又f(x)在(0,1上是增函數等價于 f' (x)>0對xC (0,1恒成立，且僅有有限個點使得f' (x)=0,3 一，、xC(0,1時，2a 3x2>0,也就是 a>2x2恒成立.又 xe (0,1時,|x2e 0, 2 , . .a>|2.3 .a的取值范圍是 2, + 00 .反思與感悟已知函數在某個區間上的單調性，求參數的范圍，是近幾年高考的熱點問題，解決此類問題的主要依據就是導數與函數的單調性的關系，其常用方法有三種：利用充要條件將問題轉化為恒成立問題，即 f' (x)>0(或f' (x)W0)在給定區間

10、上恒成立，然后轉為不等式恒成立問題；利用子區間(即子集思想)，先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求出的增或減區間的子集；利用二次方程根的分布，著重考慮端點函數值與0的關系和對稱軸相對區間的位置.1 C跟蹤訓練 3 已知函數 f(x)= ln x, g(x)= 2ax2+2x, aw。.(1)若函數h(x) = f(x)g(x)存在單調遞減區間，求 a的取值范圍；(2)若函數h(x) = f(x)g(x)在1,4上單調遞減，求a的取值范圍.1C-解 (1)h(x)=ln x-2ax2-2x, x (0, 十00),.,1 一h (x)= - ax 2.xh(x)在(0, + 00)上存

11、在單調遞減區間,，.-一,1，一當 xC (0, + oo)時，ax 2<0 有解, x即a> 2有解.一 12設 G(x) = 7 - x,.只要 a>G(x)min 即可.12.而 G(x)= - 1 2 1 ,x G(x)min = 1 , . . a > 1.(2) h(x)在1,4上單調遞減,.1,一，、，xC1,4時，h (x) = ax 2W 0 恒成立, x即a>2-2恒成立，x2 x1,2 a > G(x)max 而 G(x)=1 1,x G (x)max =工16'716.例4 求函數y=x ln x的單調區間錯解 y'

12、=1 ；令y' = 1 1 >0,得x> 1或x< 0,所以函數y= x ln x的單調遞增區 xx間為（1, + °°）, （°° 0）.令y' =1 1v0,得0vxv1,所以函數y=xIn x的單調遞減 x區間為（0,1）.錯因分析在解與函數有關的問題時，一定要先考慮函數的定義域，這是最容易忽略的地方.正解 函數y=xln x的定義域為（0, 十 °°）,又 V, =1-9x，令y' =1 1 >0,得x> 1或x<0（舍去），所以函數y=x- ln x的單調遞增區間為

13、（1, + 8）. x令v' =1 ,< 0,得0vxv 1,所以函數y=xIn x的單調遞減區間為（0,1）. x防范措施在確定函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域m當堂檢測自查自糾1.函數 f(x) = x + ln x 在(0,6)上是()A.單調增函數B.單調減函數C.在0, 1上是減函數，在 1, 6上是增函數 eeD.在0, 1上是增函數，在 6上是減函數 ee答案 A解析 .xC(0,6)時，f' (x) = 1 + 1>0, .函數 f(x)在(0,6)上單調遞增. x2 .f' (x)是函數y=f(x)的導函數，若y=f' (x

14、)的圖象如圖所示，則函數y=f(x)的圖象可能是()答案 D解析 由導函數的圖象可知，當 x<0時，f (x)>0,即函數f(x)為增函數；當0vxv2時, f (x)<0,即f(x)為減函數；當x> 2時，f (x)>0,即函數f(x)為增函數.觀察選項易知 D正 確.3 .若函數f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)內單調遞減，則實數 a的取值范圍是()A.1, + b) B.a=1 C.(8, 1 D.(0,1)答案 A解析f' (x) = 3x2 2ax 1,且f(x)在(0,1)內單調遞減，,.不等式3x2-2ax- K0在(0,1)內恒成立

15、,f' (0)<0,且 f' (1)<0, .-.a>1.4 .函數y=x24x+ a的增區間為 ,減區間為 .答案(2, +8) ( 8, 2)解析 y' =2x4,令 y' >0,得 x> 2;令 y' < 0,彳導 x< 2,所以y=x24x+a的增區間為(2, + 8),減區間為(8, 2).5 .已知函數f(x)=2ax1, xC (0,1.若f(x)在xC (0,1上是增函數，則 a的取值范圍為x1答案 一2, +°°1解析 由已知條件得f' (x) = 2a+x2.f(x

16、)在(0,1上是增函數，f' (x)>0,即 a> 1 ,，一，、彳在x (0,1上恒成乂11一1 .而g(x)= 彳在(0,1上是增函數, nx ，、1一 g(x)max = g(1) = - 212.,f' (x)= 1 + 4對 xC (0,1有 f' (x)>0,且僅在 x=1 時，f' (x)=0. x1 一，a=2時，f(x)在(0,1上是增函數1 .a的取值范圍是一2, + 00 .一課堂小結判斷函數單調性的方法如下： (1)定義法.在定義域內任取 x1 , x2,且x1x2,通過判斷f(x1) f(x2)的符號來確定函數的單調

17、性.(2)圖象法.利用函數圖象的變化趨勢進行直觀判斷.圖象在某個區間呈上升趨勢，則函數在這個區間內是增函數；圖象在某個區間呈下降趨勢，則函數在這個區間內是減函數(3)導數法.利用導數判斷可導函數f(x)在區間(a, b)內的單調性，步驟是：求f' (x);確定f' (x)在(a, b)內的符號；確定單調性.求函數y=f(x)的單調增區間、減區間分別是解不等式f' (x)>0和f' (x)<0所得的x的取值集合.反過來，如果已知f(x)在區間D上單調遞增，求f(x)中參數的值，這類問題往往轉化為 不等式的恒成立問題，即 f (x)>0在D上恒成立

18、且僅在有限個點上等號成立，求f(x)中參數的值.同樣可以解決已知f(x)在區間D上單調遞減，求f(x)中參數的值的問題.課時精練一、選擇題1 .函數y=(3x2)ex的單調遞增區間是()A.(8, 0)B.(0, +8)C.( 8, 3)和(1, +8)D.( 3,1)答案 D解析 求導函數得v' = ( x22x+3)ex令 y' =(x22x+ 3)ex>0,可得 x2+2x3v0,-3<x< 1.函數y=(3 x2)ex的單調遞增區間是(一3,1).2.已知函數f(x) = x3 + ax2 x 1在(一00, + 8)上單調遞減，則實數a的取值范圍是(

19、)A.(-OO,峋 UV3, +8 )B.-3,峋C.( 巴m)U(*5 + °° )D.(-有班)答案 B解析由題意得f' (x) = 3x2+2ax1W 0在(8 , + oo)上恒成立，且僅在有限個點上f' (x)=0,則有 A= 4a212W0,解得73< a< V3.3 .下列函數中，在(0, +8 )內為增函數的是()A.y= sin xB.y= xe2C.y = x3 xD.y= In x x答案 B解析 顯然y=sin x在(0, +°°)上既有增又有減，故排除A；對于函數y= xe2,因e2為大于零的常數，不

20、用求導就知y=xe2在(0, +8)內為增函數；對于 C, v' =3x21=3 x +乎 x 當，故函數在 8,喙,坐,十8上為增函數， 33在喙，乎上為減函數； 33對于 D, v' =- 1 (x>0).x故函數在(1, + 8)上為減函數，在(0,1)上為增函數.故選B.(x),則當avxv b時，有()4 .設 f(x), g(x)在a, b上可導,且 f' (x)>g'A.f(x)>g(x)B.f(x)vg(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 答案 C 解析'

21、-'f (x)-gz (x)>0, . .(f(x)g(x)' >0, ，f(x)g(x)在a, b上是增函數, 當 avxvb 時 f(x)g(x)>f(a)g(a), f(x)+g(a)>g(x)+f(a).5.函數lnJx| 片x的圖象大致是()答案上ln | x| 上解析y=f(-x)=L-*=-f(x),- x.y=f(x) = 1n兇為奇函數, x，y=f(x)的圖象關于原點成中心對稱，可排除B.又.當 x>。時，f(x)=lnx,(x)=1 xn x當 x> e 時，f' (x)< 0, 二.函數f(x)在(e,

22、+ °°)上單調遞減;當 0vxve 時，f' (x)>0, 函數f(x)在(0, e)上單調遞增.故可排除A, D,而C滿足題意.6.定義在R上的函數f(x)滿足：f' (x)>1f(x),f(0)=6,f' (x)是f(x)的導函數，則不等式exf(x)>ex+5(其中e為自然對數的底數)的解集為()A.(0, +8)B.(8, 0)U(3, +8)C.( 8, 0)U(1, +8 )d.(3, +8 )答案 A解析 由題意可知不等式為exf(x)-ex-5>0,設 g(x) = exf(x)-ex-5, g' (

23、x)= exf(x)+exf, (x) ex= exf(x)+f'x)1>0.函數g(x)在定義域上單調遞增.又. g(0)=0, .ax)。的解集為(0, +8).二、填空題7.若函數f(x)=2x2In x在定義域內的一個子區間(k-1, k+1)上不是單調函數，則實數k的取值范圍是.3答案 i, 214x21 ,一一解析顯然函數f(x)的7E義域為(0, + 8) f (x) = 4x- =.由f (x)>0,得函數f(x)x x11的單調遞增區間為 2, + 8 ；由f，(x)<0,得函數f(x)單調遞減區間為0, 2 .因為函數在1.一 13區間(k1, k

24、+1)上不是單倜函數，所以 k- 1<2<k+1，解得一2< k<2,又因為(k1，k3+ 1)為定義域內的一個子區間，所以 k-1>0,即 21.綜上可知，ykj38.函數y= f(x)在其定義域一2，3內可導，其圖象如圖所不，記y=f(x)的導函數為y=f' (x),則不等式f' (x)W0的解集為 .-1,答案 W，1 u 2,3) 39 .函數y=ln(x2 x 2)的遞減區間為 .答案1)解析 f (x)=-2217,令f' (x)<0得xv 1或1vxv2,注意到函數定義域為(00, x2 x 221)U(2, +8),故

25、遞減區間為(8, 1).c1 110 .若函數f(x)=x2+ax+-在+8 上是增函數，則 a的取值范圍是X 2答案 3, +8)1 . 1解析 因為f(x)=x2+ax+-在-,+ 00上是增函數，X 2一一1, 1,，.、故 f (x)= 2x+a0 在 2，+ oo 上恒成乂，1 一 ， 1即a>1 2x在2, + 00上恒成立.令 h(x) = 2x,則,2h (x)=-3-2,x一 1當xC 2，+ 00時，h (x)<0,則h(x)為減函數,一,1,所以 h(x)vh 2=3,所以 a>3.三、解答題11 .已知函數f(x) = ax3+bx2的圖象經過點 M(

26、1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線 垂直.(1)求實數a, b的值；(2)若函數f(x)在區間m, m+1上單調遞增，求 m的取值范圍.解 (1) :函數f(x)= ax3 +bx2的圖象經過點 M(1,4),，a+b=4.f (x)=3ax2+2bx,則 f (1)=3a+2b.由條件 f' (1) -1 =- 1,即 3a + 2b=9. 9由解得a= 1, b= 3.(2)f(x) = x3+ 3x2,則 f' (x)=3x2 + 6x.令 f' (x)= 3x2+6x> 0,得 x> 0 或 xw2.:函數f(x)在區間m, m+1上單調遞增，.

27、m, m+1?(8, 2U0, +8). . m> 0 或 m+1 w 2,，m>0 或 mW3.12 .已知函數f(x)=a、+ x2xln a- b(a, bCR, a>1), e是自然對數的底數.試判斷函數f(x)在區間(0, +8)上的單調性；(2)當a = e, b=4時，求整數k的值，使得函數f(x)在區間(k, k+1)上存在零點.解 (1)f' (x) = axln a+ 2xln a=2x+(ax 1)ln a., a> 1, 當 xC(0, + 8)時,ln a>0, ax- 1 >0,f' (x)>0,函數f(x)

28、在(0, +8)上單調遞增.x+9y= 0(2)-. f(x) = ex+x2-x- 4, ：.f (x)=ex+2x 1, f' (0)=0.當 x>0 時，ex> 1, .(x)>0, .f(x)是(0, + 8)上的增函數.同理，f(x)是(一8, 0)上的減函數.又 f(0)=3< 0, f(1)=e- 4<0, f(2) = e2-2>0,當 x>2 時，f(x)>0, 當x>0時，函數f(x)的零點在(1,2)內， ' k= 1滿足條件.,11 C Cf(0) = - 3<0, f(1) = &- 2<0, f( 2)=段+2>0,當 xv2 時，f(x)>0, 當x<0時,函數f(x)零點在(一2, 1)內, ' k= - 2滿足條件.綜上所述，k= 1或2.13.求下列函數的單調區間.(1)y= ln(2x+3) + x2;(2)f(x)= aln x + x;(a 為常數).x+ 13解 (1)函數 y=ln (2x+3) + x2te義域為 一g, + 00 . y= ln(2x+ 3) + x2,24x2+ 6x+ 2 2 2x+ 1 x+ 1 y = +