1、六年級奧數專題：枚舉法我們在課堂上遇到的數學問題，一般都可以列出算式，然后求出結果。但在數學競賽或生活中卻經常會遇到一些有趣的題目，由于找不到計算它們的算式，似乎無從下手。但是，如果題目所述的情況或滿足題目要求的對象能夠被一一列舉出來，或能被分類列舉出來，那么問題就可以通過枚舉法獲得解決。所謂枚舉法，就是根據題目要求，將符合要求的結果不重復、不遺漏地一一列舉出來，從而解決問題的方法。例1 小明和小紅玩擲骰子的游戲，共有兩枚骰子，一起擲出。若兩枚骰子的點數和為7，則小明勝；若點數和為8，則小紅勝。試判斷他們兩人誰獲勝的可能性大。分析與解：將兩枚骰子的點數和分別為7與8的各種情況都列舉出來，就可得

2、到問題的結論。用ab表示第一枚骰子的點數為a，第二枚骰子的點數是b的情況。出現7的情況共有6種，它們是：16，25，34，43，52，61。出現8的情況共有5種，它們是：26，35，44，53，62。所以，小明獲勝的可能性大。注意，本題中若認為出現7的情況有16，25，34三種，出現8的情況有26，35，44也是三種，從而得“兩人獲勝的可能性一樣大”，那就錯了。例2 數一數，右圖中有多少個三角形。分析與解：圖中的三角形形狀、大小都不相同，位置也很凌亂，不好數清楚。為了避免數數過程中的遺漏或重復，我們將圖形的各部分編上號（見右圖），然后按照圖形的組成規律，把三角形分成單個的、由兩部分組成的、由3

3、部分組成的再一類一類地列舉出來。單個的三角形有6個：1 ，2，3，5，6，8。由兩部分組成的三角形有4個：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。由三部分組成的三角形有1個：（5，7，8）。由四部分組成的三角形有2個：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。由八部分組成的三角形有1個：（1，2，3，4，5，6，7，8）。總共有64121=14（個）。對于這類圖形的計數問題，分類型數是常用的方法。例3 在算盤上，用兩顆珠子可以表示多少個不同的四位數？分析與解：上珠一個表示5，下珠一個表示1。分三類枚舉：（1）兩顆珠都是上珠時，可表示5005，5050，5500三個數；（2）兩顆珠都是下珠

4、時，可表示1001，1010，1100，2000四個數；（3）一顆上珠、一顆下珠時，可表示5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000七個數。一共可以表示 347=14（個）四位數。由例13看出，當可能的結果較少時，可以直接枚舉，即將所有結果一一列舉出來；當可能的結果較多時，就需要分類枚舉，分類枚舉是我們需重點學習掌握的內容。分類一定要包括所有可能的結果，這樣才能不遺漏，并且類與類之間不重疊，這樣才能不重復。例4 有一只無蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開成平面展開圖。那么，共有多少種不同的展開圖？分析與解：我們將展開圖按最長一行有多少個正方形（紙箱的面）來分類，可以分為三類：

5、最長一行有4個正方形的有2種，見圖（1）（2）；最長一行有3個正方形的有5種，見圖（3）（7）；最長一行有2個正方形的有1種，見圖（8）。不同的展開圖共有2518（種）。例5 小明的暑假作業有語文、算術、外語三門，他準備每天做一門，且相鄰兩天不做同一門。如果小明第一天做語文，第五天也做語文，那么，這五天作業他共有多少種不同的安排？分析與解：本題是分步進行一項工作，每步有若干種選擇，求不同安排的種數（有一步差異即為不同的安排）。這類問題簡單一些的可用乘法原理與加法原理來計算，而本題中由于限定條件較多，很難列出算式計算。但是，我們可以根據實際的安排，對每一步可能的選擇畫出一個樹枝狀的圖，非常直觀地

6、得到結果。這樣的圖不妨稱為“枚舉樹”。由上圖可知，共有6種不同的安排。例6 一次數學課堂練習有3道題，老師先寫出一個，然后每隔5分鐘又寫出一個。規定：（1）每個學生在老師寫出一個新題時，如果原有題還沒有做完，那么必須立即停下來轉做新題；（2）做完一道題時，如果老師沒有寫出新題，那么就轉做前面相鄰未解出的題。解完各題的不同順序共有多少種可能？分析與解：與例5類似，也是分步完成一項工作，每步有若干種可能，因此可以通過畫枚舉樹的方法來求解。但必須考慮到所有可能的情形。由上圖可知，共有5種不同的順序。說明：必須正確理解圖示順序的實際過程。如左上圖的下一個過程，表示在第一個5分鐘內做完了第1題，在第二個

7、5分鐘內沒做完第2題，這時老師寫出第3題，只好轉做第3題，做完后再轉做第2題。例7 是否存在自然數n，使得n2n2能被3整除？分析與解：枚舉法通常是對有限種情況進行枚舉，但是本題討論的對象是所有自然數，自然數有無限多個，那么能否用枚舉法呢？我們將自然數按照除以3的余數分類，有整除、余1和余2三類，這樣只要按類一一枚舉就可以了。當n能被3整除時，因為n2，n都能被3整除，所以（n2n2）÷3余2； 當n除以3余1時，因為n2，n除以3都余1，所以（n2n2）÷3余1； 當n除以 3余 2時，因為n2÷3余1，n÷3余2，所以（n2n2）÷3余2。

8、因為所有的自然數都在這三類之中，所以對所有的自然數n，（n2n2）都不能被3整除。練習1.將6拆成兩個或兩個以上的自然數之和，共有多少種不同拆法？2.小明有10塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那么共有多少種不同的吃法？3.用五個1×2的小矩形紙片覆蓋右圖的2×5的大矩形，共有多少種不同蓋法？4.15個球分成數量不同的四堆，數量最多的一堆至少有多少個球？5.數數右圖中共有多少個三角形？6.甲、乙比賽乒乓球，五局三勝。已知甲勝了第一盤，并最終獲勝。問：各盤的勝負情況有多少種可能？7.經理有4封信先后交給打字員，要求打字員總是先打最近接到的信，比如打完第3封信時第4封信還未到

9、，此時如果第2封信還未打完，那么就應先打第2封信而不能打第1封信。打字員打完這4封信的先后順序有多少種可能？練習答案1.10種。解：6=15=24=33=114=123=2+2+2=1+1+1+31+1+2+21+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。2.9種。解：一天吃完有1種：（10）；兩天吃完有5種：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）；三天吃完有3種：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共1+5+3=9（種）。3.8種。解：如下圖所示，只有1個小矩形豎放的有3種，有3個小矩形豎放的有4種，5個小矩形都豎放的有1種。共341=8（種）。4.6個。解：15個球分成數量不同的四堆的所有分法有下面6種：（1，2，3，9），（1，2，4，8，）（1，2，5，7），（1，3，4，7），（1，3