1、6.1 引言信號表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號表示式與多維矢量之間存在許多形式上的類似，信號用多維矢量描述便于對信號的性能、信號分析與處信號用多維矢量描述便于對信號的性能、信號分析與處理進行更深入的研究。理進行更深入的研究。本章主要內容本章主要內容利用矢量空間方法研究信號理論的基本概念；利用矢量空間方法研究信號理論的基本概念；信號的正交函數分解；信號的正交函數分解；相關函數；相關函數；能量譜和功率譜；能量譜和功率譜；相關、正交概念的應用：相關、正交概念的應用：匹配濾波器，碼分復用匹配濾波器，碼分復用技術。技術。線性空間線性空間 范數范數 內積內積 柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等

2、式一線性空間定義：定義：是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構成是這樣一種集合，其中任意兩元素相加可構成此集合內的另一元素，任意元素與任意數（可以是實此集合內的另一元素，任意元素與任意數（可以是實數也可以是復數）相乘后得到此集合內的另一元素。數也可以是復數）相乘后得到此集合內的另一元素。例例:NNR 維維實實數數空空間間NNC 維維復復數數空空間間L 連連續續時時間間信信號號空空間間l 離離散散時時間間信信號號空空間間二范數 表表示示，滿滿足足以以下下公公理理的的范范數數以以符符號號線線性性空空間間中中元元素素x x 。三角形不等式三角形不等式；有有量量正齊性對所有數正齊性對所有數；時時當且僅

3、當當且僅當正定性正定性yxyx3xx,20 x0 x, 0 x1 空空間間的的范范數數；與與NNC.R1 階范數定義為階范數定義為的的空間元素空間元素與與在在為實數，為實數，令令pxxxxppNNN,CR,121 max 1 def111 pxpxxiNipNipip對于對于對于對于常用范數 11 , 1max 21121121 xxx )Euclidean(2范數或歐氏距。范數或歐氏距。也稱為歐氏也稱為歐氏矢量的長度。矢量的長度。理意義是理意義是空間中，二階范數的物空間中，二階范數的物在二維或三維實數矢量在二維或三維實數矢量x中中的的范范數數和和離離散散時時間間信信號號空空間間連連續續時時間

4、間信信號號空空間間lL. 2 定定義義如如下下階階范范數數的的中中，元元素素連連續續時時間間信信號號空空間間ppxLx1 sup1 dx1 ptxpttxppp sup 1 xp1 pnxpnxnpp這里這里sup表示信號的最小上界，對于定義在閉區間內的表示信號的最小上界，對于定義在閉區間內的信號，信號，sup表示其幅度值。表示其幅度值。 的的定定義義階階范范數數的的元元素素中中離離散散時時間間信信號號空空間間ppnxlx,2(3)(3)常用的范數常用的范數 L dx1空空間間ttx 空間空間lnxn x1 可見，一階范數表示信號作用的強度。可見，一階范數表示信號作用的強度。一階范數一階范數

5、dx dx L2222122ttxttx 即即空間空間 x x 2222122 nnnxnxl即即空間空間物理意義：二階范數的平方表示信號的能量。物理意義：二階范數的平方表示信號的能量。二階范數二階范數 sup x Ltx 空空間間 supx nxl 空空間間 ,號的幅度。號的幅度。可測得的峰值，也即信可測得的峰值，也即信表示信號表示信號閉區間上的閉區間上的物理意義：對于定義在物理意義：對于定義在 xtx三內積 21222211cosyx yxyx內積（點積）運算內積（點積）運算對應于二維矢量空間的對應于二維矢量空間的2211yxyx 1 2 1x2x1y2yxy 21222121222122

6、1121cosyyxxyxyx 直角坐標平面內兩矢量相對位置關系直角坐標平面內兩矢量相對位置關系利用范數符號，將矢量長度分別寫作利用范數符號，將矢量長度分別寫作 21222122122212yxyyxx 于是于是上式表明：給定的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量上式表明：給定的矢量長度，標量乘積式反映了兩矢量之間相對位置的之間相對位置的“校準校準”情況。即情況。即 標量乘積為零標量乘積為零兩矢量之夾角為兩矢量之夾角為,90, 0cos21 標量乘積取最大值標量乘積取最大值兩矢量夾角為兩矢量夾角為 ,0, 1cos21 21222211cosyx yxyx332211yxyxyx 多維多維維實線性

7、空間維實線性空間NyxiNii y, x1 維復線性空間維復線性空間NyxiNii y, x1 三維三維推廣推廣信號空間信號空間 dyx,連續時間信號連續時間信號ttytx yx,Z離散時間信號離散時間信號 nnynx對于對于L空間或空間或l空間，信號空間，信號x與其自身的內積運算為與其自身的內積運算為 xdxx,222連續連續 ttx xxx,222離散離散 Znnx內的兩連續信號的內積內的兩連續信號的內積Ly, yx, xy, x2 四柯西施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式不等式6.3 信號的正交函數分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函數正交函數正交函數集正交函數集復變函數

8、的正交特性復變函數的正交特性將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號將任意信號分解為單元信號之和，從而考查信號的特性。的特性。簡化系統分析與運算，簡化系統分析與運算， 總響應總響應=單元響應之和。單元響應之和。信號分解的目的 niitete0 teiH tri niiniitrteHteHtr002VVe eVVcV 2121誤差矢量誤差矢量 )cos(211212VVVVc 2221222121221112)cos()cos(VVVVVVVVVVVVVVc 系數系數021 VV兩矢量正交兩矢量正交怎樣分解，能得到最小的誤差分量？怎樣分解，能得到最小的誤差分量？0 12 c即即1V2V21V

9、c1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：方式不是惟一的：表示，表示，用用21VV1211eVVcV 一矢量的正交分解eVVc 212222eVVc 正交分解空間空間中任一矢量可分解為中任一矢量可分解為x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面平面中任一矢量可分解為中任一矢量可分解為x,y二方向矢量。二方向矢量。一個三維空間矢量一個三維空間矢量 ，必須用三個正交，必須用三個正交的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現誤差：的矢量來表示，如果用二維矢量表示就會出現誤差：hzj yi xV 0 , hzVj yi xVe二正交函數 表示，即表示，即用用內，信號內，信號在區間在區間tftft

10、tt2121 )()(2121tfctf 誤差誤差 21d)(1)(22121222ttettfctftttf求得求得必需使必需使最小的最小的為求使為求使, 0dd , 122122 cc tftftftfttfttftfctttt(),(),(d)(d)()(22212221122121 稱稱為為正正交交函函數數，滿滿足足則則，若若)(),(02112tftfc 0d)()(2121 ttftftt系數系數三正交函數集任意信號任意信號f(t)可表示為可表示為n維正交函數之和：維正交函數之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函數原函數近似

11、函數近似函數 )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfKttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jiKjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函數基底函數 正正交交函函數數集集tgtgtgr21,分解原則是誤差函數方均值最小 d)()(1)(21122122誤差信號功率誤差信號功率誤差信號能量誤差信號能量ettnrrrefttgctftttf 表達式表達式可得可得令令rnrcCCCC0, 0, 0, 0 222212 理解rttrttrttrrKttgtfttgttg

12、tfc 212121d)()(d)(d)()(2正交函數集規定：正交函數集規定： 所有函數應所有函數應兩兩正交兩兩正交。 不能因一個函數集中某幾個函數相互正交就說該不能因一個函數集中某幾個函數相互正交就說該函數集是正交函數。函數集是正交函數。 是是相互獨立相互獨立的，互不影響，計算時先抽取的，互不影響，計算時先抽取哪一個都可以，非正交函數就無此特性。哪一個都可以，非正交函數就無此特性。 nccc,21此公式是個通式，適合于此公式是個通式，適合于任何正交任何正交函數集。函數集。兩周期信號在兩周期信號在同一周期內同一周期內(同區間內同區間內)正交的條件是正交的條件是c12=0，即：，即： 總結 0

13、d)()(21 Tttftf 兩個信號不正交，就有相關關系，必能分解出另一兩個信號不正交，就有相關關系，必能分解出另一信號。信號。對一般信號在給定區間正交，而在其他區間不一定對一般信號在給定區間正交，而在其他區間不一定滿滿足正交。足正交。四.復變函數的正交特性jitgtgttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiKtgtgttgtg )(),(d)()(21* 求系數求系數表示表示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr 的共軛的共軛為為)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 則此復變函數集為則此復變函數

14、集為正交函數集正交函數集。 0d)()(d)()(21211221 ttttttftfttftf 滿足關系滿足關系內，復變函數集內，復變函數集若在區間若在區間nrtgttr, 2 , 1,21 內相互正交的條件是內相互正交的條件是兩復變函數在區間兩復變函數在區間21,tt6.4 6.4 完備正交函數集、完備正交函數集、帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理完備正交函數集完備正交函數集帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理定義定義1 1： 定義定義2 2： 一完備正交函數集 nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()( 為完備的正交函數集。為完備的正交函數集。，此時，此時，則，則下降

15、，若下降，若增加時，增加時，當當tgtgtgtgnnnr2122,0 不完備。不完備。數集數集于此正交函數集，原函于此正交函數集，原函必屬必屬，則，則有有如果存在函數如果存在函數tgtgtgtgtxttxtgtxnrttr21,0d)()(,21 二帕塞瓦爾定理物理意義物理意義： 一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在一個信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量（功率）之和。完備正交函數集中各分量能量（功率）之和。 121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgCttgCttf信號的信號的能量能量基底信號的基底信號的能量能量各信號分量的各信號分量的

16、能量能量數學本質：數學本質：矢量空間信號正交變換的范數不變性。矢量空間信號正交變換的范數不變性。能量信號與功率信號能量信號與功率信號相關系數與相關函數相關系數與相關函數相關與卷積的比較相關與卷積的比較相關定理相關定理 6.6Rtitp)()(2 在一個周期內，在一個周期內，R消耗的能量消耗的能量 222220000d)(d)(TTTTttiRttpE 22200d)(1TTttvRE或或平均功率可表示為平均功率可表示為 222000d)(1TTttiRTP 222000d)(11TTttvRTP或或設設i(t)為流過電阻為流過電阻R的電流，的電流，v(t)為為R 上的電壓上的電壓 R)(ti

17、)(tv瞬時功率為瞬時功率為一能量信號和功率信號定義討論上述兩個式子，只可能出現兩種情況：討論上述兩個式子，只可能出現兩種情況：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 滿足滿足式的稱為能量信號，滿足式的稱為能量信號，滿足式稱功率信號式稱功率信號。 E00 P P0 E定義：定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，則在整個時間域內，實信號，則在整個時間域內，實信號f(t)的的 2220000d)(1limTTTttfTP平均功率平均功率 222000d)(limTTTttfE能量能量一般規律一般周期信號為功率信號。

18、一般周期信號為功率信號。非周期信號，在有限區間有值，為能量信號。非周期信號，在有限區間有值，為能量信號。還有一些非周期信號，也是非能量信號。還有一些非周期信號，也是非能量信號。如如u(t)是功率信號；是功率信號；而而tu(t)為非功率非能量信號為非功率非能量信號; ;(t)是無定義的非功率非能量信號。是無定義的非功率非能量信號。數學本質數學本質: 相關系數是信號矢量空間內積與范數特征的相關系數是信號矢量空間內積與范數特征的具體表現。具體表現。 物理本質物理本質: 相關與信號能量特征有著密切聯系。相關與信號能量特征有著密切聯系。 21)(),()(),()(),(22112112tftftftf

19、tftf 222121)()()(),(tftftftf 1相關系數12 由兩個信號的內積所決定：由兩個信號的內積所決定：二相關系數與相關函數由柯西施瓦爾茨不等式，得由柯西施瓦爾茨不等式，得 21ddd222121 ttfttfttftf所以所以112 等于零等于零此時此時完全一樣完全一樣與與若若21221, 1, tftf 最大最大此時此時為正交函數為正交函數與與若若21221, 0, tftf ,2112運算給出了定量說明。運算給出了定量說明。利用矢量空間的的內積利用矢量空間的的內積的相關特性的相關特性與與描述了信號描述了信號從信號能量誤差的角度從信號能量誤差的角度相關系數相關系數tftf

20、 2相關函數f1(t)與與f2(t)是能量有限信號是能量有限信號f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數f1(t)與與f2(t)是功率有限信號是功率有限信號f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數分如下幾種情況討論：分如下幾種情況討論：(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號 f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數: 相關函數定義相關函數定義: ttftfRd)()()(2112 ttftfd)()(21 ttftfRd)()()(2121 ttftfd)()(21 可以證明：可以證明： )()(2112 RR

21、時時，自自相相關關函函數數為為當當)()()(21tftftf ttftfRd)()()( ttftfd)()( )()( RR的偶函數的偶函數相關函數：相關函數： ttftfRd)()()(*2112 ttftfd)()(*21 ttftfRd)()()(2*121 ttftfd)()(2*1 ttftfRd)()()(* ttftfd)()(* 同時具有性質：同時具有性質： )()(*2112 RR)()(* RR(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號 f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數: 相關函數：相關函數： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221

22、d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相關函數：自相關函數： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號 f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數: 相關函數：相關函數： 22*2112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221*221d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相關函數：自相關函數： 22*d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號 f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數: 兩者的關系兩者的關系 )(*)()(2112tftftR 即即 )(1tf)(2tf與與 為

23、實偶函數，則其卷積與相關完全相同。為實偶函數，則其卷積與相關完全相同。 )(2tf反褶與反褶與 )(1tf之卷積即得之卷積即得 )(1tf)(2tf與與 的相關函數的相關函數 )(12tR 三相關與卷積的比較 )(1tf)(2tf與與 卷積表達式：卷積表達式： d)()()(*)(2121 tfftftf)(1tf)(2tf與與 相關函數表達式：相關函數表達式： ttftftRd)()()(2112 說明 最大。最大。相關性最強相關性最強時時自相關在自相關在0,0Rt 。則則卷卷積積與與相相關關完完全全相相同同為為實實偶偶函函數數與與若若,21tftf相關與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個

24、步相關與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個步驟，差別在于卷積運算需要反褶，而相關不需要反褶。驟，差別在于卷積運算需要反褶，而相關不需要反褶。 四相關定理 若已知若已知 )()(11 Ftf F )()(22 Ftf F則則 )()()(*2112 FFR F若若),()()(21tftftf )()( Ftf F則自相關函數為則自相關函數為 2)()( FR F說明1.相關定理表明：兩信號互相關函數的傅里葉變換等于相關定理表明：兩信號互相關函數的傅里葉變換等于其中第一個信號的變換與第二個信號變換取共軛兩者之其中第一個信號的變換與第二個信號變換取共軛兩者之積。積。2.自相關函數的傅里葉變換等于

25、原信號幅度譜的平方。自相關函數的傅里葉變換等于原信號幅度譜的平方。 定理具有相同的結果。定理具有相同的結果。此時相關定理與卷積此時相關定理與卷積此時此時若是實偶函數若是實偶函數,. 32*2 FF 6.7能量譜與功率譜1.能量譜 由相關定理知由相關定理知 2)()( FR F de)(21)(j2 FR所以所以 d)(21)0(2 FR又能量有限信號的自相關函數是又能量有限信號的自相關函數是 ttftfRd)()()(* ttfRd)()0(2有下列關系有下列關系 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 若若 為實數為實數,上式可寫成上式可寫成 )(tf ttfRd)()0(2

26、 d)(212 FffFd)(2 帕塞瓦爾方程帕塞瓦爾方程定義定義能量譜密度（能譜）能量譜密度（能譜） 2)()( F 所以有所以有 )()( RF )()(1 FR所以能譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。所以能譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。 ttfRd)()0(2 d)(212 FffFd)(2 是功率有限信號是功率有限信號 )(tf 2 0 2 )()( TTtTttftf令令 )()(TT Ftf F則則 )(tf的的平均功率平均功率為：為： d)(lim21d)(1lim2T222TFttfTPTTTT 定義定義 TFST2T)(lim)( f(t)的功率密度函數的功率密度

27、函數(功率譜）功率譜） 2功率譜利用相關定理有：利用相關定理有： de)(21)(j2 FR de)(21)(j2 FR并取并取 兩端乘以兩端乘以 T1 T可以得到：可以得到： de )(21)(j SR de )()(j RS即即 )()()()(1 pRRS FF功率有限信號的功率譜函數與自相關函數功率有限信號的功率譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換。是一對傅里葉變換。 能量譜和功率譜分析能量譜和功率譜分析信號經線性系統的自相關函數信號經線性系統的自相關函數 6.8前面，從前面，從 域域頻域頻域時域時域s中研究了中研究了 系系統統響響應應激激勵勵現在，從激勵和響應的自相關函數，能量譜，功率

28、譜現在，從激勵和響應的自相關函數，能量譜，功率譜所發生的變化來研究線性系統所表現的傳輸特性。所發生的變化來研究線性系統所表現的傳輸特性。三者的關系三者的關系一能量譜和功率譜分析 jH th te tr jE jH時域時域 tethtr* 頻域頻域 jjjEHR re 的能量譜密度為的能量譜密度為，的能量譜密度為的能量譜密度為是能量有限信號，是能量有限信號，假定假定trtete 2ej E 2rj R e2rjSHS 物理意義：響應的功率譜等于激勵的功率譜與物理意義：響應的功率譜等于激勵的功率譜與 2j H的乘積。的乘積。同樣，對功率信號有同樣，對功率信號有物理意義：響應的能譜等于激勵的能譜與物

29、理意義：響應的能譜等于激勵的能譜與 2j H的乘積。的乘積。所以所以 e2rjH 顯然顯然 222jjj EHR eS je r 2j H rS二二信號經線性系統的自相關函數由由 e2rjH e2rjSHS 得得 e*rjjHH e*rjjSHHS 因為因為 jHth F j*Hth F所以所以 he*erRRththRR 其中其中 ththR *h 為系統沖激響應的自相關函數。為系統沖激響應的自相關函數。 eR hR rR 6.9一定義匹配濾波器：匹配濾波器：指濾波器的性能與信號的特性取得某種一致，使指濾波器的性能與信號的特性取得某種一致，使濾波器輸出端的信號瞬時功率與噪聲平均功率的濾波器輸

30、出端的信號瞬時功率與噪聲平均功率的比值最大。即當信號與噪聲同時進入濾波器時，比值最大。即當信號與噪聲同時進入濾波器時，它使信號成分在某一瞬間出現尖峰值，而噪聲成它使信號成分在某一瞬間出現尖峰值，而噪聲成分受到抑制。分受到抑制。 H j tnts tntsoo 二匹配濾波器的約束關系依據：濾波器使信號平方與噪聲功率之比達到最大值。依據：濾波器使信號平方與噪聲功率之比達到最大值。匹配濾波器的約束關系匹配濾波器的約束關系 mjejj kSH其沖激響應為其沖激響應為 ttksHFth m1j s(t)為輸入為輸入信號信號 。右移右移對垂直軸鏡像并向對垂直軸鏡像并向是所需信號是所需信號匹配濾波器的沖激響

31、應匹配濾波器的沖激響應Tts時時則則當當一一般般取取1,m kTt tTsth )(tsOtTT Ot)( ts (a)(b)mtTt mtO)(thTt m(e)如圖如圖(b)(c)(d) (e)分別示出分別示出 的三種情況，的三種情況，及及ttsts mmtT mtt)(thTt mO(c)Tt m)(thmttO(d) 說明 進行自相關運算，進行自相關運算，于對于對匹配濾波器的功能相當匹配濾波器的功能相當ts tTRtTststhtsts SSo 的波形無關的波形無關與與的能量的能量等于信號等于信號其大小其大小時刻時刻最大值出現在最大值出現在匹配濾波器輸出信號的匹配濾波器輸出信號的tsE

32、tsTt, 時，輸出信號峰值為時，輸出信號峰值為當當Ttt m dj212omoSTsts 明顯抑制。明顯抑制。算相對于有用信號受到算相對于有用信號受到波器所完成的互相關運波器所完成的互相關運而噪聲通過濾而噪聲通過濾的峰值的峰值時刻，取得自相關函數時刻，取得自相關函數在在,SStRTt tTRts SSo ttsTsd2o ESttsTs dj21d22o由于由于得得所以所以時，輸出信號峰值為時，輸出信號峰值為當當Ttt m dj212omoSTsts 6.11一定義碼分：碼分：利用一組正交碼序列來區分各路信號。利用一組正交碼序列來區分各路信號。碼分復用：碼分復用：利用自相關函數抑制互相關函數

33、的特性來選利用自相關函數抑制互相關函數的特性來選取正交信號碼組中的所需信號，因此也稱為正交復用。取正交信號碼組中的所需信號，因此也稱為正交復用。二碼分復用的理論依據三碼分復用的原理相乘相乘 相乘相乘低通低通 t0cos t0sin t0cos t0sin tg1 tg2 tg1 tg2（發送端）（接收端）解調乘器之輸出信號為乘器之輸出信號為相應的一路解調系統相相應的一路解調系統相與與)cos(0t ttgttgtttgttg020100012sin212cos121cossincos2 信號。信號。下下附近的高頻信號，只留附近的高頻信號，只留低通濾波器后濾除低通濾波器后濾除tg102 相乘相乘 相乘相乘低通低通 t0cos t0sin t0cos t0sin t