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文檔簡介

1、1.已知函 f (x) (x 1)ln x x 1 .xf (x) x2ax 1 ，求 a 的取值范圍；(x 1)f (x) 0可編輯文檔2.設a為實數，函數f x ex 2x 2a, x R。(i)求f x的單調區間與極值；(n)求證：當 a ln2 1 且x0 時，ex x2 2ax 1。可編輯文檔1.已知函數 f(x) (x 1)ln x x 1.(I )若 xf (x)2 x ax1,求a的取值范圍;(n)證明：(x1)f(x)先看第f(x)(x1)ln x1可知函數f x 的定義域為 0,., 1,f x In xx 1 - 1xIn x貝U由 xf (x)2 x ax1可知x In

2、 xax 1 ,化簡得xln x x2ax ,這時要觀察一下這個不等式，顯然每一項都有因子_ 1 一x ,而x又大于零，所以兩邊同乘 一可得xx求導有In x x a ,所以有 a In x x ,在對 g x In xg x在區間0,1上為增函數；當x 1時，g0;當 1v1， r , cg x - 1 ,即當 0 V x v 1 時，g x 0, xx時，g x 0 即可。，一,1 一由上知f x ln x ，但用xf x去分析fx的單調性受阻。我們可以嘗試再對ln x1一求導, x-11八可得f x ,顯然當0Vx x x1 時，f x0；當1 v x 時，f x 0 ,即 fx In1

3、-) 一在區間1,x上為減函數，所以有當0Vx 1時,1,我們通過二次求導分析f的單調性,得出當0Vx 1時f x 1,則f x在區間0,1上為增函數，即0,此時，則有(x1)f(x)0成立。卜面我們在接著分析當1vx時的情況，同理，當1V x 時,在區間1, 上為增函數,則f x f 11,此時，f x為增函數，所以0,易得(x 1)f (x) 0也成立。綜上，(x 1) f (x) 0得證。卜面提供一個其他解法供參考比較O,1 ,In x 一，則 xf xxln x 1題設 xf (x) x2ax 1等價于ln x x令 gx lnxx,貝Ugx當 0vxv1 時，g x 0;當 x1時，

4、gx的最大值點，所以 g x g 11。綜上，a的取值范圍是1,(n)由(i)知， g1,即 Inx 1 0。當 0 v x 1時，f xIn xx InIn x xIn x因為In xx ln1 xx 1 ln2 1 且x0 時，ex 2ax 1。第一問很常規，我們直接看第二問。首先要構造一個新函數g x ex x2 2ax 1,如果這一著就想不到，那沒轍了。然后求導，結果見下表。 xxg x e 2x 2a,繼續對g x求導得g x e 20,ln 2ln2ln2,g x0g x減極小值增由上表可知g x g ln2 ,而g ln2eln2 2ln2 2a 2 2ln 2 2a 2 a In 2 1 ,由 a ln2 1 知g In2 0,所以g x 0,即g x在區間0,上為增函數。0_2_于

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