1、2016年全國初中數學聯合競賽試題第一試(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)、選擇題（本題滿分 42 分，每小題 7 分）（本題共有 6 個小題，每題均給出了代號為ABC, D的四個答案，其中有且僅有一個是正確的將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內每小題選對得 7 分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得 0 分.）11.用x表示不超過x的最大整數，把x x稱為x的小數部分.已知t，a是t2 V31 1的小數部分，b是t的小數部分，貝 U 丄丄（）2b aA.1C.1 D.、32 22.三種圖書的單價分別為 10元、15 元和 20 元，某學校計劃恰好

2、用500 元購買上述圖書 30本，那么不同的購書方案有（A. 9種B. 10種C. 11種D.12種3（A）.如果一個正整數可以表示為兩個連續奇數的立方差，則稱這個正整數為“和諧數”.3333如：2 1 （ 1） ,26 3 1 ,2和26均為“和諧數”.那么，不超過2016的正整數中，所有的“和諧數”之和為A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 926223(B).已知二次函數y ax bx 1(aa b為整數時，ab()13A. 0 B. C. D. 244AB,交AB于點C，連接AO并延長交e O于點E,若AB 8,CD 2,則BCE的面積為A. 12 B.15C.16 D

3、.185.如圖，在四邊形ABCD中，BAC0）的圖象的頂點在第二象限，且過點(1,0).當4.已知e O的BDC 900,AB AC、5,CD 1,對角線( )的交點為M，則DMA辱負23C套D.12 26.設實數x, y,z滿足x y z 1,則M xy 2yz 3xz的最大值為()123A. B. C. D.1234二、填空題(本題滿分28分，每小題7分)(本題共有 4 個小題，要求直接將答案寫在橫線上.)1.【1(A)、2(B)】已知ABC的頂點A、C在反比例函數y(x 0)的圖象上，xACB 900,ABC 300,AB x軸，點B在點A的上方，且AB 6,則點C的坐標為.1(B).已

4、知ABC的最大邊BC上的高線AD和中線AM恰好把BAC三等分，AD、3,則AM.2(A).在四邊形ABCD中，BC/AD,CA平分BCD,0為對角線的交點，CD AO, BC OD,則ABC.3.【3(A)、4(B)】有位學生忘記寫兩個三位數間的乘號，得到一個六位數，這個六位數恰 好為原來兩個三位數的乘積的3 倍，這個六位數是.3(B).若質數p、q滿足：3q p 40, p q 111,則pq的最大值為.4(A).將 5 個 1、5 個 2、5 個 3、5 個 4、5 個 5 共 25 個數填入一個 5 行 5 列的表格內(每 格填入一個數)，使得同一列中任何兩數之差的絕對值不超過2.考慮每

5、列中各數之和，設這5 個和的最小值為M,則M的最大值為.第二試(3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、(本題滿分 20 分)已知a,b為正整數，求M 3a2ab22b 4能取到的最小正整數值.二、(本題滿分 25 分)(A).如圖，點C在以AB為直徑的e O上，CD AB于點D,點E在BD上，AE AC,四邊形DEFM是正方形，AM的延長線與e O交于點N.證明：FN DE.(B).已知：a b e 5, a2b2e215, a3b3e347.求(a2ab b2)(b2be c2)(c2ca a2)的值.三、(本題滿分 25 分)(A).已知正實數x, y, z滿足：xy yz zx

6、 1,且2 2 2 2 2 2(X l)(y 1) (y 1)(Z1) (z 1)(X1)4xyyzzx1 1 1(1) 求的值.xy yz zx(2) 證明：9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).(B).如圖，在等腰ABC中，AB AC .5,D為BC邊上異于中點的點，點C關于直線AD的對稱點為點E,EB的延長線與AD的延長線交于點F,求AD AF的值.2016年全國初中數學聯合競賽試題及詳解第一試（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）、選擇題（本題滿分 42 分，每小題 7 分）1口稱為x的小數部分已知t -，a是2 V3（ ）3234,即3 t 4,又

7、、3 3,b t （ 4）2, 31 1-,故選 A.2某學校計劃恰好用500 元購買上述圖書 30（ ）A. 9種B. 10種 【答案】C.C. 11種D. 12種（本題共有 6 個小題，每題均給出了代號為AB,C D的四個答案,其中有且僅有一個是正確的.將你所選擇的答案的代號填在題后的括號內每小題選對得 7 分；不選、選錯或選出的代號字母超過一個（不論是否寫在括號內），一律得 0 分.）【解析】設購買三種圖書的數量分別為x,y, z,則x y z 3010 x 15y 20z 500即y z3y 4z30 x100 2x，解得20 2x10 x依題意得,x, y, z為自然數（非負整數）1

8、1t的小數部分，b是t的小數部分，則2ba1.3d廠A.B.C.1 D.322【答案】A.【解析】Qt12、3,1.32,2氣3a t 3.3 1.t2、3, 2J31,421 1112332b a2（2、；3）、3 1222.三種圖書的單價分別為10 元、 15 元和 20 元，1.用x表示不本，那么不同的購書方案有QOC為ABE的中位線，BE 2OC 6.Q AE是e O的直徑，B 90,故0 x 10, x有11種可能的取值(分別為0,1,2丄，9,10),對于每一個x值，y和z都 有唯一的值(自然數)相對應.即不同的購書方案共有 11 種，故選 C.3(A).如果一個正整數可以表示為兩

9、個連續奇數的立方差，則稱這個正整數為“和諧數”.如：2 13( 1)3,26 3313,2和26均為“和諧數”.那么， 不超過2016的正整數中，所有的“和諧數”之和為()A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 9262【答案】B.3322【解析】(2k 1) (2 k 1)(2k 1) (2 k 1) (2 k 1) (2 k 1)(2k 1) (2k 1)2 22(12k1)(其中k為非負整數)，由2(12k1) 2016得，k 9k 0,1,2丄,8,9，即得所有不超過 2016 的“和諧數”，它們的和為3(B).已知二次函數yax2bx1(a0)的圖象的頂點在第二象限，且

10、過點(1,0).a b為整數時，ab( )1 A.0 B. C.3D.244【答案】B.【解析】依題意知a 0,b0,ab 10,故b 0,且b a 1，2aa b a ( a1) 2a1，于是1 a0,1 2a 1 1又a b為整數，2a 10,故a11b, ab，故選 B.2413( 1)3(3313) (5333) L(173153) (193173) 1931 6860.故選 B.4.已知e O的半徑OD垂直于弦AB,交AB于點C， 連接AO并延長交e O于點E, 若AB 8,CD 2,則BCE的面積為()QOC為ABE的中位線，BE 2OC 6.Q AE是e O的直徑，B 90,【解

11、析】設OC x,則OA OD x 2,QODAB于C,AC CB1-AB 4,2在Rt OAC中，OC2AC2OA2,即x242(x 2)2,解得x3，即OC 3A. 12 B.15C.16 D.18(第 4 題答案圖)SBCE2CB2BE - 4212.故選 A.5.如圖，在四邊形ABCD中,BAC BDC 900,AB AC . 5,CD 1,對角線的交點為M，則DM(D.-2D（第5題答案圖）【答案】D.AHBD于占J八、 、H,則AMHCMD ,AHCDAMCMQCD1,AHAMCMAM x,則CM 5x,AH在Rt ABM中，BM AB2AM2 x25,則AHAB5xx2J,顯然xO

12、，化簡整理得2x25、5x10 0解得x-,（x 2-、5不符合題意，舍去），故2AMBMCM丄,在Rt CDM中,2DM CM2CD2故選 D.26.設實數x, y, z滿足x y z1,則M xy2yz 3xz的最大值為123A. B. C. D.1234【答案】C.【解析】M xy (2 y 3x)z xy (2 y 3x)(1x y)3x24xy2y23x 2y22依題意知n m 0,故CDn m,AD遼乜，于是m n33n m.=.=2解得j.32-33m n21（B）.已知ABC的最大邊BC上的高線AD和中線AM恰好把BAC三等分,22211-23x 2 x1yxyx 3x2222

13、2221212 y x1133yx xx -x222244當且僅當x1,y0時，M取等號，故Mmax3故選 C.24二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）（本題共有 4 個小題，要求直接將答案寫在橫線上.）1.【1（A）、2（B）】已知ABC的頂點A、C在反比例函數y丄3（x 0）的圖象上，xACB 90,ABC 300,AB x軸，點B在點A的上方，且AB 6,則點C的坐標為.【答案】2【解析】如圖，過點C作CD AB于點D.在Rt ACB中，BCAB cos ABC 3. 3（第 1題答案圖）在Rt BCD中，CDBC sin B9BD BC cosB ,2ADAB BD3,設C m,U

14、 ,A n二2mn2，故點C的坐標為2.3222AD 3,則AM【答案】2.【解析】C D AfB(第 1 題答案圖 1 )(第 1 題答案圖 2)【答案】167334.依題意得BADDAMMAC,ADBADC 900,故ABCACB.(1)若ABCACB時，如答案圖 1 所示，ADM也ADB,BDDM1CM2ADDM11又AM平分DAC,，在Rt DAC中,即cosDACACCM22DAC 600,從而BAC900, ACD 300.在Rt ADC中，CDADtanDAC ,3 tan 60o3,DM1.在Rt ADM中，AMAD2DM22.(2)若ABCACB時,如答案圖2 所示.同理可得

15、AM2.綜上所述，AM2.ABCD中，BC/AD,CA平分BCD,0為對角線的交點，2(A).在四邊形CD AO, BC0D,則ABC【解析】設OCD,ADO,QCA平分BCD,OCDOCB5cQ BC/AD,ADOOBC,DAOOCB,(第 2 題答案圖)OCDDAO,ADCD,QCDAO,ADAO,ADOAODBOCOBC5OC BC,Q BC OD,OCOD,ODCOCDQ BOCODCOCD,BOCOBCOCB180o2 ,2180o,解得36o,72o,DBCBCD72o5BD CDAD,ABD._ _ o18054254 ,故ABCABDDBC126o.【答案】1260.3.【3(

16、A)、4(B)】有位學生忘記寫兩個三位數間的乘號，得到一個六位數，這個六位數恰 好為原來兩個三位數的乘積的3 倍，這個六位數是【解析】設兩個三位數分別為x, y，則1000X y 3xy，y 3xy 1000 x(3y 1000)x,故y是x的正整數倍，不妨設y tx(t為正整數)，代入得1000 t 3tx,x1000QX是三位數，x1000上100，解得3t3t1000t,Qt為正整數，t的可能取值為1,2,3.驗證可知，只有t 2符合，此時299x 167, y 334.故所求的六位數為167334.3(B).若質數p、q滿足：3q p4 0, pq 111,則pq的最大值為.【答案】1

17、007.【解析】由3q p 40得，p3q 4,pq2q(3q 4) 3q 4q 3 q22343,因q為質數，故pq的值隨著質數q的增大而增大, 當且僅當q取得最大值時，pq取得最大值.又p q 111，3q 4 q111,q283，因q為質數，故q的可能取值為423,19,17,13,11,7,5,3,2，但q23時，p3q4655 13不是質數，舍去當q 19時，p 3q 4 53恰為質數.故qmax19,( pq)max53 19 1007.4(A).將 5 個 1、5 個 2、5 個 3、5 個 4、5 個 5 共 25 個數填入一個 5 行 5 列的表格內(每 格填入一個數)，使得

18、同一列中任何兩數之差的絕對值不超過2.考慮每列中各數之和，設這5 個和的最小值為M,則M的最大值為.【答案】10.【解析】(依據 5 個 1 分布的列數的不同情形進行討論，確定M的最大值.(1) 若 5 個 1 分布在同一列，則M 5；(2) 若 5 個 1 分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現的最大數至多為3,故2M 5 1 5 3 20,故M 10;(3) 若 5 個 1 分布在三列中，則由題意知這三列中出現的最大數至多為3，故3M 5 1 5 2 5 3 30,故M 10;若 5 個 1 分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個數大于3，這與已知矛盾第二試(3 月 20 日上午 9:50

19、 11:20)一、(本題滿分 20 分)已知a,b為正整數，求M 3a2ab22b 4能取到的最小正整數值【解析】解：因a,b為正整數，要使得M3a2ab22b 4的值為正整數，則有a 2.當a 2時，b只能為 1,此時M 4.故M能取到的最小正整數值不超過4.當a 3時，b只能為 1 或 2.若b 1,M 18;若b 2，則M 7.當a 4時，b只能為 1 或 2 或 3.若b 1,M 38;若b 2, M 24;若b 3,則M 2.(下面考慮：M 3a2ab22b 4的值能否為 1？)(反證法)假設M 1，則3a2ab22b 4 1，即3a2ab22b 5，a(3a b2) 2b 5因b為

20、正整數，故2b 5為奇數，從而a為奇數，b為偶數，不妨設a 2m 1,b 2n，其中m,n均為正整數，則a(3a b2) (2m 1) 3(2m 1) (2n)24(3m23m 2mn2n2) 3即a(3a b2)被4除所得余數為 3,而2b 52(2 n) 54(n 1) 1被 4 除所得余數為 1,故式不可能成立，故M 1.因此，M能取到的最小正整數值為2.二、(本題滿分 25 分)(A).如圖，點C在以AB為直徑的eO上,CD AB于點D,點E在BD上,AE AC,四邊形DEFM是正方形，AM的延長線與e O交于點N.證明：FN DE.【證明】：連接BC、BN.Q AB為eO的直徑，CD

21、 AB于點DACB ANB ADC 90Q CAB DAC, ACB ADC, ACB s ADC,ACABAC,AC2AD ABAD由四邊形DEFM是正方形及CD AB于點D可知：點M在CD上，DEDMEF MFQ NABDAM ,ANBADM ,ANBsADMANABAD ABAM AN,2AC2AM ANADAM Q AEAC, AE2AMAN以點F為圓心、FE為半徑作e F,與直線AM交于另一點P,則e F與AB切于點E,即AE是e F的切線，直線AMP是e F的割線，故由切割線定理得AE2AM APAN AP,即點N與點P重合，點N在e F上，FN FE DE.(注：上述最后一段得證

22、明用了“同一法”)(B).已知：a b c 5,a2b2c215, a3b3c347.求(a2ab b2)(b2be c2)(c2ca a2)的值.【解析】由已知得ab bc ca 1 (a bc)2(a2b2c2) 5由恒等式a3b3c33abc (a b c)(a2b2c2ab bc ca)得，47 3abc 5 (15 5),abc 1又a2ab b2(a b c)(a b) (abbc ca)5(5c) 55(4c)同理可得b2bc c25(4 a),c2caa25(4b)原式=53(4 a)(4 b)(4 c) 125 64 16(a b c) 4(ab bc ca) abc125

23、64 16 5 4 5 ( 1) 625.【注：恒等式(t a)(t b)(t c) t3(a b c)t2(ab bc ca)t abc】三、(本題滿分 25 分)(A).已知正實數x, y, z滿足：xy yz zx 1,且【解析】(i)解：由等式(x2 1)(y2 1) (y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1)4,xyyzzx222222去分母得z(x1)(y1) x( y 1)(z1) y(z 1)(x 1) 4xyz,2 2xyz2 2xy z2 2x yzx(y2z2)y(z22 2x ) z(xy2) 3xyz(x y z) xyz 0,xyz(xyyzzx) (xyz)(xyyzzx) (x yz)xyz0,xyz(x yz)( xyyzzx1) 0，Q xy yzzx1,xy yzzx1 0，