1、專題研究 1 曲線與方程1.已知點 A( 1 , 0) , B(2, 4) , ABC 的面積為 10,則動點 C 的軌跡方程是()A. 4x 3y 16= 0 或 4x 3y + 16= 0B. 4x 3y 16= 0 或 4x 3y+ 24= 0C. 4x 3y + 16= 0 或 4x 3y + 24= 0D. 4x 3y+ 16= 0 或 4x 3y 24= 0答案 B1|4x 一 3y + 41解析 可知 AB 的方程為 4x 3y + 4= 0，又|AB| = 5,設動點 C(x, y).由題意可知空 X5X5= 10，所以 4x 3y 16= 0 或 4x 3y + 24= 0.

2、故選 B.答案 D答案 B解析雙曲線22y_X 一 31 的左焦點 F（ 2, 0），動圓M 經過 F 且與直線x= 2 相切，則圓心 M 經過 F 且與直線 x=2 相切，則圓心 M 到點F 的距離和到直線 x=2 的距離相等，由拋物線的定義知軌跡是拋物線，其方程為=8x.4. （2017皖南八校聯考）設點 A 為圓（x 1）2+ y2= 1 上的動點，PA 是圓的切線，且|PA| = 1，貝 U P 點的軌跡方程為()2A. y = 2x2C. y = 2x22B. (x 1) + y = 422D. (x 1) + y = 2答案 D解析（直譯法）如圖，設P（x，y），圓心為 M（1，0

3、）.連接 MA PM.則 MAL PA 且 |MA| = 1，又因為|PA| = 1,所以 |PM| =MA|2+ |PA|2=2，即 |PM|2= 2,所以(x 1)2+ y2= 2.5. （2017吉林市畢業檢測）設圓 0 和圓 O 是兩個定圓，動圓 P 與這兩個定圓都外切，則圓P 的圓心軌跡可能2 .方程 iyx 1lg（x + y 1） = 0 所表示的曲線圖形是（0/T-3.動圓 M 經過雙曲線2x2 y- = 1 的左焦點且與直線 x = 2 相切，則圓心M 的軌跡方程是（）A.C.2y = 8xy2= 4xB.D.2y = 8xy2= 4x2017 年高考“最后三十天”專題透析好

4、教育云平臺 教育因你我而變2 A.C.答案 AB.D.解析 當兩定圓相離時，圓 P 的圓心軌跡為；當兩定圓外切時，圓P 的圓心軌跡為；當兩定圓內切時，圓P 的圓心軌跡為.P 的圓心軌跡為；當兩定圓相交時，圓6 .已知 A(0，7)，B(0，- 7) , C(12 , 2)，以 C 為一個焦點作過 A,B 的橢圓，橢圓的另一個焦點F 的軌跡方程是（）2A. y2X1（yw-1）B.22Xy = 14822XC. y2= 148D.22 y_彳X 148答案 A解析 由題意，得 |AC| 13, |BC| 15, |AB| 14，又 |AF| + |AC| |BF| + |BC| ,A|AF| |

5、BF| |BC| |AC|2.故點 F 的軌跡是以 A B 為焦點，實軸長為 2 的雙曲線下支雙曲線中 c 7, a 1,Ab2 48,A軌跡22X 方程為 y 481(yw1).7.AABC 的頂點為 A( 5, 0)、B(5, 0) , ABC 的內切圓圓心在直線x 3 上，則頂點 C 的軌跡方程是(2 2x yA 19162 2x yB. 11692 2x yC- 1（x3）9162 2x yD 1（x4）169答案 C解析 設厶 ABC 的內切圓與 x 軸相切于 D 點，則 D(3, 0).由于 AC BC 都為圓的切線. 故有 |CA| |CB| |AD| |BD| 8 2 6.2

6、2由雙曲線定義知所求軌跡方程為育16 1(x3).故選 C.& (2017寧波十校聯考)在直角坐標平面中， ABC 的兩個頂點 A、B 的坐標分別為 A( 1 , 0) , B(1 , 0)，平面內兩點 G M 同時滿足下列條件：軌跡方程為()GM 酣GG=0,|MA| |MB| |MC|，GMT/罷 則厶 ABC 的頂點 C 的2x2A.- + y 1（y 工 0）2B.3 y2 1（y豐0）2y2C. x + 3 1（y 工 0）22y D. x - 1（y豐0）答案 C2017 年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺 教育因你我而變4x y解析 根據題意，GABC 的重心,設

7、C(x , y),貝UG(- , 3),而 ABC 的外心，M 在 AB 的中垂線上,2M(0, 3),根據 |MA|=|MC|，得 1 + (3)2= X2+(y-3)2,即 X2+肯=1,又 C 點不在 x軸上，y豐0，故選 C.2x y10.已知拋物線 y= nx(n0)與雙曲線石一一=1 有一個相同的焦點，則動點 (m , n)的軌跡方程是8 m答案 n2= 16(m+ 8)( n0)no n oo解析拋物線的焦點為(4, ),在雙曲線中，8+n=c= (R , n0 ,即n=16(m+8)(n0)內切于正方形 ABCD 任取圓上一點 P,若P=aOA bBa ,b R)，若 M(a,

8、 b),則動點 M 所形成的軌跡曲線的長度為(A.nB. 2nC. 3n答案 BD. 2ny.JiKyXDC解析 設 P(x , y)，則 x2+ y2= r2, A(r , r),B(r,r).由OiP= aOA+ bOB 得y=(a b)(a + b)r代入 X2+ y2=r,2 2 2 2 21r ,得(a b) + (a + b) = 1,即 a + b =,故動點 M 所形成的軌跡曲線的長度為；2n.21答案 x2+ 4y2= 1xa=2x , 即*y = 2b 2y ,12.若過拋物線 y 答案 y2= 4(x 2)2017 年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺 教育因你我而變

9、6(2)M 為直角三角形 ABC 外接圓的圓心，求圓 M 的方程；若動圓 N 過點 P 且與圓 M 內切，求動圓 N 的圓心 N 的軌跡方程.解析(1)TkAA2,AB 丄 BC, BC y = TP(-1,0),M(1,0) ,圓 PN 是該圓的半徑.又動圓N 與圓 M 內切,|MN| = 3- |PN|，即 |MN| + |PN| = 3.點 N 的軌跡是以 Ml,P 為焦點，長軸長為 3的橢圓.3a= , c = 1, b=、4242軌跡方程為+ &y = 1.14 .已知動點 P(x , y)與兩定點 M( 1, 0) , N(1 , 0)連線的斜率之積等于常數入(入工 0).

10、(1) 求動點 P 的軌跡 C 的方程；(2) 討論軌跡 C 的形狀.22y答案 (1)x-= 1(入工 0 , x 工土 1) (2)略入一y y解析(1)由題設知直線 PM 與 PN 的斜率存在且均不為零，所以kPM kPN=- =入.x + 1 x- 12整理，得 x2- = 1(入工 0 , x 工土 1).入當入0 時，軌跡 C 為中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線(除去頂點);2當一 1入0 時，軌跡 C 為中心在原點，焦點在 x 軸上的橢圓(除去長軸兩個端點);3當入=1 時，軌跡 C 為以原點為圓心，1 為半徑的圓除去點(一 1 , 0) , (1 , 0);4當入1 時，軌跡

11、 C 為中心在原點，焦點在 y 軸上的橢圓(除去短軸的兩個端點).15.已知點 A( -4, 4) , B(4 , 4)，直線 AM 與 BM 相交于點 M,且直線 AM 的斜率與直線 BM 的斜率之差為一 2,點 M 的軌跡為曲線 C.(1)求曲線 C 的軌跡方程；答案(1)y =-2x - 2 2(x - 1)2 2+ y = 9 (3)d2+ !y2=1(2)在上式中，令 y= 0,得 C(4,又/ |AM| = 3,二外接圓的方程為圓心 M(1,2 2(x - 1) + y = 9.0).0).N 過點 P( - 1 , 0),7Q 為直線 y = 1 上的動點，過 Q 作曲線 C 的

12、切線，切點分別為 D,巳求厶 QDE 的面積 S 的最小值.答案 (1)x = 4y(x 工土 4)(2)4y 4y 4解析(1)設 M(x, y)，貝UkAM=x+ 4, kBM=x 4. 直線 AM 的斜率與直線 BM 的斜率的差為一 2,2017 年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺 教育因你我而變8y 42刁 一2,x= 4y(x 工土 4).(2)設 Q(m, 1)切線斜率存在且不為0,故可設一條切線的斜率為k,則切線方程為 y+ 1 = k(x m).y + 1 = k (x m) ,2聯立得方程組2得 x 4kx + 4(km+ 1) = 0.x = 4y,222由相切得 =

13、 0,將 k km- 1 = 0 代入，得 x 4kx + 4k = 0,即 x = 2k，從而得到切點的坐標為(2k , k2).在關于 k 的方程 k2 km 1 = 0 中， 0,方程 k2 km 1 = 0 有兩個不相等的實數根，分別為 k1, k2,匕+ k2= m,1則 j故 QDLQE S=；|QD|QE|.k1k2= 1,22記切點(2k , k)到 Q(m, 1)的距離為 d,2222222 2則 d = (2k m) + (k + 1) = 4(k km) + m + k m + 4km+ 4,故|QD| = , (4 + m)( k12+ 1),|QE| =(4 + nf

14、)( k22+ 1),S= 2(4 + nf) 1+ 1 2k*2+( % + k2)2=2(4 + mp-,；4 + m 4,即當 m= 0，也就是 Q(0， 1)時面積的最小值為 4.x2y2羽 、一4/216.已知橢圓 E：孑+歹=1(ab0)的離心率為 亍，過左焦點傾斜角為45的直線被橢圓截得的弦長為苓.(1)求橢圓 E 的方程；若動直線 I 與橢圓 E 有且只有一個公共點，過點M(1, 0)作 I 的垂線，垂足為 Q,求點 Q 的軌跡方程.2答案(1)鄉 + y2= 1(2)x2+ y2= 2J2a2 b222x2y2解析(1)因為橢圓 E 的離心率為，所以=茁.解得 a2= 2b2

15、，故橢圓 E 的方程可設為岱+2= 1，則2a 22b b橢圓 E 的左焦點坐標為(一 b, 0)，過左焦點傾斜角為45 的直線方程為 I: y = x + b.設直線 I 與橢圓 E 的交點為 A, B,千 f y_2+2=1,24b由2b b消去 y，得 3x + 4bx = 0，解得 X1= 0, X2= 石.y = x+ b,因為 |AB| =”1+ 12|x1 X2| = 3 = 3，解得 b= 1.22x2a2= 2,.橢圓 E 的方程為-+ y2= 1.y = kx + m當切線 I 的斜率存在且不為 0 時，設 I 的方程為 y= kx + m 聯立直線 I 和橢圓 E 的方程

16、，得x22y 4x+ 49三+ y=1.2017 年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺 教育因你我而變102 2 2消去 y 并整理，得(2k + 1)x + 4kmx+ 2m-2 = 0.因為直線 I 和橢圓 E 有且僅有一個交點，所以 = 16k2m 4(2k2+ 1)(2m2 2) = 0.化簡并整理，得2k2+ 1.1因為直線 MQ 與 I 垂直，所以直線 MQ 的方程為 y =匸儀1).k把 ni = 2k2+ 1 代入上式得 X2+ y2= 2.(*)當切線 I 的斜率為 0 時，此時 Q(1, 1)或(1 , 1)，符合(*)式.當切線 I 的斜率不存在時，此時Q( ,2,

17、0)或(，2, 0)，符合(*)式.綜上所述，點 Q 的軌跡方程為 x2+ y2= 2.備選題1._ (2018河南洛陽二模)已知動圓 M 過定點 E(2 , 0),且在 y 軸上截得的弦 PQ 的長為 4.則動圓圓心 M的軌跡 C 的方程是_ .答案 y2= 4x解析 設 M(x, y) , PQ 的中點為 N,連 MN 則|PN| = 2, MNLPQ |MN|2+ |PN|2= |PM|2. 2 2 2又 |PM| = |EM| ,|MN| + |PN| = |EM| ,x + 4= (x 2 ) + y ,整理得 y = 4x.動圓圓心 M 的軌跡 C 的方程為 y2= 4x.2.已知

18、直線 I 與平面a平行， P 是直線 I 上一定點， 平面a內的動點 B 滿足 PB 與直線 I 成 30角， 那么 B 點軌跡是()A.兩條直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案 C解析 P 是直線 I 上的定點，平面a與直線 I 平行，平面a內的動點 B 滿足 PB 與直線 I 成 30角，因為空 間中過 P 與 I 成30角的直線構成兩個相對頂點的圓錐，a即為平行于圓錐軸的平面，點 B 的軌跡可理解為a與圓錐側面的交線，所以點 B 的軌跡為雙曲線，故選 C.3.(2018安徽安慶二模)已知拋物線 x2= 2py(p0) , F 為其焦點，過點 F 的直線 I 交拋物線于 A, B 兩點，過

19、 點 B 作 x1y =匚(x 1),聯立得方程組$y= kx + m2(1 km)+( k+ m)二 x + y =2 2(1 + k )1 kmx=1 + k2，k+ my=1+k2，2 2 2 2 2k m+ k +m+12 2(1+ k)2 2 2(k +1)(m+1) m+1=2 ,11軸的垂線，交直線 OA 于點 C,如圖所示.求點 C 的軌跡 M 的方程.2017 年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺 教育因你我而變12答案 ypp解析 依題意可得，直線 I 的斜率存在，故設其方程為y= kx +，又設 A(xi, yi) , B(X2, y2), C(x, y),2X = 2py,丄222由 $p ? x 2pkx p = 0? xiX2= p .y= kx + 2yixi易知直線 OA y= x = 2_x，直線 BC: x = X2,xi,y