1、傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用（例如在信號處 理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數） 或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關鍵是：一個連續的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。我們原來對一個信號其實

2、是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進行分割，每一部分只是一個時間點對應一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區間的信號，但他確有固定的周期，或者說， 給了一個周期，我們就能畫出一個整個區間上的分信號，那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出其對應的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，不過如果信號是周期的話，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數值。傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆

3、傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當然把證明看懂了更好。對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義頻域的相位與時域的相位有關系嗎信號前一段的相位（頻域） 與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關系。傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢答案 是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。 所以現在應該明白了

4、吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數學 模型，而數字信號處理對信號的頻率特性更感興趣， 而通過傅立葉變換很容易得 到信號的頻率域特性。傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基 本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應的頻率，從而找出雜亂無 章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析， 根據各級齒輪轉速、齒數與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損 傷。拉普拉斯變換，是工程數學中常用的一

5、種 積分變換。它是為簡化計算而建立 的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作拉普拉斯變 換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中 的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容 易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的 分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個 主要優點，是可采用傳遞函數代替微分方程來描述 系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構

6、圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、 根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能 性。拉普拉斯變換在工程學上的應用：應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上 ， 轉換 為 復頻域( s 域 )上來表示；在 線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。回到正題，傅里葉變換雖然好用，而且物理意義明確，但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻，比如時域內絕對可積的信號才可能存在傅里葉變換。拉普拉斯變換可以說是推廣了這以概念。在自然界，指數信號exp(-x)是衰減最快

7、的信號之一，對信號乘上指數信號之后，很容易滿足絕對可積的條件。因此將原始信號乘上指數信號之后一般都能滿足傅里葉變換的條件，這種變換就是拉普拉斯變換。這種變換能將微分方程轉化為代數方程，在18 世紀計算機還遠未發明的時候， 意義非常重大。從上面的分析可以看出，傅里葉變換可以看做是拉普拉斯的一種特殊形式，即所乘的指數信號為exp(0)o也即是說拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，是一種更普遍的表達形式。在進行信號與系統的分析過程中，可以先得到拉普拉斯變換這種更普遍的結果，然后再得到傅里葉變換這種特殊的結果。 這種由普遍到特殊的解決辦法，已經證明在連續信號與系統的分析中能夠帶來很大的方便2 傅氏變換與拉

8、氏變換的比較研究傅立葉變換與拉普拉斯變換在數學、物理以及工程技術等領域中有著極其廣泛的應用。由(一)可知兩種變換的性質有很多相似之處，故兩者在求解問題時也會有許多類似。另外，由于傅氏變換的積分區間為, ，拉氏變換的積分區間為 0,， 兩者又會在不同的領域中有著各自的應用。下面我們通過一些具體的例子對兩種變換的應用做一些比較研究。兩種積分變換在求解廣義積分中的應用傅氏變換與拉氏變換都可以用來求解一些用普通方法難以求解的廣義積分，下面舉例說明：1例1求函數f (t) 0t 1 ,、一，解：由(1-1)式有f(t)f ( )e S d ei%3 11f( )ei3d e%3121120i co i

9、coe e i”e d wi wsin % 一(cos 3t + isin wt)d wwsin 3cos3td wwsin 3cos wt , 一，、d w , (t1) w當t1時，傅里葉積分收斂于f( 1 0)f(0) 1,根據以上的結果可以寫22成sin 3cos 3t d w =f(t),1,2t 1t= 1的傅里葉積分表達式。 其它sin wcoswt , d w萬，t 17,"10,t1兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應用例1求解積分方程g(t) h(t) f( )g(t )d其中h(t), f (t)都是已知的函數，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里葉變換都存在

10、。分析：該積分方程中的積分區間是，故首先應考慮用傅里葉積分變 換法求解。積分項內是函數f(t)與g(t)的卷積，對方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性質便可以很方便的求解該問題。解：設 Fg(t) G(w),Ff(t) F(,Fh(t) Hg)由卷積定義可知f( )g(t )d f(t) g(t)。因此對原積分方程兩邊取傅里葉變換，可得G(«) H( F ( G( «)因此有G(co)HQ)1 F(由傅里葉逆變換求得原積分方程的解為g(t)G(gei% 3H( i 心e d w1 F(3總結本文以上內容舉例分析了傅里葉變換與拉普拉斯變換在解決問題中的應用， 兩種變換存在許多相似的

11、地方，也存在一些不同的地方。從()中我們可以看出， 用傅里葉變換在求解問題時，要求所出現的函數必須在(，)內滿足絕對可積(|f(t) )這個條件。該條件的限制是非常強的，以致于常見的函數，如 常數、多項式以及三角函數等，都不能滿足這個條件。我們按如下方式對傅氏變 換進行改造：對于任何函數 f(t),我們假定在t 0時f(t) 0 ,聯想到指數衰減函數e t (B 0)所具有的特點，那么，只要 B足夠的大，函數f(t)e ,的傅氏變換就有可能存在，即i cotFf (t)e 3f(t)e % dt ° f(t)e (陽 dt根據傅氏逆變換得到a 1f(t)e 3 Ff(t)ee dco

12、記s 0 ioF(s) Ff(t)e '并注意到ds id于是便可得到F(s) 0 f(t)e stdt1 B i st f(t)F(s)eds2 i B i以上兩式便是()中的拉普拉斯變換及其逆變換。由此可以看出，拉氏變換可以看成是一種特殊的傅里葉變換7 0傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，如文中所述，都能夠在解決廣義積 分、微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問題中得到應用。但是兩者之間也 存在著差異。從另一個角度講，傅氏變換與拉氏變換相對于兩種不同的積分變換20 0所謂 積分變換，就是把某函數類A中的函數f(x),乘上一個確定的二元函數K(x,p), 然后計算積分，即bF(p)

13、 f (x)K(x, p)dx a這樣，便變成了另一個函數類 B中的函數F(p),其中的積分域是確定的。F(p)稱為f (x)的像函數，f (x)稱為F(p)的像原函數；K(x, p)是p和x的已知函數，稱為積分變換的核，K(x,p)的不同形式決定著變換的不同名稱。下面我們列表 說明兩者的不同：積分變換名稱積分域積分核定義公式逆父換公式傅里 葉變 換(,)i t eFf (t)e i tdtf2F( )eitd拉普變換0,)st eF(s)0 f (t)estdt1 f(t) 2 iB isti F(s)e ds p 1兩者之間的差異首先表現在積分域上， 積分域的不同限制了拉氏變換在某些 問題中的應用，在處理問題時首先應考慮到這一點。兩者之間的差異在信號處理 中的表現得尤為顯著：傅里葉變換將時域函數f(t)變換