1、第三單元 因數和倍數一、因數和倍數1.在整數除法中,如果商是整數且沒有余數,那么被除數就是除數和商的倍數,除數和商就是被除數的因數。用字母表示:如果a÷b=c(a、b、c都是不為0的自然數),那么b、c就是a的因數,a就是b、c的倍數,因數和倍數是相互依存的。2.因數和倍數的關系。因數和倍數是兩個不同但又互相依存的概念,二者不能單獨存在,既不能單獨說誰是倍數,也不能說單獨說誰是因數,應該說誰是誰的倍數,誰是誰的因數。3.求一個數的因數的方法。(1)列乘法算式找:把這個數寫成兩個整數相乘的形式,算式中的每個整數都是這個數的因數。(2)列除法算式找:用這個數分別除以大于等于1且小于等于它

2、本身的所有整數,所得的商是整數且無余數時,這些除數和商就是這個數的因數。4.表示一個數的因數的方法:列舉法,集合法。5.一個數的因數的特點:一個數的因數的個數是有限的,其中最小的因數是1,最大的因數是它的本身。6.找一個數的倍數的方法。(1)列乘法算式找:用這個數依次與非0自然數相乘,所得的積就是這個數的倍數。(2)列除法算式找:哪些非0自然數除以這個數的商是整數且沒有余數,這些非0自然數就是這個數的倍數。7.表示一個數的倍數的方法:列舉法,集合法。8. 2的倍數的特征:個位上是0、2、4、6、8的數,都是2的倍數。9. 5的倍數的特征:個位上是0或5的數,都是5的倍數。10.同時是2和5的倍

3、數的特征:個位上是0的數,就同時是2和5的倍數。11.一個數的倍數的特點:一個數的倍數是無限的,最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。12.偶數:在自然數中,是2的倍數的數叫作偶數。在自然數中最小的偶數是0,沒有最大的偶數。13.偶數的表示方法:如果用a表示自然數,那么偶數可以用2a表示。14.奇數:在自然數中,不是2的倍數的數叫作奇數。在自然數中最小的奇數是1,沒有最大的奇數。15.奇數的表示方法:如果用a表示自然數,那么奇數可以用2a+1表示。的倍數的特征:一個數的各位上的數字的和是3的倍數,這個數就是3的倍數。二、質數與合數1.質數:一個數只有1和它本身兩個因數,這個數叫作質數(也叫素數)

4、。2.一個數除了1和它本身,還有別的因數,這個數叫作合數。3.自然數的個數是無限的,質數與合數的個數也是無限的,沒有最大的質數,也沒有最大的合數。4. 1既不是質數,也不是合數,最小的質數是2,最小的合數是4。5.如果按照一個數的因數個數把自然數(0除外)分類,那么自然數可以分成3類。(1)1(只有1個因數)(2)質數(只有2個因數)(3)合數(至少有3個因數)6.如果按照一個數是不是2的倍數,把自然數分類,可以分成2類。(1)奇數(不是2的倍數)(2)偶數(是2的倍數)三、公因數1.幾個數公有的因數,叫作這幾個數的公因數;其中最大的一個,叫作這幾個數的最大公因數。2.求兩個數的最大公因數的方

5、法。(1)列舉法:先分別找出兩個數的因數,再從中找出它們的公因數,最后找出最大的一個。(2)篩選法:先找出兩個數中較小數的因數,再從中圈出較大數的因數,最后找出最大的一個。(3)用短除法來求最大公因數。舉例:用18和24公有的質因數按從小到大的順序去除這兩個數,除到這兩個數的商只有公因數1為止,然后把所有的除數相乘,所得的積就是18和24的最大公因數,即2×3=6。3.最大公因數的表示方法。如:4和6的最大公因數是2,可記作:(4,6)=2。4.求兩個數的最大公因數的特殊情況。(1)成倍數關系的兩個數,最大公因數是較小數。(2)只有公因數1的兩個數的最大公因數是1。四、公倍數1.幾個

6、數公有的倍數,叫作這幾個數的公倍數;其中最小的一個,叫作這幾個數的最小公倍數。2.求最小公倍數的方法。(1)先分別找出兩個數各自的倍數,再從中找出它們的公倍數,最后找出最小的一個。(2)試除法:先找出兩個數中較大數的倍數,再用較大數的倍數按從小到大的順序依次除以較小數,第一個能被整除的數就是這兩個數的最小公倍數。(3)用短除法來求最小公倍數。舉例:用18和24公有的質因數按從小到大的順序去除這兩個數,除到這兩個數的商只有公因數1為止,然后把所有的除數和所得的商相乘,所得的積就是18和24的最小公倍數,即2×3×3×4=72。3.最小公倍數的表示方法。如:4和6的最

7、小公倍數是12,可記作:4,6=12。4.公倍數的表示方法。(1)列舉法。舉例:4的倍數有4、8、12、16、20、246的倍數有12、18、24、30、364和6的公倍數有12、24其中最小的一個是12。(2)集合法。4的倍數6的倍數 4和6的公倍數5.求兩個數的最小公倍數的特殊情況。(1)當兩個數成倍數關系時,最小公倍數是比較大的數;當兩個數只有公因數1時,這兩個數的積就是它們的最小公倍數。(2)連續的兩個自然數的最小公倍數就是它們的積;連續的兩個偶數的最小公倍數是它們的積除以2,連續的兩個奇數的最小公倍數是它們的積。重點提示:在自然數中,0是一個特殊的數。0乘任何數都等于0,所以0是任何

8、一個非0自然數的倍數,任何非0自然數都是0的因數,因此,在研究因數和倍數時,我們所說的數指的是不包括0的自然數。知識巧記:因數和倍數,單獨不存在,互相來依靠,永遠不分開。重點提示:一個非0自然數既是它本身的倍數,又是它本身的因數。易錯題:判斷:在自然數中,最小的奇數是1,最小的偶數是2。( 􀳫)。錯解分析:沒有注意自然數0,0是最小的偶數。正確答案:重點提示:偶數+偶數=偶數偶數+奇數=奇數奇數+奇數=偶數重點提示:2既是質數又是偶數。重點提示:1只有1個因數1,所以1既不是質數,也不是合數。方法提示:判斷一個數是合數還是質數,關鍵看它含有因數的個數。重點提示:每個數的因數的個數是有限的,因此兩個數或多個數的公因數的個數也是有限的。易錯題:兩個數的最大公因數是