1、§13.4 向量、行列式、矩陣與線性方程組實驗學習目標1 會用Mathematica進行向量的計算；2 能用Mathematica進行行列式的計算；3 會利用Mathematica進行矩陣的運算與初等變換；4 能利用Mathematica解線性方程組。 線性代數的數值計算程序并不稀奇，早有大量的算法和軟件。然而這里是進行準確的符號運算，學習了本節以后，就可以擺脫冗繁的矩陣運算了。本節介紹用Mathematica實現線性代數運算的各種專用函數，它們基本上滿足了線性代數計算的需求。讀者將會看到，以下的一些計算功能是十分出色的。但從我國的教材來看，還有個別計算功能沒有涉及，留有繼續開發的余

2、地。一、 矩陣的輸入與輸出 在Mathematica中向量和矩陣就是一個表。 a1，a2，an 表示一個向量。a11，a12，a1n，a21，a22，a2n，am1，am2，amn 表示一個m行n列的矩陣，其中每一個子表表示矩陣的一行。1 直接輸入矩陣 直接輸入矩陣的方法有3種，如下所述。（1） 按表的形式輸入矩陣 既然矩陣和向量都是表，表的一般操作對于矩陣和向量仍然適用。但是，按表的格式鍵入矩陣和向量，會讓人很不習慣。因此，Mathematica也提供了矩陣和向量的常規形式的輸入、輸出方法。（2） 由模板輸入矩陣 基本輸入模板中有輸入2階方陣的模板，單擊該模板輸入一個空白的2階方陣。按“Ct

3、rl +”使矩陣增加一列，按“Ctrl + Enter”使矩陣增加一行。如果矩陣不大，此法較方便。（3） 由菜單輸入矩陣 如果輸入行、列數較多的矩陣，可以打開主菜單的Input項，其中Create Table/Matrix/Palette可用于建立一個矩陣，單擊該項出現一個的對話框。選擇Make：Matrix，再輸入行數和列數，單擊OK按鈕，于是一個空白矩陣被輸入到工作區窗口。 空白矩陣的每個小方塊代表一個元素的位置，光標所在的小方塊與眾不同，可以用Tab鍵將光標從一個方塊跳到下一個方塊，也可以用鼠標選中一個方塊。2 以矩陣形式輸出矩陣 不管用何種方法輸入矩陣，矩陣總是按表的形式輸出。這既違背

4、常規，又難于閱讀。因此，Mathematica提供了以矩陣形式輸出矩陣的函數： MatrixFormlist 將表list按矩陣的形式輸出。例1 觀察下面矩陣的輸出。 In1：= a=1，2，3，4，5，6 Out1= 1，2，3，4，5，6 In2：=MatrixForma Out2 / / MatrixForm= In3：= a=1，2，3，4，5，6 / / MatrixForm Out3 / / MatrixForm= In4：= Out4=1，2，3，4，5，6 In5：= % / MatrixForm Out5 / / MatrixForm= 說明：由上例可以看出，不管輸入的形式是

5、否為矩陣，必須使用MatrixForm才能使輸出為矩陣形式。這不合習慣且費事，解決的方法是自制一個模板：/ MatrixForm，以便快速輸入。 使用函數MatrixForm又會出現另一個問題，可以通過以下例子來說明。例2 觀察下面矩陣的輸出。 In1：= a= Out1=1，2，3，4 In2：= b= / MatrixForm Out2 / MatrixForm= In3：=Inversea / / MatrixForm Out3 / / MatrixForm= In4：=Inverseb / MatrixForm Out4 / / MatrixForm= Inverse 說明：以上In3

6、和In4是求逆矩陣，Mathematica求出a的逆矩陣，對b卻失敗！變量a形式上是表，但能被Mathematica作為矩陣處理。而變量b雖然表示常規形式的矩陣，但不能對b進行各種矩陣計算，務必注意。 技巧：使用括號能夠改變表達式的含義，解決上述問題。例3 觀察下面矩陣的輸出 In1：=/ MatrixForm Out1 / MatrixForm= In2：=Inverseb / MatrixForm Out2 / MatrixForm= 應該特別注意Mathematica不區分行向量與列向量，在運算時會自動處理。可以通過函數ColumnFormlist將一個向量顯示成列向量。3 用函數建立矩

7、陣 也可以通過函數建立一些有規律的矩陣，除了在講表時已經介紹過的函數Table外，還有以下專用函數： Arraya，m，n 創建一個m行、n列的矩陣，元素為ai，j。 IdentityMatrixn 創建一個n階單位矩陣。 DiagonalMatrixlist 創建一個對角線上為表list的元素的方陣。例4 觀察下面矩陣的輸出。 In1：=Arraya，2，3 / MatrixForm Out1 / MatrixForm= In2：=Arraya，2，3，0，0 / MatrixForm Out2 / / MatrixForm= In3：=IdentityMatrix3 / MatrixFor

8、m Out3 / MatrixForm= In4：=DiagonalMatrix1，2，3 / MatrixForm Out4 / MatrixForm= 說明：函數Array加上第三個參數用于規定起始下標，起始下標可以取任何整數。 此外Array可以類似創建有任意層數的表，其調用格式如下： Arraya，n 創建一個元素為ai的有n個元素的表（向量）。 Arraya，n1，n2，n3 創建一個元素為ai1，i2，i3的有n1×n2×n3個元素的3層表。例5 觀察下面矩陣的輸出。 In1：=Arraya，5 Out1=a1，a2，a3，a4，a5 In2：=Arraya，2

9、，2，2 Out2=a1，1，1，a1，1，2，a1，2，1，a1，2，2， a2，1，1，a2，1，2，a2，2，1，a2，2，24 提取矩陣的元素 提取或引用矩陣的元素的方法與函數，都已經在表的操作中介紹過，只要注意矩陣是一個2層表而每行是一個子表。還有三個矩陣專用的函數，如下所示： MAll，j 提取矩陣M的第j列元素組成一個表。 TrM，List 提取矩陣M的主對角線元素組成一個表。 DimensionsM 求矩陣M的行、列數。例6 觀察下面矩陣運算。 In1：= a=； b=； In3：=bAll，3 / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：=Tra，

10、List Out4=1，4 In5：=Dimensionsa Out5=2，2 In6：=Dimensionsb Out6=2，3二、 矩陣、向量的運算1 加法與數乘 除兩個矩陣相加外，還有一個數與矩陣相加，都使用加號。一個數與矩陣相加就是矩陣的每個元素都加上該數，一個數與矩陣相乘就是矩陣的每個元素都乘上該數。例7 已知A=，B=，求（1）A+B，（2）2+A，（3）2A。 解：In1：= a=； b=； a+b / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= 2+a / MatrixForm Out4 / MatrixForm= In5：=2a / MatrixF

11、orm Out5 / MatrixForm= 2 乘法 句號作為兩個矩陣相乘或兩個向量內積的運算符。例8 已知A=，B=，C=（1，2，3），D=（1，-1，1），求（1）AB，（2）CD，（3）AD。 解：In1：=a=； b=； a . b / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= c=1，2，3； d=1，-1，1； c . d / MatrixForm Out6 / MatrixForm= 2 In7：= a . d / MatrixForm Out7 / MatrixForm= 說明：上例中求a . d時，Mathematica會自動將d理解為列向量

12、。 下面是求兩個向量的向量積的函數，其調用格式如下： Crossa，b 求a×b。例9 已知向量a=2，1，-1， b=1，-1，2，求a×b。 解：In1：= a=2，1，-1； b=1，-1，2； Crossa，b Out3=1，-5，-3 In4：= a×b Out4=1，-5，-3 提示：求向量積也可以使用基本輸入模板上的小乘號。模板上有兩個乘號，容易搞錯，大乘號是將對應的元素相乘。3 矩陣的轉置 矩陣的轉置操作使用函數： TransposeM 將矩陣M轉置。 提示：可以將此函數自制成模板。4 求行列式 求一個方陣的行列式使用函數： DetA 求方陣A的行

13、列式。例10 計算行列式：（1） ，（2） 。 解：In1：= a=； Deta Out2= -18 In3：= b=； Detb Out3=5+9+32-35 求逆矩陣 求一個方陣的逆矩陣使用函數： InverseA 求A的逆矩陣，自動判斷是否可逆。例11 已知A=，求A的逆矩陣。 解：In1：= a=； b=Inversea Out2= In3：= a . b / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：=a-1 Out4= 注意：a-1不表示逆矩陣。 還有函數： MatrixPowerA，n 求An（其中n為整數），當n=-1時即求逆矩陣。例12 已知A=，求

14、（1）A5，（2）A-1，（3）A0。 解：In1：= a=； MatrixPowera，5 / MatrixForm Out2 / MatrixForm= In3：= MatrixPowera，-1 / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= Inversea / MatrixForm Out4 / MatrixForm= In5：= MatrixPowera，0 / MatrixForm Out5 / MatrixForm= 注意：在Mathematica中直接輸入符號An是將矩陣A的每個元素求n次冪。6 特征值與特征向量 求矩陣的特征值與對應的特征向量的函

15、數是： EigenvaluesA 求方陣A的全部特征值。 EigenvectorsA 求方陣A的一組線性無關的特征向量。 EigensystemA 求全部特征值和對應的線性無關的特征向量組。例13 求矩陣A=的特征值和特征向量。 解：In1：= a=； Eigenvaluesa Out2=-1，-1，5 In3：=Eigenvectorsa Out3=-1，0，1，-1，1，0，1，1，1 In4：=Eigensystema Out4=-1，-1，5，-1，0，1，-1，1，0，1，1，1 In5：=Eigensystema / MatrixForm Out5 / MatrixForm= 提示

16、：由上例可知，函數Eigensystem最好用，輸出的結果含義十分清楚，通常使用這個函數就足夠了。如果輸入A的元素時使用了小數點，或者參數改為NA，則求近似解。例14 求矩陣A=和B=的特征值和特征向量。 解：In1：= a=； Eigensystema / MatrixForm Out2 / MatrixForm= In3：= EigensystemNa / MatrixForm Out3 / MatrixForm= In4：= Eigensystem / MatrixForm Out3 / MatrixForm= 還有以下特殊情況應當說明，示例如下： In1：= Eigensystem /

17、 MatrixForm Out1 / MatrixForm= 注意：這個例子中屬于特征值1的線性無關的特征向量只有一個，這時不能找到n個線性無關的特征向量（不相似于對角矩陣）。遇到這種情況，Mathematica總是補上零向量！但零向量不是特征向量，與常規不一致，不要產生誤解。三、 解線性方程組 專門用于解線性方程組的函數有3個： RowReduceM 消元得到矩陣M的行最簡形矩陣。 NullSpaceM 求齊次線性方程組M x=0的一個基礎解系。 LinearSolveM，b 求線性方程組M x=b的一個特解。例15 求解線性方程組： 。 解：In1：=ab=； a=Takeab，1，3，1

18、，4； b=abAll，5； RowReduceab / MatrixForm Out4 / MatrixForm= In5：=NullSpacea Out5=1，0，2，1，1，1，0，0 In6：=LinearSolvea，b Out6= 說明：在上例的In1中首先給出了一個線性方程組的增廣矩陣ab，再提取前4列得到系數矩陣a，提取第5列得到常數項b。然后利用這三個函數分別求出：行最簡形矩陣、導出組的基礎解系、非齊次方程組的一個特解，于是給出了線性代數課中人工求解線性方程組的關鍵結果。 提示：從線性代數的內容知道，最有用的是RowReduce，由它的計算結果就能得到所有答案，不必再使用后兩個