1、第2課時 簡單線性規劃的應用 1 1. .體會線性規劃的基本思想，并能借助幾何直觀解決體會線性規劃的基本思想，并能借助幾何直觀解決 一些簡單的實際問題；一些簡單的實際問題；2.2.利用利用線性規劃線性規劃解決解決具有限制條件的不等式具有限制條件的不等式；3.3.培養搜集、整理和分析信息的能力，提高數學建模培養搜集、整理和分析信息的能力，提高數學建模 和解決實際問題的能力和解決實際問題的能力. .在實際問題中常遇到兩類問題：在實際問題中常遇到兩類問題： 一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成如何使用它們來完成最多最多的任務；的任務；

2、 下面我們來看看線性規劃在實際中的一些應用下面我們來看看線性規劃在實際中的一些應用. . 二是給定一項任務，如何合理安排和規劃能以二是給定一項任務，如何合理安排和規劃能以最少最少的人力、物力、資金等資源來完成它的人力、物力、資金等資源來完成它. .簡單線性規劃問題及在實際問題中的應用簡單線性規劃問題及在實際問題中的應用一一. .用量最省問題用量最省問題例例1 1 營養學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供營養學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白質的蛋白質,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.

3、1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.07kg,0.07kg蛋白質蛋白質,0.14kg,0.14kg脂肪脂肪, ,花費花費2828元元; ;而而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14kg,0.14kg蛋白蛋白質質,0.07kg,0.07kg脂肪脂肪, ,花費花費2121元元. .為了滿足營養專家指出的日常飲為了滿足營養專家指出的日常飲食要求食要求, ,同時使花費最低同時使花費最低, ,需要同時食用食物需要同時食用食物A A和食物和食物B B多少多少kg?kg?分析分析: :將已知數據列成下表：將已

4、知數據列成下表：0.070.070.140.140.1050.1050.140.140.070.070.1050.105B BA A脂肪脂肪/kg/kg蛋白質蛋白質/kg/kg碳水化合物碳水化合物/kg/kg食物食物/kg/kg解解: :設每天食用設每天食用xkgxkg食物食物A, ykgA, ykg食物食物B, B, 總成本為總成本為z.z. 那么那么x,yx,y滿足的約束條件是滿足的約束條件是: :0 1050 1050 0750 070 140 060 140 070 06 00.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.目標函數為目標函數為z=28x+21y.作出二元一次不等式組所表示

5、的平面區域，即作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域可行域. . 775,7146,1476, 0,0.xyxyxyxy 二元一次不等式組等價于二元一次不等式組等價于zz2121yz是 直 線 在軸 上 的 截 距 ， 當取 最 小 值 時 ，的 值 最 小 .當 然 直 線 要 與 可 行 域 相 交 ， 即 在滿 足 約 束 條 件 時 目 標 函 數 z=28x+21y取 得 最 小值 .428213214-z3 zzxyyx 考 慮， 將 它 變 形 為，這 是 斜 率 為， 隨 變 化 的 一 族 平 行 直 線 .7146xyxyO1476xy7146xy374757671

6、37576743yx y775xyM由圖知由圖知, ,當直線當直線經過可行域上點經過可行域上點M M時時, ,截距截距最小最小, , 即即z z最小最小.4321zyx 21z解方程組解方程組得得M M的坐標為的坐標為7751476xy,xy, 14()77,.所以所以zmin=28x+21y=16. .答：每天食用食物答：每天食用食物A A約為約為143g143g，食物，食物B B約約571g571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為最低成本為1616元元. . 解線性規劃應用問題的解線性規劃應用問題的一般步驟一般步驟： 1.1.理清題意，列

7、出表格；理清題意，列出表格； 2.2.設好變元，列出線性約束條件（不等式組）與目標函數；設好變元，列出線性約束條件（不等式組）與目標函數； 3.3.準確作圖；準確作圖； 4.4.根據題設精度計算根據題設精度計算. .例例2 2 要將兩種大小不同的鋼板截成要將兩種大小不同的鋼板截成A A、B B、C C三種規格三種規格, ,每張每張鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示鋼板可同時截得三種規格的小鋼板的塊數如下表所示: :A A規格規格B B規格規格C C規格規格第一種鋼板第一種鋼板第二種鋼板第二種鋼板2 21 11 12 21 13 3 今需要今需要A A、B B、C C三種規格的成品分

8、別三種規格的成品分別15,18,2715,18,27塊，塊，用數學關系式和圖形表示上述要求問各截這兩種鋼用數學關系式和圖形表示上述要求問各截這兩種鋼板多少張可得所需板多少張可得所需A A、B B、C C三種規格成品，且使所用三種規格成品，且使所用鋼板張數最少？鋼板張數最少？規格類型規格類型鋼板類型鋼板類型分分析：析：列列表表A A規格規格B B規格規格C C規格規格第一種鋼板第一種鋼板第二種鋼板第二種鋼板2 21 11 12 21 13 3張數張數成品塊數成品塊數xy2xy2xy3xy解：解：設需截第一種鋼板設需截第一種鋼板x x張，第二種鋼板張，第二種鋼板y y張，共需截張，共需截這兩種鋼板

9、共這兩種鋼板共z z張，則張，則21521832700 xy,xy,xy,x,y.線性目標函數線性目標函數.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0 xyM作出一組平行直線作出一組平行直線 z=x+yz=x+y，當直線經過可行域上的點，當直線經過可行域上的點M M時，時，z最小最小. .作出可行域如圖所示：作出可行域如圖所示：由于由于 都不是整數，而此問題中的最優解都不是整數，而此問題中的最優解中，中， 必須都是整數，所以點必須都是整數，所以點 不是最優解不是最優解. .在可行域內打出網格線，在可行域內打出網格線，解方程組解方程組327,215,xyxy 18 39(,).55

10、M18 39,55得得( , )x y, x y18 39(,)552x+y=15x+3y=27x+2y=18B(3,9)C(4,8)xOy18 39(,)55M0 xy經過整點經過整點B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，=12xy 直線直線它們是最優解它們是最優解. .z=12.最小值答：要截得所需三種規格的鋼板，且使所截兩種鋼板答：要截得所需三種規格的鋼板，且使所截兩種鋼板張數最小的方法有兩種，第一種截法是第一種鋼板張數最小的方法有兩種，第一種截法是第一種鋼板3 3張，第二種鋼板張，第二種鋼板9 9張；第二種截法是截第一種鋼板張；第二種截法是截第一種鋼板4 4張，張，第二

11、種鋼板第二種鋼板8 8張；這兩種截法都至少要兩種鋼板張；這兩種截法都至少要兩種鋼板1212張張. . 求線性規劃問題的最優整數解時，常用打網格線求線性規劃問題的最優整數解時，常用打網格線和調整優值的方法，這要求作圖必須精確，線性目標和調整優值的方法，這要求作圖必須精確，線性目標函數對應的直線斜率與其他直線的斜率關系要把握準函數對應的直線斜率與其他直線的斜率關系要把握準確確. .例例3 3 一個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產一個化肥廠生產甲、乙兩種混合肥料，生產1 1車皮車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t4t、硝酸鹽、硝酸鹽18t18t；生產；生產1 1車皮車皮乙種

12、肥料的主要原料是磷酸鹽乙種肥料的主要原料是磷酸鹽1t1t、硝酸鹽、硝酸鹽15t15t現在庫存現在庫存磷酸鹽磷酸鹽10t10t、硝酸鹽、硝酸鹽66t66t，在此基礎上生產這兩種混合肥料，在此基礎上生產這兩種混合肥料，列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區列出滿足生產條件的數學關系式，并畫出相應的平面區域若生產域若生產1 1車皮甲種肥料，產生的利潤為車皮甲種肥料，產生的利潤為10 00010 000元；生元；生產產1 1車皮乙種肥料，產生的利潤為車皮乙種肥料，產生的利潤為5 0005 000元元. .那么分別生產那么分別生產甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產生最大的利潤？甲、乙兩種肥料各多

13、少車皮，能夠產生最大的利潤？二、效益最佳問題二、效益最佳問題解：解：設生產設生產x x車皮甲種肥料、車皮甲種肥料、y y車皮乙種肥料，車皮乙種肥料， 能夠產生利潤為能夠產生利潤為z z萬元，萬元， 則目標函數為則目標函數為分析：分析：列表列表4 418181 11515甲種肥料甲種肥料乙種肥料乙種肥料磷酸鹽磷酸鹽t t硝酸鹽硝酸鹽t t總噸數總噸數車皮數車皮數4xy1815xyxy利潤利潤10 00010 000元元50005000元元41018156600.，xyxyxy0.5zxyyxO123452468104=10 xy1815 =66xy作出可行域，作出可行域，2yx M22yxzMz

14、 當直線經過可行域上的點時， 最大.0.522 .zxyyxz 把變形為得到斜率為得到斜率為-2-2，在，在y y軸軸上的截距為上的截距為2z2z，隨，隨z z變變化的一族平行直線化的一族平行直線max181566,(2,2).410,2 2 0.53.xyMxyz 解方程組得 的坐標為答：生產甲、乙兩種肥料各答：生產甲、乙兩種肥料各2 2車皮，能夠產生最大利車皮，能夠產生最大利潤，最大利潤為潤，最大利潤為3 3萬元萬元. .利用簡單線性規劃求變量的范圍利用簡單線性規劃求變量的范圍例例4 4 若二次函數若二次函數 的圖象過原點，且的圖象過原點，且 求求 的范圍的范圍. .( )yf x ( 2

15、)f 3(1)4.f1( 1)2,f 2f(x)=ax +bx,y=f(x)a,bf(-2)=4a-2b.分析：設由已知條件可以得到關于二次函數的系數的不等式，而的范圍可用線性規劃知識求解2yf(x)f(x)axbx(a0).f( 1)ab,f(1)ab.1ab2,3ab4.f( 2)4a2b.z4a2b. 的圖象過原點， 設令解：作出如圖所示的可行域，作出如圖所示的可行域，0zz4a2bb2a.2l :b2a.可變形為作及其平行線Oba1 2 2424AB2ba 3ab1ab4ab2ab由圖可知，由圖可知，=2222當直線經過可行域上的點 時，截距最大，即 最小，經過點 時，截距最小，即 最

16、大.zbaAzzzBz minmaxab1,A(2,1).ab3z4a2b4 22 16.ab2,B(3,1).ab4z4a2b4 32 110.6f( 2)10.由方程組得由方程組得 巧妙的轉化為簡單的線性規劃問題進行求解，巧妙的轉化為簡單的線性規劃問題進行求解，減少了失誤減少了失誤. .1.f(x)(3a1)xba,x0,1,f(x)1ab已知若恒成立，則的最大值是f(x)x0,1f(x)1f(0)1,ba1,f(1)1,2ab2.分析：為一次函數，欲使時，恒成立，只要即然后利用線性規劃求解. .532.2.某工廠生產甲、乙兩種產品某工廠生產甲、乙兩種產品. .已知生產甲種產品已知生產甲種

17、產品1 1t t需耗需耗A A種礦石種礦石10t10t、B B種礦石種礦石5t5t、煤、煤4t4t；生產乙種產品；生產乙種產品1t1t需耗需耗A A種種 礦石礦石4t4t、B B種礦石種礦石4t4t、煤、煤9t. 9t. 每每1t1t甲種產品的利潤是甲種產品的利潤是600600元，元，每每1t1t乙種產品的利潤是乙種產品的利潤是10001000元元. . 工廠在生產這兩種產品的工廠在生產這兩種產品的計劃中要求消耗計劃中要求消耗A A種礦石不超過種礦石不超過300t300t、B B種礦石不超過種礦石不超過200t200t、煤不超過煤不超過363t.363t.甲、乙兩種產品應各生產多少，能使利潤甲

18、、乙兩種產品應各生產多少，能使利潤總額達到最大總額達到最大? ?將已知數據列成下表：將已知數據列成下表：分析：分析：A A種礦石種礦石(t)(t)B B種礦石種礦石(t)(t)煤煤(t)(t)甲產品甲產品(1t)(1t) 乙產品乙產品(1t)(1t)資源限額資源限額(t)(t)利潤利潤( (元元) )10105 54 46006004 44 49 910001000300300200200363363解：解：設生產甲、乙兩種產品分別為設生產甲、乙兩種產品分別為xtxt、ytyt，利潤總額為，利潤總額為z z元，元， 則則10 x4y300,5x4y200,4x9y363,x0,y0;作出如圖所示的可行域作出如圖所示的可行域. .3zz600 x1000yyx.51000 可變形為z600 x1000y54200 xyyxO1010104300 xy49363xy03:5lyx 03:5lyx 作及其平行線.M3zyx+Mz.51000 直線經過點時， 最大解方程組：解方程組：5x4y200,4x9y363,M (12, 35).得的坐標為答：甲、乙兩種產品應各生產答：甲、乙兩種產品應各生產12t,35t12t,35t，能使利潤總額，能使利潤總額 達到最大達到最大. .利潤總額最大為利潤總額最大為4220042200元元. .maxz600 12 1000 35