1、第五篇數列及其應用專題5.03等比數列及其前n項和【考試要求】1 .理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式；2 .能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題；3 .體會等比數列與指數函數的關系 .【知識梳理】1 .等比數列的概念(1)如果一個數列從第 2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數，那么這個數列叫做等比數列數學語言表達式：-an-= q(n>2, q為非零常數). an 1(2)如果三個數a, G, b成等比數列，那么 G叫做a與b的等比中項，其中 G= 士庭.2 .等比數列的通項公式及前n項和公式 (1)若等比數列an的首項

2、為a1,公比是q,則其通項公式為 an=a1qn 1；通項公式的推廣：an= amqn m(2)等比數列的前n項和公式：當q= 1時，S = na1；當qw1時,a1 (1 qn)Sn=1-qa1 anq1-q3 .等比數列的性質 已知an是等比數列，Sn是數列an的前n項和.(1)若 k+1 = m+n(k, l, m, nCN*),則有 ak ai= am an.(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak,ak+m, ak+ 2m,仍是等比數列，公比為 qm當qw 1,或q= 1且n為奇數時，Sn, S2nS3n-S2n,仍成等比數列，其公比為qn.【微點提醒】c 11 .若數列a

3、n為等比數列，則數列c an(cw0), |an|, a2,不 也是等比數列2 .由an+1 = qan, qw0,并不能立即斷言an為等比數列，還要驗證 aw0.3 .在運用等比數列的前 n項和公式時，必須注意對 q= 1與qw 1分類討論，防止因忽略 q=1這一特殊情形 而導致解題失誤.【疑誤辨析】1.判斷下列結論正誤(在括號內打或“X等比數列公比q是一個常數，它可以是任意實數.()(2)三個數a, b, c成等比數列的充要條件是b2=ac.( )門一.，、， 一一一_a(1 - an)數列an的通項公式是an=an,則其刖n項和為Sn = -.()1 a(4)數列an為等比數列，則 S4

4、, S8-S4, S12S8成等比數列.()【教材衍化】. 12.(必修5P53A1(2)改編)已知an是等比數列，a2=2, a5 = 4,則公比q等于()“11A. - 2B. 2C.2D."3.(必修5P54A8改編)在9與243中間插入兩個數，使它們同這兩個數成等比數列，則這兩個數為【真題體驗】4.(2019天津和平區質檢)已知等比數列an滿足a=1, a3 a5= 4(a41),則a7的值為()_ 9A.2B.4C.2D.65.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載培最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程

5、分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122.若第一個單音的頻率為f,則第八個單音3 _A. 2fB.3 22f12C. 25fD. V27f的頻率為（）126.(2015 全國 I 卷)在數列an中，ai=2,an+i = 2an,Sn 為an的前 n 項和.若Sn=126,則n=【考點聚焦】考點一等比數列基本量的運算【例1】（1）（2017全國出卷）設等比數列an滿足a + a2=1, a1-a3=-3,則a4 =（2）等比數列an的各項均為實數，其前 n項和為Sn,已知S3=7, S3 = 63,則a8=.【規律方法】1.等比數列

6、基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量a1，n, q,an, Sn, 一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.q= 1時，an的前n項和Sn=na1；當qw1時,2.等比數列的前n項和公式涉及對公比 q的分類討論，當a1一 anq1-q、a1(1 q.) an的前n項和Sn=1 q【訓練1】（1）等比數列an中各項均為正數，S是其前n項和，且滿足 2s3=8a1+3a2, a4= 16,則S4=()A.9B.15C.18D.30(2)(2017北京卷)若等差數列an和等比數列bn滿足ai = bi = 1, a4=b4=8,則a=考點二等比數列的判定與證明【例2

7、】已知數列an的前n項和Sn=1+入n,其中 計0.(1)證明an是等比數列，并求其通項公式；31(2)右 S5=32，求入32【規律方法】1.證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n=1的情形進行驗證.【訓練2】(2019廣東省級名校聯考)已知Sn是數列an的前n項和，且滿足Sn-2an=n- 4.(1)證明：Snn+ 2為等比數列；(2)求數列 Sn的前n項和Tn.考點三等比數列的性質及應用【例3】 等比數列an的各項均為正數，且a5a6+

8、a4a7= 18,則log3ai+ log3a2+ log3a10 = ()A.12B.10C.8D.2 + log35(2)已知數列an是等比數列，Sn為其前n項和，若ai + a2+a3=4, a4 + a5+a6=8,則Si2=()A.40B.60C.32D.50【規律方法】1 .在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質，特別是性質“若m + n=p+q,則am an= apaq",可以減少運算量，提高解題速度2 .在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此外，解題時注意設而不求思想的運用.【訓練3】（1）（2019荷澤質檢）在等比

9、數列an中，若a3, a7是方程x2 + 4x+ 2=0的兩根，則a5的值是（）A. - 2B.-啦C.班D.V2（2）（ 一題多解）設等比數列an的前n項和為Sn,若S6=3,則S9=.S3S6【反思與感悟】1 .等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，數列中有五個量ai, n, q, an, S, 一般可以“知三求二 ” ，通過列方程(組 )便可迎刃而解.2 .(1)方程思想：如求等比數列中的基本量.(2)分類討論思想：如求和時要分 q= 1和qwl兩種情況討論，判斷單調性時對 ai與q分類討論.【易錯防范】1.特別注意q=1時，Sn=nai這一特殊情況.2.Sn, S2n-Sn,

10、 S3n S2n未必成等比數列(例如：當公比 q= 1且n為偶數時，Sn ,陵nSn, S3n an不成等 比數列；當 qw 1或q=- 1時且n為奇數時，Sn, S2n-Sn, S3nS2n成等比數列)，但等式(S2n-Sn)2 = Sn (S3n- S2n)總成立.【核心素養提升】【數學運算】 等差 (比 )數列性質的應用1 . 數學運算是指在明析運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養. 本系列數學運算主要表現為：理解數列問題，掌握數列運算法則，探究運算思路，求得運算結果.通過對數列性質的學習，發展數學運算能力，促進數學思維發展.2 .數學抽象是指能夠在熟悉的情境中直接抽象出數學

11、概念和規則，能夠在特例的基礎上歸納形成簡單的數學命題，能夠在解決相似的問題中感悟數學的通性通法，體會其中的數學思想.類型1等差數列兩個性質的應用在等差數列 an中，Sn為 an的前n項和：(1)S2n 1 = (2n 1)an；(2)設an的項數為2n,公差為d,則S偶一S奇=門.【例1】(1)等差數列an的前n項和為Sn,已知am- i + am+1am=0,S2m1=38,則m =.(2)一個等差數列的前 12項和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和的比為32 ： 27,則數列的公差 d類型2等比數列兩個性質的應用在等比數列an中，(1)若 m+n= p+q(m, n, p, qCN

12、*),則 an am= ap aq； (2)當公比 qw1 時，Sn, S2n -Sn, S3n-S2n,成等比數列(n C N*).【例2】(1)等比數列an中，a4=2, a5=5,則數列lg an的前8項和等于()A.6B.5C.4D.3(2)設等比數列an中，前n項和為Sn,已知S3=8, S6=7,則a7+a8+a9等于()A.8B.-8類型3等比數列前n項和Sn相關結論的活用項的個數的“奇偶”性質：等比數列an中，公比為q.若共有2n項，則S偶：$奇=4.(2)分段求和：Si+m = Sn+qnSm(q為公比).【例3】(1)已知等比數列an共有2n項，其和為一240,且奇數項的和

13、比偶數項的和大80,則公比q = 1 ,(2)已知an是首項為1的等比數列，Sn是an的前n項和，且9S3=S6,則數列 一的刖5項和為【分層訓練】【基礎鞏固題組】（建議用時：40分鐘）一、選擇題1 .公比不為1的等比數列an滿足a5a6+a4a7= 18,若aiam= 9,則m的值為（）A.8B.9C.10D.112 .已知各項均為正數的等比數列an中，a4與ai4的等比中項為2則2a7+aii的最小值為（）A.16B.8C.2 2D.43 .（2019上海崇明區模擬）已知公比qwl的等比數列an的前n項和為Sn, ai=1, S3=3a3,則3=（）3111A.1B.5C.48D.-4 .

14、（2017全國n卷）我國古代數學名著 算法統宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞5.(2019深圳一模)已知等比數列an的前n項和Sn=a 3n 1+b,則忘=()A.3B.1C.1D.3二、填空題,一，1,一 16.等比數列an中，各項都是正數，且 a1, 2a3, 2a2成等差數列，則a13+ a14a14+ a157.已知數列an的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=1(nC N*),則通項an =8.(201

15、8南京模擬)已知數列an中，ai = 2,且史上=4(an+i - an)(n N*),則其前9項的和Ss = an三、解答題9.(2018全國出卷)等比數列an中，ai = 1, a5=4a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和.若Sm= 63,求m.10 .已知數列an中，點(an, an+1)在直線y=x+2上,且首項 a1=1.(1)求數列 an的通項公式；(2)數列an的前n項和為Sn,等比數列bn中，b1 = a1,b2=a2,數列bn的前n項和為Tn,請寫出適合條件TnWSn的所有n的值.【能力提升題組】（建議用時：20分鐘）11 .已知等比數列an的各項均為正數且公比大于1,前n項積為Tn,且a2a4=a3,則使得Ti>1的n的最小值為（）A.4B.5C.6D.712 .數列an中，已知對任意 nCN*, ai+a2+a3+ an= 3n1,則 a2+a2+a2+ an等于()1 .A.(3nT)2B.2(9nT)1C.9nTD.j3n- 1)13.（2019華大新高考聯盟質檢）設等比數列an的前n項和為Sn,若a3a11= 2a5,且S4+S2=入8,則1