1、導數問題中參數范圍的求法、分離常數法(I)常規分離常數法原理：將所給不等式變形為g(a) f(x) g(a) f(X)g(a) f(X)ming(a) f(X)max1)ln x x 1，若 xf (x) x2 ax 1 、(x1)(1 n(x1)1)x伕-叭嗆,h(x嚴X求a的取值范圍.解：f(x)Y 1Inx1Inx1XXxf(x)x2 ax 1a In x x令 g(x)In x x (x 0)g(x)X當Ox1 時 g (x)° '當 x 1 時 g (x) 0gg( x) macg(x) 1所以g(x) 1故a 1例1、(2010全國卷一)已知函數f(x) (x(U

2、)能分離常數，但求穩定點困難原理：穩定點的估算利用連續函數介值定理去估算 例2、已知函數f(x) 1 一(x 0)，若當x 0時，f(x)求正整數k的最大值.解:有已知k (x 1 )f (x)設 h(x)x設 g(x) x 1 ln(x 1)從而 h(x) 0 與 g(x)o在(0,)有相同根g(x)o由于g(2)x 1X0且g(3)0所以g(x)o存在唯根(2,3)故g()0 得1 ln( 1)0x(0,)時 g(x) oh(x)0x(,)時 g(x) 0 h (x)0h(X)min(1)(1 n(1)1)1(3,4)h()所以kh (y .A/ min1 4又因為kZ，故kmax3(川)

3、能分離常數7旦求最值困難例3、已知函數f(x) (x1)1 n(1 x)，若當xO時(x) ax恒成立，求a的取值范圍.解：當x 0時f(0)0 a R有f (x) ax恒成立當X0時由已知a丄色(1 x) ,n(1X)XX(1 x)l n(1 x)x ln(1 x)令 g(x)g (x)-XX令 h(x)X ln(1 x)h (x)故 h(x) h(0)0 進而 g (x)g(X)min/、 cc(1 x) ln(1 x)xm g (x)00ZxIJml n(1 x) 1 1所以a的取值范圍是1,).注：此題求最值時應用洛必達法則 洛必達法則1 (適用于。型不定式極限)0若函數f和g滿足:l

4、im f(x) lim g(x) 0；X XQX XQ在點Xo的某空心鄰域Uo(x。)內兩者都可導，且g (x)0 ;lim 3A( A可為實數，也可為 或)； XXOg (X)則 lim" limA.XX g(x) xxog (x)洛必達法則2 (適用于一型不定式極限) 若函數f和g滿足：lim f (x) lim g(x);XxoXX,在點X。的某空心鄰域U o(x。)內兩者都可導，且g(X) 0 ;limd A( A可為實數，也可為 或)； xx°g (x)則lim型lim少A.xx°g(x) xx°g (x)此方法對與高中生來說理解上稍有難度，但

5、對于研究高中教學的人來說，更進一步對于接受過高等數學教育的人來說還是大有裨益的、最值轉化法適用干不能分離常數適用于：能分離常數，但求穩定點或最值困難(I)局部最值轉化1(a R).例4、(2010 Jj東)已知函數f x Inx ax1設g x x? 2bx 4當a 時，若對任意Xi(0,2)，存在x? 1,2使4f劉gxz 求實數b的取值范圍解:由于“對任意人(0,2)，存在X21,2使f人gXJ'等價于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小宜當a時f(x)在(0,1)上單調遞減，4在(1,2)上單調遞增g x x 2bx 4 , x 1,2當b1 時,g(x)ming(1)5 2b 111b中舍)|b| 4(舍)2當 b 2 時,g(x)ming(2) 綜上b的取值范圍是斗)(U)整體最值轉化 方法：設輔助函數輔助函數的設法: 移項作差設輔助函數 利用泰勒展式設輔助函數利用泰勒展式設輔助函數：f (x) f (xo) f (x0)(x x0)fM(x x0)22!實質：任意一個函數都可由幕函數近似表示例5、已知函數f(x) (x 1 )ln(1 x)，若當x 0時,f(x) ax恒成立，求a的 取值范圍.解:設 g(x) f(x) ax (1 x)ln(1 x) ax